Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Категориялар теориясында Met – метрикалық кеңістіктерді объектілер ретінде және метрикалық бейнелеулерді (екі метрикалық кеңістік арасындағы кез келген жұптық қашықтықты арттырмайтын үздіксіз функциялар) морфизмдер ретінде қабылдайтын категория. Екі метрикалық бейнелеудің композициясы да метрикалық бейнелеу болатындықтан, бұл категория болып табылады. Ол алғаш рет қарастырылды .
In category theory, Met is a category that has metric spaces as its objects and metric maps (continuous functions between metric spaces that do not increase any pairwise distance) as its morphisms. This is a category because the composition of two metric maps is again a metric map. It was first considered by .
Жебелер
Меттегі мономорфизмдер – инъективті метрикалық бейнелеулер. Эпиморфизмдер – бейнелеу доменінің диапазонда тығыз бейнесі болатын метрикалық бейнелеулер. Изоморфизмдер – изометриялар, яғни инъективті, сюръективті және арақашықтықты сақтайтын метрикалық бейнелеулер. Мысалы, рационал сандарды нақты сандарға енгізу – мономорфизм және эпиморфизм болып табылады, бірақ ол изоморфизм емес; бұл мысал Мет теңгерімді категория емес екенін көрсетеді.
The monomorphisms in Met are the injective metric maps. The epimorphisms are the metric maps for which the domain of the map has a dense image in the range. The isomorphisms are the isometries, i. e. metric maps which are injective, surjective, and distance preserving. As an example, the inclusion of the rational numbers into the real numbers is a monomorphism and an epimorphism, but it is clearly not an isomorphism; this example shows that Met is not a balanced category.
Нысандар
Бос метрикалық кеңістік – Met категориясының бастапқы объектісі; кез келген бір элементті метрикалық кеңістік – терминал объектісі. Бастапқы және терминал объектілер өзгеше болғандықтан, Met-те нөлдік объектілер жоқ. Met категориясындағы инъективті объектілер инъективті метрикалық кеңістіктер деп аталады. Инъективті метрикалық кеңістіктер алғаш рет Met категориясы зерттелгенге дейін енгізіліп, зерттелді; оларды метрикалық шарларының Хелли қасиеттері арқылы да анықтауға болады, және осы баламалы анықтамаға байланысты Аронзайн мен Паничпакди осы кеңістіктерді гиперконвекс кеңістіктер деп атады. Кез келген метрикалық кеңістіктің ең кіші инъективті метрикалық кеңістікке изометриялық түрде енгізілуі мүмкін, бұл кеңістік метрикалық қаптама немесе тығыз жайылма деп аталады.
The empty metric space is the initial object of Met; any singleton metric space is a terminal object. Because the initial object and the terminal objects differ, there are no zero objects in Met. The injective objects in Met are called injective metric spaces. Injective metric spaces were introduced and studied first by , prior to the study of Met as a category; they may also be defined intrinsically in terms of a Helly property of their metric balls, and because of this alternative definition Aronszajn and Panitchpakdi named these spaces hyperconvex spaces. Any metric space has a smallest injective metric space into which it can be isometrically embedded, called its metric envelope or tight span.
Өнімдер мен функторлар
Метрлік кеңістіктердің шекті жиынының көбейтіндісі – кеңістіктердің декарт көбейтіндісін нүктелер жиыны ретінде қамтитын метрикалық кеңістік. Көбейтінді кеңістігіндегі қашықтық негізгі кеңістіктердегі қашықтықтардың жоғарғы шегі арқылы анықталады. Яғни, бұл супремум нормасы бар көбейтінді метрикасы. Дегенмен, метрикалық кеңістіктердің шексіз жиынының көбейтіндісінің болуы мүмкін емес, себебі негізгі кеңістіктердегі қашықтықтардың жоғарғы шегі болмауы мүмкін. Яғни, Met толық категория емес, бірақ ол шекті толық. Met-те копродукты жоқ. Met → Set ұмытшақ функторы әрбір метрикалық кеңістікке оның нүктелерінің жататын жиынын және әрбір метрикалық бейнелеуге сәйкес жиындық-теориялық функцияны қояды. Бұл функтор адал, сондықтан Met – нақты категория.
The product of a finite set of metric spaces in Met is a metric space that has the cartesian product of the spaces as its points; the distance in the product space is given by the supremum of the distances in the base spaces. That is, it is the product metric with the sup norm. However, the product of an infinite set of metric spaces may not exist, because the distances in the base spaces may not have a supremum. That is, Met is not a complete category, but it is finitely complete. There is no coproduct in Met. The forgetful functor Met → Set assigns to each metric space the underlying set of its points, and assigns to each metric map the underlying set theoretic function. This functor is faithful, and therefore Met is a concrete category.
Қатысушы санаттар
Мет - метрикалық кеңістіктер объектілері болатын жалғыз категория емес; басқаларына біркелкі үздіксіз функциялардың, Липшиц функцияларының және квази-Липшиц бейнелеулерінің категориялары кіреді. Метрикалық бейнелеулер біркелкі үздіксіз және Липшицтік, олардың Липшиц тұрақтысы бірге тең немесе одан кем.
Met is not the only category whose objects are metric spaces; others include the category of uniformly continuous functions, the category of Lipschitz functions and the category of quasi Lipschitz mappings. The metric maps are both uniformly continuous and Lipschitz, with Lipschitz constant at most one.