Кіріспе
Эллипстік қисықтар класының теориясы
Эллипстік қисықтар теориясындағы тақырып.
Математикада күрделі көбейту (CM) – эндоморфизм сақинасы бүтін сандардан үлкен эллипстік қисықтардың теориясы. Басқаша айтқанда, ол периодтық тор Гаусс бүтін сандар торы немесе Эйзенштейн бүтін сандар торы болған кезде байқалатын қосымша симметриялары бар эллипстік функциялардың теориясын қамтиды. Оның ерекше функциялар теориясына жататын бір қыры бар, себебі мұндай эллипстік функциялар немесе бірнеше комплекс айнымалының абелдік функциялары қосымша тепе-теңдіктерді қанағаттандыратын және нақты есептелетін ерекше мәндерді белгілі бір нүктелерде қабылдайтын «өте ерекше» функциялар болып табылады. Ол сондай-ақ алгебралық сандар теориясының орталық тақырыбы болып табылады, циклотомиялық өрістер теориясының кейбір ерекшеліктерін кеңірек қолданылу салаларына көшіруге мүмкіндік береді. Дэвид Гилберт эллипстік қисықтардың күрделі көбейту теориясы математика ғана емес, барлық ғылымның ең әдемі бөлігі екенін айтқан деседі. Белгілі бір дәл мағынада жеткілікті эндоморфизмдерге ие абелдік түрлердің жоғары өлшемді күрделі көбейту теориясы да бар, шамамен А-ның сәйкестік элементіндегі тангенстік кеңістіктегі әрекет бір өлшемді модульдердің тікелей қосындысы болып табылады.
a topic in the theory of elliptic curves
In mathematics, complex multiplication (CM) is the theory of elliptic curves E that have an endomorphism ring larger than the integers. Put another way, it contains the theory of elliptic functions with extra symmetries, such as are visible when the period lattice is the Gaussian integer lattice or Eisenstein integer lattice. It has an aspect belonging to the theory of special functions, because such elliptic functions, or abelian functions of several complex variables, are then 'very special' functions satisfying extra identities and taking explicitly calculable special values at particular points. It has also turned out to be a central theme in algebraic number theory, allowing some features of the theory of cyclotomic fields to be carried over to wider areas of application. David Hilbert is said to have remarked that the theory of complex multiplication of elliptic curves was not only the most beautiful part of mathematics but of all science. There is also the higher dimensional complex multiplication theory of abelian varieties A having enough endomorphisms in a certain precise sense, roughly that the action on the tangent space at the identity element of A is a direct sum of one dimensional modules.
Эндоморфизмдердің абстрактілік теориясы
Эллиптік қисықтың эндоморфизмдер сақинасы үш түрдің біріне ие болуы мүмкін: бүтін сандар Z; жорамал квадраттық сан өрісіндегі тәртіп; немесе Q-да анықталған кватернион алгебрасындағы тәртіп. Егер анықтама өрісі шектеулі өріс болса, Фробень картасынан туындайтын эллиптік қисықтың әрқашан тривиальді емес эндоморфизмдері болады, сондықтан мұндай қисықтың барлығы күрделі көбейтуге ие (бірақ бұл терминология көбінесе қолданылмайды). Ал негізгі өріс сан өрісі болғанда, күрделі көбейту – ерекше жағдай. Ходж болжамын шешу үшін күрделі көбейту жағдайы, жалпы алғанда, ең қиын деп белгілі.
Кронекер және Абель кеңейтулері
Кронекер алғашқыда эллипстік функциялардың бұрылыс нүктелеріндегі мәндері, қиялданған квадраттық өрістер үшін барлық абельдік кеңейтулерді тудыруға жеткілікті болуы керек деп болжады, бұл идея кейбір жағдайларда Эйзенштейнге, тіпті Гаусске дейін жетеді. Бұл Кронекердің «Жастық арманы» (Jugendtraum) деп аталды; және Хилберттің жоғарыдағы ескертуіне түрткіс болды, себебі ол рационалды сандар өрісінің абельдік кеңейтулері үшін бірліктің түбірі сияқты, Шимураның өзара байланыс заңы арқылы кластық өріс теориясын нақтылайды. Расында, K кластық өрісі H болатын қиялданған квадраттық өріс болсын. E – H өрісінде анықталған және K өрісінің бүтін сандарымен күрделі көбейтуге ие эллипстік қисық болсын. Онда K-нің максималды абельдік кеңейтімі, E қисығының H үстіндегі кейбір Вейерштрасс моделіндегі шекті реттік нүктелердің x-координаттары арқылы туындайды.
Кронекердің идеяларының көптеген жалпыламалары ізделіп келінді; алайда олар Лэнгленд философиясының бағытына сәл көлбеу, және қазірге дейін нақты тұжырым белгілі емес.
Бірыңғай модульдер
Жоғарғы жарты жазықтықтағы τ нүктелері, күрделі көбейтумен күрделі сандардағы эллиптік қисықтардың кезең қатынастарына сәйкес келеді, олар нақты қиялды квадрат сандар болып табылады. Сәйкес модульдік инварианттар j(τ) – бұл бірегей модульдер, бұл терминологияның ескі түрінен шыққан, онда "бірегей" термині бірегей қисықтарға сілтеме жасаудың орнына тривиальді емес эндоморфизмдерге ие болу қасиетін білдірген. Модульдік функция j(τ) қиялды квадрат сандар τ үшін алгебралық болып табылады: бұл жоғарғы жарты жазықтықтағы жалғыз алгебралық сандар, олар үшін j алгебралық болып табылады. Егер Λ – кезеңділігі τ болатын тор болса, онда j(τ) үшін j(Λ) деп жазамыз. Егер Λ – K қиялды квадрат өрісінің бүтін сандар сақинасындағы a идеалы болса, онда тиісті бірегей модуль үшін j(a) деп жазамыз. j(a) мәндері – нақты алгебралық бүтін сандар, және олар Хилберт кластық өрісі H-ті тудырады: өріс кеңейту дәрежесі [H:K] = h – K кластық саны, ал H/K – Галуа кеңейтуі, оның Галуа тобы K-ның идеалдық кластық тобына изоморфты. Кластық топ [b] арқылы j(a) мәндеріне әрекет етеді: j(a) → j(ab). Атап айтқанда, егер K бірінші кластық санына ие болса, онда j(a) = j(O) – рационалды бүтін сан: мысалы, j(Z[i]) = j(i) = 1728.