Введение

Модель для математических теорий
применение в математике

В математической логике, и особенно в ее разделе теории моделей, насыщенная модель M – это модель, которая реализует столько полных типов, сколько можно «обоснованно ожидать», учитывая ее размер. Например, ультрастепенная модель гипердействительных чисел является насыщенной, что означает, что каждое убывающее вложенное множество внутренних множеств имеет непустое пересечение.

Определение

Пусть κ — конечное или бесконечное кардинальное число, а M — модель в некотором языке первого порядка. Тогда M называется κ-насыщенной, если для всех подмножеств A ⊆ M кардинальности, меньшей κ, модель M реализует все полные типы над A. Модель M называется насыщенной, если она |M|-насыщена, где |M| обозначает кардинальность M. То есть, она реализует все полные типы над множествами параметров размера, меньшего |M|. По мнению некоторых авторов, модель M называется счетно насыщенной, если она насыщена; то есть она реализует все полные типы над счетными множествами параметров. По мнению других, она считается счетно насыщенной, если она счетна и насыщена.

Мотивация

Вполне интуитивное представление о том, что все полные типы языка реализуются, оказывается слишком слабым (и называется слабым насыщением, что эквивалентно 1-насыщению). Различие заключается в том, что многие структуры содержат элементы, которые не определимы (например, любой трансцендентный элемент R, по определению, не определим в языке полей). Однако они все равно являются частью структуры, поэтому нам нужны типы для описания отношений с ними. Таким образом, мы допускаем использование множеств параметров из структуры в нашем определении типов. Этот аргумент позволяет нам обсуждать специфические особенности модели, которые в противном случае могли бы остаться незамеченными. Например, ограничение на конкретную возрастающую последовательность cn можно выразить как реализацию типа {x ≥ cn : n ∈ ω}, который использует счетное число параметров. Если последовательность не определима, этот факт о структуре нельзя описать, используя базовый язык, поэтому слабо насыщенная структура может не ограничивать эту последовательность, а ℵ₁-насыщенная структура – да. Причина, по которой мы требуем только множества параметров, строго меньшие по мощности, чем модель, тривиальна: без этого ограничения ни одна бесконечная модель не будет насыщенной. Рассмотрим модель M и тип {x ≠ m : m ∈ M}. Каждое конечное подмножество этого типа реализуется в (бесконечной) модели M, поэтому, по теореме о компактности, оно совместимо с M, но при этом тривиально не реализуется. Любое определение, которое не выполняется ни при каких значениях, бесполезно; отсюда и это ограничение.

Отношение к основным моделям

Понятие насыщенной модели дуально понятию первичной модели следующим образом: пусть T — счетная теория на языке первого порядка (то есть множество взаимно согласованных предложений на этом языке) и пусть P — первичная модель T. Тогда P допускает элементарное вложение в любую другую модель T. Эквивалентным понятием для насыщенных моделей является то, что любая "достаточно малая" модель T элементарно вкладывается в насыщенную модель, где "достаточно малая" означает кардинальность не превосходящую кардинальность модели, в которую она должна быть вложена. Любая насыщенная модель также однородна. Однако, в то время как для счетных теорий существует единственная первичная модель, насыщенные модели обязательно специфичны для определенной кардинальности. При определенных предположениях теории множеств насыщенные модели (хотя и очень большой кардинальности) существуют для произвольных теорий. Для λ-устойчивых теорий существуют насыщенные модели кардинальности λ.