Введение
В теории категорий, Met — это категория, объекты которой — метрические пространства, а морфизмы — метрические отображения (непрерывные функции между метрическими пространствами, не увеличивающие расстояние между любыми двумя точками). Эта структура является категорией, поскольку композиция двух метрических отображений снова является метрическим отображением. Впервые она была рассмотрена [имя исследователя].
Стрелы
Мономорфизмы в Met — это инъективные метрические отображения. Эпиморфизмы — это метрические отображения, для которых область определения отображения имеет плотное изображение в области значений. Изоморфизмы — это изометрии, то есть метрические отображения, которые являются инъективными, сюръективными и сохраняют расстояния. Например, включение рациональных чисел в вещественные числа является мономорфизмом и эпиморфизмом, но очевидно не изоморфизмом; этот пример показывает, что категория Met не является сбалансированной.
Объекты
Пустое метрическое пространство является начальным объектом категории Met; любое одноэлементное метрическое пространство является терминальным объектом. Поскольку начальный и терминальные объекты различны, в категории Met нет нулевых объектов. Инъективные объекты в Met называются инъективными метрическими пространствами. Инъективные метрические пространства были впервые введены и исследованы до изучения Met как категории; они также могут быть определены внутренне через свойство Хелли их метрических шаров, и благодаря этому альтернативному определению Аронсжайн и Паничпакди назвали эти пространства гиперконвексными пространствами. Для любого метрического пространства существует наименьшее инъективное метрическое пространство, в которое оно может быть изометрически вложено, называемое его метрической оболочкой или плотным замыканием.
Продукты и функторы
Произведение конечного множества метрических пространств в Met — это метрическое пространство, в котором точками являются декартово произведение этих пространств; расстояние в пространстве произведения определяется как супремум расстояний в исходных пространствах. То есть, это метрика произведения с супремум-нормой. Однако произведение бесконечного множества метрических пространств может не существовать, поскольку расстояния в исходных пространствах могут не иметь супремума. Таким образом, Met не является полной категорией, но она конечно полна. В Met нет копроизведения. Забывающий функтор Met → Set отображает каждое метрическое пространство в лежащее в его основе множество точек, а каждое метрическое отображение — в соответствующую функцию теории множеств. Этот функтор является верным, и следовательно, Met — конкретная категория.
Сопутствующие категории
Met - не единственная категория, объектами которой являются метрические пространства; другие включают в себя категорию равномерно непрерывных функций, категорию функций Липшица и категорию квази-липшицких отображений. Метрические карты являются как равномерно непрерывными, так и липшицкими, причем постоянная липшицкая максимум одна.