Введение

Теория класса эллиптических кривых – тема в теории эллиптических кривых. В математике комплексное умножение (CM) – это теория эллиптических кривых E, кольцо эндоморфизмов которых больше, чем кольцо целых чисел. Иными словами, она охватывает теорию эллиптических функций с дополнительными симметриями, проявляющимися, например, когда периодная решетка является решеткой гауссовых целых или решеткой эйзенштейновских целых. Эта теория связана с теорией специальных функций, поскольку такие эллиптические функции, или абелевы функции нескольких комплексных переменных, оказываются «очень специальными» функциями, удовлетворяющими дополнительным тождествам и принимающими явно вычисляемые специальные значения в определенных точках. Кроме того, она стала центральной темой в алгебраической теории чисел, позволяя перенести некоторые особенности теории циклотомических полей в более широкие области применения. По преданию, Давид Гильберт утверждал, что теория комплексного умножения эллиптических кривых – не только самая красивая часть математики, но и всей науки. Существует также теория комплексного умножения высших размерностей для абелевых многообразий A, обладающих достаточным количеством эндоморфизмов в определенном точном смысле, а именно, когда действие на тангентном пространстве в единичном элементе A является прямой суммой одномерных модулей.

Абстрактная теория эндоморфизмов

Кольцо эндоморфизмов эллиптической кривой может иметь одну из трех форм: целые числа Z; порядок в мнимом квадратичном числовом поле; или порядок в определенной кватернионной алгебре над Q. Когда поле определения конечно, всегда существуют нетривиальные эндоморфизмы эллиптической кривой, возникающие из отображения Фробениуса, поэтому каждая такая кривая имеет комплексное умножение (и эта терминология используется нечасто). Но когда базовое поле — числовое поле, комплексное умножение встречается редко. Известно, что в общем случае случай комплексного умножения является наиболее сложным для доказательства гипотезы Ходжа.

Расширения Кронекера и Абеля

Кронекер первым предположил, что значений эллиптических функций в точках кручения должно быть достаточно для генерации всех абелевых расширений для мнимых квадратных полей, идея, которая в некоторых случаях восходит к Эйзенштейну, а ещё раньше – к Гауссу. Это стало известно как "Юношеская мечта Кронекера" (Kronecker Jugendtraum); и, несомненно, именно это побудило Гильберта к вышеупомянутому замечанию, поскольку оно явно выражает теорию поля классов, подобно тому, как корни из единицы выражают её для абелевых расширений поля рациональных чисел, посредством закона взаимности Шимуры. Действительно, пусть K – мнимое квадратное поле с классовым полем H. Пусть E – эллиптическая кривая с комплексным умножением на целые числа поля K, определенная над H. Тогда максимальное абелево расширение поля K генерируется x-координатами точек конечного порядка на некоторой модели Вейерштрасса для E над H.

Многие обобщения идей Кронекера были предприняты, однако они несколько отклоняются от основного направления философии Лэнглендса, и в настоящее время не существует известного окончательного утверждения.

Модули сингулярные

Точки верхней полуплоскости τ, соответствующие отношению периодов эллиптических кривых над комплексными числами с комплексным умножением, являются как раз мнимыми квадратными числами. Соответствующие модульные инварианты j(τ) — это сингулярные модули, происходящие из более ранней терминологии, в которой термин "сингулярный" относился к наличию нетривиальных эндоморфизмов, а не к сингулярной кривой. Модульная функция j(τ) алгебраична на мнимых квадратных числах τ: это единственные алгебраические числа в верхней полуплоскости, для которых j алгебраична. Если Λ — решетка с отношением периодов τ, то мы записываем j(Λ) для j(τ). Если при этом Λ является идеалом a в кольце целых чисел OK квадратичного мнимого поля K, то мы записываем j(a) для соответствующего сингулярного модуля. Значения j(a) являются действительными алгебраическими целыми и порождают поле классов Хилберта H поля K: степень расширения поля [H:K] = h является числом классов K, а H/K — расширение Галуа с группой Галуа, изоморфной группе классов идеалов K. Группа классов действует на значения j(a) по правилу [b] : j(a) → j(ab). В частности, если число классов K равно единице, то j(a) = j(O) является рациональным целым числом: например, j(Z[i]) = j(i) = 1728.