Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық теорияларға арналған модель математикада қолданылуы
Model for mathematical theories
the use in mathematics
Математикалық логикада, әсіресе оның модель теориясы тармағында, қаныққан модель M – бұл оның өлшеміне байланысты, "ақылға қонымды күтілетін" көптеген толық типтерді іске асыратын модель. Мысалы, гипернақты сандардың ультракүштік моделі қаныққан, яғни ішкі жиындардың кез келген төмендейтін тізбегі бос емес қиылысқа ие.
In mathematical logic, and particularly in its subfield model theory, a saturated model M is one that realizes as many complete types as may be "reasonably expected" given its size. For example, an ultrapower model of the hyperreals is saturated, meaning that every descending nested sequence of internal sets has a nonempty intersection.
Анықтама
К-ны шекті немесе шексіз кардинал сан деп есептейік, ал M – бірінші реттік тілдегі модель болсын. Мұнда M, егер M моделі A⊆M жиындарының кез келген, κ-дан кіші кардиналдығы үшін барлық толық типтерді жүзеге асырса, κ-қаныққан деп аталады. Егер |M| M-нің кардиналдығын білдірсе, M моделі |M|-қаныққан болса, қаныққан деп аталады. Яғни, ол |M|-дан кіші өлшемдегі параметрлер жиындары арқылы берілген барлық толық типтерді жүзеге асырады. Кейбір авторлардың пікірінше, егер модель M қаныққан болса, ол санаулы қаныққан деп аталады; яғни, ол санаулы параметрлер жиындары арқылы берілген барлық толық типтерді жүзеге асырады. Ал басқалардың пікірінше, егер ол санаулы және қаныққан болса, онда ол санаулы қаныққан болады.
Let κ be a finite or infinite cardinal number and M a model in some first order language. Then M is called κ saturated if for all subsets A ⊆ M of cardinality less than κ, the model M realizes all complete types over A. The model M is called saturated if it is |M| saturated where |M| denotes the cardinality of M. That is, it realizes all complete types over sets of parameters of size less than |M|. According to some authors, a model M is called countably saturated if it is saturated; that is, it realizes all complete types over countable sets of parameters. According to others, it is countably saturated if it is countable and saturated.
Мотивация
Тілдің барлық толық типтері жүзеге асады деген интуитивті түсінік тым әлсіз болып шығады (және ол 1 қанықтығы бар әлсіз қанықтығы деп аталады). Айырмашылық көптеген құрылымдарда анықталмайтын элементтер бар екендігіне байланысты (мысалы, R-дің кез келген трансценденттік элементі сөздің анықтамасы бойынша, өрістер тілінде анықталмайды). Алайда, олар әлі де құрылымның бір бөлігін құрайды, сондықтан біз олармен қарым-қатынасты сипаттау үшін типтерге мұқтажбыз. Осылайша біз типтерді анықтауда құрылымынан параметрлер жиынтығын рұқсат етеміз. Бұл аргумент бізге модельдің ерекшеліктерін талқылауға мүмкіндік береді, әйтпесе біз жоғалтып алуымыз мүмкін. Мысалы, белгілі бір өсу тізбегі cn-дегі шекті {x ≥ cn: n ∈ ω} түрін іске асыру ретінде білдіруге болады, ол көптеген параметрлерді пайдаланады. Егер тізбекті анықтауға болмайды, онда құрылымы туралы бұл факт негізгі тілді қолдана отырып сипаттала алмайды, сондықтан әлсіз қаныққан құрылым тізбекті байламайды, ал א1 қаныққан құрылым болады. Бізге модельден қатаң кіші параметрлер жиынтығы ғана қажет болуының себебі қарапайым: бұл шектеусіз шексіз модель толығуға ие болмайды. M үлгісін және {x ≠ m: m ∈ M} түрін қарастырайық. Бұл типтегі әрбір шекті қосалқы жиын (түпсіз) M үлгісінде іске асырылады, сондықтан тығыздығы бойынша ол M-ге сәйкес келеді, бірақ тривиалды түрде іске асырылмайды. Жалпыға бірдей қанағаттандырылмаған кез келген анықтаманың пайдасы жоқ; сондықтан шектеу.
The seemingly more intuitive notion—that all complete types of the language are realized—turns out to be too weak (and is appropriately named weak saturation, which is the same as 1 saturation). The difference lies in the fact that many structures contain elements that are not definable (for example, any transcendental element of R is, by definition of the word, not definable in the language of fields). However, they still form a part of the structure, so we need types to describe relationships with them. Thus we allow sets of parameters from the structure in our definition of types. This argument allows us to discuss specific features of the model that we may otherwise miss—for example, a bound on a specific increasing sequence cn can be expressed as realizing the type {x ≥ cn : n ∈ ω}, which uses countably many parameters. If the sequence is not definable, this fact about the structure cannot be described using the base language, so a weakly saturated structure may not bound the sequence, while an ℵ1 saturated structure will. The reason we only require parameter sets that are strictly smaller than the model is trivial: without this restriction, no infinite model is saturated. Consider a model M, and the type {x ≠ m : m ∈ M}. Each finite subset of this type is realized in the (infinite) model M, so by compactness it is consistent with M, but is trivially not realized. Any definition that is universally unsatisfied is useless; hence the restriction.
Басты модельдермен байланыс
Қаныққан модель ұғымы негізгі модель ұғымына келесідей байланысты: T бірінші реттік тілде (яғни, сол тілде бір-біріне қайшы келмейтін сөйлемдер жиыны) саналатын теория болсын, ал P – T-нің негізгі моделі болсын. Онда P, T-нің кез келген басқа моделіне элементарлық енгізілуге мүмкіндік береді. Қаныққан модельдер үшін эквивалентті ұғым – T-нің кез келген "жеткілікті кішкентай" моделі элементарлық түрде қаныққан модельге енгізіледі, мұнда "жеткілікті кішкентай" дегеніміз, оны енгізуге арналған модельдің кардиналдығынан артық емес дегенді білдіреді. Кез келген қаныққан модель сондай-ақ біртекті болады. Дегенмен, саналатын теориялар үшін бірегей негізгі модель болса, қаныққан модельдер міндетті түрде нақты бір кардиналдыққа байланысты. Белгілі бір жиындық-теориялық болжамдарды ескере отырып, кез келген теория үшін қаныққан модельдер (әрине, өте үлкен кардиналдықта) бар. λ-тұрақты теориялар үшін λ кардиналдығында қаныққан модельдер бар.
The notion of saturated model is dual to the notion of prime model in the following way: let T be a countable theory in a first order language (that is, a set of mutually consistent sentences in that language) and let P be a prime model of T. Then P admits an elementary embedding into any other model of T. The equivalent notion for saturated models is that any "reasonably small" model of T is elementarily embedded in a saturated model, where "reasonably small" means cardinality no larger than that of the model in which it is to be embedded. Any saturated model is also homogeneous. However, while for countable theories there is a unique prime model, saturated models are necessarily specific to a particular cardinality. Given certain set theoretic assumptions, saturated models (albeit of very large cardinality) exist for arbitrary theories. For λ stable theories, saturated models of cardinality λ exist.