Кіріспе
Проективті геометрияда дуалдық немесе жазықтық дуалдығы – проективті жазықтықтардың анықтамалары мен теоремаларындағы нүктелер мен түзулердің атқаратын рөлдердің керемет симметриясының формалдануы. Дуалдық тақырыбына екі жол бар, бірі тіл арқылы, ал екіншісі – арнайы бейнелеулер арқылы функционалдық жол. Олар толыққанды эквивалентті және кез келген жол қарастырылып отырған геометриялардың аксиомалық түрін бастапқы нүктесі ретінде қабылдайды. Функционалдық жолда байланысты геометриялар арасында дуалдық деп аталатын бейнелеу бар. Мұндай бейнелеуді көптеген тәсілдермен құруға болады. Жазықтық дуалдығы түсінігі кеңістіктік дуалдыққа және одан әрі кез келген шекті өлшемді проективті геометриядағы дуалдыққа оңай кеңейтіледі.
Екілік конфигурациялар
Тек қана мәлімдемелер емес, сонымен қатар нүктелер мен түзулердің жүйелерін де дуализациялауға болады. m нүкте мен n түзудің жиынтығы, егер әрбір нүкте арқылы c түзу өтетін болса және әрбір түзуде d нүкте жатса, (mc, nd) конфигурациясы деп аталады. (mc, nd) конфигурациясының дуалы – (nd, mc) конфигурациясы болып табылады. Осылайша, төртбұрыштың (төрт нүкте мен алты түзудің (43, 62) конфигурациясы) дуалы – төртбұрыш (алты нүкте мен төрт түзудің (62, 43) конфигурациясы) болып табылады. Түзудегі барлық нүктелер жиынтығы, яғни проективтік диапазон, дуалы ретінде нүктедегі барлық түзулер жиынтығы – түзулердің шоғырына ие.
Жазық дуалдықтар
Жазық дуалдығы – проективті жазықтықтан 1=C = (P, L, I) оның дуал жазықтығына 1=C^(∗) = (L, P, I^(∗)) (жоғарыда қараңыз) инциденттілікті сақтайтын бейнелеу. Яғни, жазық дуалдығы σ нүктелерді түзулерге, ал түзулерді нүктелерге (1=P^(σ) = L және 1=L^(σ) = P) бейнелейді, сонда Q нүктесі m түзуде жатса (Q I m деп белгіленсе), онда Q I m ⇔ m^(σ) I^(∗) Q^(σ). Изоморфизм болатын жазық дуалдығы корреляция деп аталады. Корреляцияның болуы проективті жазықтық C өзіне-өзі дуал екенін білдіреді. Бұл анықтамадағы проективті жазықтық C міндетті түрде Десаргестік жазықтық болуы керек емес. Дегенмен, егер ол, яғни 1=C = PG(2, K) және K – бөлу сақинасы (көкшеңгі сақина) болса, онда жалпы проективті кеңістіктер үшін төменде анықталған дуалдық, C-де жоғарыдағы анықтаманы қанағаттандыратын жазық дуалдығын береді.
Дуальділіктерді жіктеу
Кіріс өрісінде V (оң) шекті өлшемді векторлық кеңістіктің қос V^(∗) тең өлшемді (оң) векторлық кеңістікті қарама-қарсы кіріс өрісінде K^(o) ретінде қарастыруға болады. Осылайша, PG(n, K) және PG(n, K^(o)) проекциялық кеңістіктері арасында инклюзияны керітетін биекция бар. Егер K және K^(o) изоморфты болса, онда PG(n, K)-де дуалдық бар. Керісінше, егер PG(n, K) n > 1 үшін дуалдықты қабылдаса, онда K және K^(o) изоморфты болады. n > 1 үшін PG(n, K) дуалдылығы болсын. Егер ол PG(n, K) және PG(n, K^(o)) арасындағы табиғи изоморфизммен құрастырылса, θ композициясы PG(n, K) және PG(n, K^(o)) арасындағы инцидентті сақтайтын биекция болады. Проективті геометрияның негізгі теоремасы бойынша, θ жартылай сызықтық бейнелеу T: V → V^(∗) арқылы индукцияланады, оған байланысты изоморфизм σ: K → K^(o) қоса беріледі, оны K-нің антиавтоморфизмі ретінде қарастыруға болады. Классикалық әдебиетте, бұл жалпы алғанда өзара байланыс деп аталады, ал егер 1 = σ = id болса, онда оны корреляция деп атайды (және K міндетті түрде өріс болады). Кейбір авторлар табиғи изоморфизмнің рөлін жойып, θ-ны дуалдық деп атайды. Осылай істегенде, дуалдықты ерекше байланысты проекциялық кеңістіктер жұбы арасындағы коллинеация ретінде қарастыруға болады және оны өзара байланыс деп атайды. Егер бұл коллинеация проективтілік болса, онда оны корреляция деп атайды. 1 = Tw = T(w) V^(∗) векторлық кеңістігіндегі w векторымен байланысты сызықтық функционалды белгілейді. φ: V × V → K формасын былай анықтаңыз: φ – серік антиавтоморфизм σ-мен дегенерацияланбаған сесквилинейлік форма. PG(n, K) үшін n > 1 кез келген дуалдық негізгі векторлық кеңістіктегі (серік антиавтоморфизмімен) дегенерацияланбаған сесквилинейлік формамен индукцияланады және керісінше.
φ is a nondegenerate sesquilinear form with companion antiautomorphism σ. Any duality of PG(n, K) for n > 1 is induced by a nondegenerate sesquilinear form on the underlying vector space (with a companion antiautomorphism) and conversely.
Біртекті координаттар формуласы
Гомогенді координаттар дуалдықтардың алгебралық сипаттамасын беру үшін қолданылуы мүмкін. Бұл талқылауды жеңілдету үшін K өрісі деп есептейміз, бірақ K қисық өріс болғанда да барлық нәрсені сол сияқты істеуге болады, көбейту амалы коммутативті болуы міндетті емес екеніне назар салынса. PG(n, K) нүктелерін K өрісі үстіндегі (n + 1) өлшемді векторлық кеңістіктегі нөлдік емес векторлар ретінде қарастыруға болады, мұнда скалярлық көбейткішпен ерекшеленетін екі вектор бірдей деп есептеледі. Басқаша айтқанда, n өлшемді проективті кеңістіктің нүктелері – 1 өлшемді векторлық ішкі кеңістіктер, оларды K^(n+1) кеңістігіндегі бастапқы нүкте арқылы өтетін түзулер ретінде көруге болады. Сондай-ақ, K^(n+1) кеңістігіндегі n (векторлық) өлшемді ішкі кеңістіктер, K өрісі үстіндегі проективті n кеңістіктің (n − 1) (геометриялық) өлшемді гипержазықтықтарын көрсетеді, яғни PG(n, K). K^(n+1) кеңістігіндегі нөлдік емес вектор 1 = 'u' = (u0, u1, ..., un) сонымен қатар (n − 1) геометриялық өлшемді ішкі кеңістікті (гипержазықтықты) H'u' анықтайды, 1 = H'u' = {(x0, x1, ..., xn) : u0x0 + ... + unxn = 0}. Егер 'u' векторы осылай гипержазықтықты анықтау үшін қолданылса, ол 'u'H арқылы белгіленеді, ал егер ол нүктені көрсетсе, 'u'P қолданылады. Олар тиісінше нүктелік координаттар немесе гипержазықтық координаттары деп аталады (маңызды екі өлшемді жағдайда гипержазықтық координаттары түзу координаттары деп аталады). Кейбір авторлар вектордың интерпретациясын ажырату үшін гипержазықтық координаттарын көлденең (жол) векторлар түрінде, ал нүктелік координаттарды тік (баған) векторлар түрінде жазады. Осылайша, егер 'u' бағандық вектор болса, онда 1 = 'u'P = 'u', ал 1 = 'u'H = 'u'^(T). Әдеттегі скалярлық көбейтіні бойынша 1 = H'u' = {'x'P : 'u'H ⋅ 'x'P = 0}. K өріс болғандықтан, скалярлық көбейтіні симметриялы, яғни 1 = 'u'H ⋅ 'x'P = u0x0 + u1x1 + ... + unxn = x0u0 + x1u1 + ... + xnun = 'x'H ⋅ 'u'P.
1=H'u' = {(x0, x1, , xn) : u0x0 + + unxn = 0} When a vector 'u' is used to define a hyperplane in this way it shall be denoted by 'u'H, while if it is designating a point we will use 'u'P. They are referred to as point coordinates or hyperplane coordinates respectively (in the important two dimensional case, hyperplane coordinates are called line coordinates). Some authors distinguish how a vector is to be interpreted by writing hyperplane coordinates as horizontal (row) vectors while point coordinates are written as vertical (column) vectors. Thus, if 'u' is a column vector we would have 1='u'P = 'u' while 1='u'H = 'u'^(T). In terms of the usual dot product, 1=H'u' = {'x'P : 'u'H ⋅ 'x'P = 0} Since K is a field, the dot product is symmetrical, meaning 1='u'H ⋅ 'x'P = u0x0 + u1x1 + + unxn = x0u0 + x1u1 + + xnun = 'x'H ⋅ 'u'P.
Нақты проекциялық жазықтықтағы геометриялық түсіндіру
PG(2, 'R') жағдайындағы бұл байланысты геометриялық тұрғыдан "антиподалары біріктірілген бірлік сфера" моделі арқылы немесе эквивалентті түрде, 'R'^(3) векторлық кеңістігінің бастамасы арқылы өтетін сызықтар мен жазықтықтар моделі арқылы сипаттауға болады. Бастамадан өтетін кез келген сызыққа, сол сызыққа перпендикуляр (ортогональ) болатын бастамадан өтетін бірегей жазықтықты сәйкестендіруге болады. Егер модельде бұл сызықтар нүктелер, ал жазықтықтар проекциялық жазықтық PG(2, 'R') сызықтары ретінде қарастырылса, онда бұл сәйкестік проекциялық жазықтықтың корреляциясына (нақтырақ айтқанда, полярлығына) айналады. Сфералық модель бастамасынан өтетін сызықтар мен жазықтықтарды, бастамасынан өтетін бірлік сферамен қиыстыру арқылы алынады. Сызықтар сферамен антиподальді нүктелерде қиылысады, оларды проекциялық жазықтықтың нүктесін алу үшін біріктіру керек, ал жазықтықтар сферамен проекциялық жазықтықтың сызықтары болып табылатын үлкен шеңберлерде қиылысады. Бұл сәйкестік инциденттілікті "сақтайды" екенін сызықтар мен жазықтықтар моделінен көру оңай. Проекциялық жазықтықтағы сызықпен инцидентті нүкте, модельде бастамадан өтетін және бастамадан өтетін жазықтықта жатқан сызыққа сәйкес келеді. Сәйкестікті қолдану арқылы жазықтық, өзі байланысқан жазықтыққа перпендикуляр бастамадан өтетін сызыққа айналады. Бұл бейне сызығы бастамадан өтетін жазықтықтың барлық сызықтарына, әсіресе бастапқы сызыққа (проекциялық жазықтықтың нүктесіне) перпендикуляр. Бастапқы сызыққа перпендикуляр барлық сызықтар бастапқы сызыққа ортогональ, яғни сәйкестік бойынша бейне жазықтығында орналасқан бірегей жазықтықта жатыр. Осылайша, бейне сызығы бейне жазықтығында жатыр және сәйкестік инциденттілікті сақтайды.
Полярлық
Инволюция болып табылатын (екілік реті бар) дуалдық, полярлық деп аталады. Жалпы проекциялық кеңістіктердегі полярлықтарды және жазықтық дуалдығының біршама кеңейтілген анықтамасынан туындайтын полярлықтарды ажырату қажет. Сондай-ақ, шекті геометрия жағдайында нақтырақ тұжырымдар жасау мүмкін болғандықтан, біз нәтижелерді шекті проекциялық жазықтықтарда ерекше атап өтеміз.
Жалпы проекциялық кеңістіктердің полярлықтары
Егер PG(n, K) дуалдылығы болса, онда K – қисық өріс, содан кейін PG(n, K) кеңістігінің S субкеңістігі үшін әдеттегі белгілеу анықталады. Сондықтан, полярлық – бұл PG(n, K) кез келген S субкеңістігі үшін 1=S^(⊥⊥) = S болатын дуалдық. Сондай-ақ, қос кеңістікті атап көрсетпей, байланысты сесквилинейрлік форма арқылы жазуға болады: Сесквилинейрлік форма φ рефлексивті, егер 1=φ(u, x) = 0 болса, 1=φ(x, u) = 0 екенін білдіреді. Дуалдық полярлық болып табылады, егер және тек қана оны анықтайтын (дегенерацияланбаған) сесквилинейрлік форма рефлексивті болса. Полярлықтар жіктелген, бұл нәтиже бірнеше рет қайта дәлелденді. V – K қисық өрісі үстіндегі (сол жақты) векторлық кеңістік болсын, ал φ – V-де серіктес антиавтоморфизм σ-мен рефлексивті, дегенерацияланбаған сесквилинейрлік форма болсын. Егер φ полярлықпен байланысты сесквилинейрлік форма болса, онда: 1=σ = id (сонымен, K – өріс) және 1=φ(u, x) = φ(x, u) барлық u, x үшін V-де, яғни φ – билинейрлік форма. Бұл жағдайда полярлық ортогоналды (немесе қарапайым) деп аталады. Егер K өрісінің сипаттамасы екі болса, онда осы жағдайда болуы үшін φ(z, z) ≠ 0 болатын z векторы болуы керек, ал полярлық псевдополярлық деп аталады. 1=σ = id (сонымен, K – өріс) және 1=φ(u, u) = 0 барлық u үшін V-де. Полярлық нөлдік полярлық (немесе симплектикалық полярлық) деп аталады және проективті өлшем n тақ болғанда ғана болуы мүмкін. 1=σ^(2) = id ≠ σ (мұнда K өріс болуы міндетті емес) және 1=φ(u, x) = φ(x, u)^(σ) V-дегі барлық u, x үшін. Мұндай полярлық бірлік полярлық (немесе Гермиттік полярлық) деп аталады. PG(n, K) нүктесі P полярлық ⊥ бойынша абсолюттік нүкте (өзін-өзі конъюгациялайтын нүкте) болып табылады, егер 1=P ∩ P^(⊥) = 1 болса. Сол сияқты, H гипержазықтығы абсолюттік гипержазықтық (өзін-өзі конъюгациялайтын гипержазықтық) болып табылады, егер 1=H^(⊥) ∩ H = 1 болса. Басқаша айтқанда, x нүктесі – 1= φ(x, x) = 0 болса және φ матрицасы G арқылы берілгенде, 1= x^(T) G x^(σ) = 0 болса, байланысты сесквилинейрлік форма φ бар абсолюттік полярлық нүктесі. Полярлықтардың әр түрінің абсолюттік нүктелерінің жиынын сипаттауға болады. Біз талқылауды қайтадан K өрісі болған жағдаймен шектейміз. Егер K – сипаттамасы екі емес өріс болса, ортогоналды полярлықтың абсолюттік нүктелері жиыны нонсинглярлық квадрик құрайды (егер K шексіз болса, ол бос болуы мүмкін). Егер сипаттамасы екі болса, псевдополярлықтың абсолюттік нүктелері гипержазықтық құрайды. PG(2s + 1, K) кеңістігінің барлық нүктелері нөлдік полярлықтың абсолюттік нүктелері болып табылады. Гермиттік полярлықтың абсолюттік нүктелері Гермиттік түр құрайды, егер K шексіз болса, ол бос болуы мүмкін. Өз-өзімен композицияланғанда, 1=φ(xP) = xH (кез келген өлшемде) корреляциясы сәйкестік функциясын тудырады, сондықтан ол полярлық болып табылады. Бұл полярлықтың абсолюттік нүктелерінің жиыны біртекті координаттары теңдеуді қанағаттандыратын нүктелерден тұрады: 1=xH ⋅ xP = x0^2 + x1^2 + … + xn^2 = 0. Бұл нүктелер жиынында қандай нүктелер бар екендігі K өрісіне байланысты. Егер 1=K = R болса, онда жиынтық бос, абсолюттік нүктелер (және абсолюттік гипержазықтықтар) жоқ. Екінші жағынан, егер 1=K = C болса, абсолюттік нүктелер жиыны дегенерацияланбаған квадрик (екі өлшемді кеңістіктегі коника) құрайды. Егер K – тақ сипаттамасының шекті өрісі болса, абсолюттік нүктелер де квадрик құрайды, бірақ егер сипаттамасы жұп болса, абсолюттік нүктелер гипержазықтық құрайды (бұл псевдополярлықтың мысалы). Кез келген дуалдықта P нүктесі P^(⊥) гипержазықтығының полюсі деп аталады, ал бұл гипержазықтық P нүктесінің полярлығы деп аталады. Осы терминологияны қолдану арқылы полярлықтың абсолюттік нүктелері – олардың полярларымен жанасатын нүктелер, ал абсолюттік гипержазықтықтар – полюстерімен жанасатын гипержазықтықтар.
A sesquilinear form φ is reflexive if 1=φ('u', 'x') = 0 implies 1=φ('x', 'u') = 0. A duality is a polarity if and only if the (nondegenerate) sesquilinear form defining it is reflexive. Polarities have been classified, a result of that has been reproven several times. Let V be a (left) vector space over the skewfield K and φ be a reflexive nondegenerate sesquilinear form on V with companion anti automorphism σ. If φ is the sesquilinear form associated with a polarity then either:
1=σ = id (hence, K is a field) and 1=φ('u', 'x') = φ('x', 'u') for all 'u', 'x' in V, that is, φ is a bilinear form. In this case, the polarity is called orthogonal (or ordinary). If the characteristic of the field K is two, then to be in this case there must exist a vector 'z' with φ('z', 'z') ≠ 0, and the polarity is called a pseudo polarity. 1=σ = id (hence, K is a field) and 1=φ('u', 'u') = 0 for all 'u' in V. The polarity is called a null polarity (or a symplectic polarity) and can only exist when the projective dimension n is odd. 1=σ^(2) = id ≠ σ (here K need not be a field) and 1=φ('u', 'x') = φ('x', 'u')^(σ) for all 'u', 'x' in V. Such a polarity is called a unitary polarity (or a Hermitian polarity). A point P of PG(n, K) is an absolute point (self conjugate point) with respect to polarity ⊥ if 1=P I P^(⊥). Similarly, a hyperplane H is an absolute hyperplane (self conjugate hyperplane) if 1=H^(⊥) I H. Expressed in other terms, a point 'x' is an absolute point of polarity with associated sesquilinear form φ if 1= φ('x', 'x') = 0 and if φ is written in terms of matrix G, 1= 'x'^(T) G 'x'^(σ) = 0. The set of absolute points of each type of polarity can be described. We again restrict the discussion to the case that K is a field. If K is a field whose characteristic is not two, the set of absolute points of an orthogonal polarity form a nonsingular quadric (if K is infinite, this might be empty). If the characteristic is two, the absolute points of a pseudo polarity form a hyperplane. All the points of the space PG(2s + 1, K) are absolute points of a null polarity. The absolute points of a Hermitian polarity form a Hermitian variety, which may be empty if K is infinite. When composed with itself, the correlation 1=φ('x'P) = 'x'H (in any dimension) produces the identity function, so it is a polarity. The set of absolute points of this polarity would be the points whose homogeneous coordinates satisfy the equation:
1='x'H ⋅ 'x'P = x0x0 + x1x1 + + xnxn = x0^(2) + x1^(2) + + xn^(2) = 0. Which points are in this point set depends on the field K. If 1=K = 'R' then the set is empty, there are no absolute points (and no absolute hyperplanes). On the other hand, if 1=K = 'C' the set of absolute points form a nondegenerate quadric (a conic in two dimensional space). If K is a finite field of odd characteristic the absolute points also form a quadric, but if the characteristic is even the absolute points form a hyperplane (this is an example of a pseudo polarity). Under any duality, the point P is called the pole of the hyperplane P^(⊥), and this hyperplane is called the polar of the point P. Using this terminology, the absolute points of a polarity are the points that are incident with their polars and the absolute hyperplanes are the hyperplanes that are incident with their poles.
Евклид жазықтығындағы өзара байланыс
Нақты проекциялық жазықтықтың полярлығын құрастыруға қолданылатын әдістің бастапқы нүктесі ретінде Евклид жазықтығындағы ішінара дуалдық құрылысы жатыр. Евклид жазықтығында ортасы O және радиусы r болатын C шеңбері белгіленеді. O-дан басқа кез келген P нүктесі үшін 1=OP ⋅ OQ = r^(2) шартындай Q бейне нүктесі анықталады. P → Q арқылы анықталатын түрлендіру C шеңберіне қатысты инверсия деп аталады. OP түзуіне перпендикуляр болатын және Q нүктесі арқылы өтетін p түзуі C шеңберіне қатысты P нүктесінің поляр түзуі деп аталады. q түзуі O нүктесі арқылы өтпесін. O-дан q түзуіне перпендикуляр түсіріліп, q түзуімен P нүктесінде қиылысады (бұл q түзуіндегі O-ға ең жақын нүкте). C-ге қатысты инверсия арқылы алынған P нүктесінің Q бейнесі полюс деп аталады.
Let q be a line not passing through O. Drop a perpendicular from O to q, meeting q at the point P (this is the point of q that is closest to O). The image Q of P under inversion with respect to C is called the pole
In order to turn this process into a correlation, the Euclidean plane (which is not a projective plane) needs to be expanded to the extended euclidean plane by adding a line at infinity and points at infinity which lie on this line. In this expanded plane, we define the polar of the point O to be the line at infinity (and O is the pole of the line at infinity), and the poles of the lines through O are the points of infinity where, if a line has slope s (≠ 0) its pole is the infinite point associated to the parallel class of lines with slope −1/s. The pole of the x axis is the point of infinity of the vertical lines and the pole of the y axis is the point of infinity of the horizontal lines. The construction of a correlation based on inversion in a circle given above can be generalized by using inversion in a conic section (in the extended real plane). The correlations constructed in this manner are of order two, that is, polarities.
Бұл процесті корреляцияға айналдыру үшін Евклид жазықтығын (бұл проективті жазықтық емес) шексіздіктегі түзуді және осы түзуде жатқан шексіздіктегі нүктелерді қосу арқылы кеңейтілген Евклид жазықтығына кеңейту қажет. Бұл кеңейтілген жазықтықта O нүктесінің поляр түзуі шексіздіктегі түзу деп анықталады (және O – шексіздіктегі түзудің полюсі), ал O түзуі арқылы өтетін түзулердің полюстері шексіздіктегі нүктелер болып табылады, егер түзудің еңісі s (≠ 0) болса, оның полюсі -1/s еңісі бар түзулер класына сәйкес келетін шексіздіктегі нүкте. X осінің полюсі – вертикаль түзулердің шексіздіктегі нүктесі, ал y осінің полюсі – көлденең түзулердің шексіздіктегі нүктесі. Жоғарыда келтірілген шеңбердегі инверсияға негізделген корреляция құрылымын конустық қимадағы (ұзартылған нақты жазықтықта) инверсияны қолдану арқылы жалпылауға болады. Осылайша құрастырылған корреляциялар екінші реттік, яғни полярлықтар болып табылады.
Let q be a line not passing through O. Drop a perpendicular from O to q, meeting q at the point P (this is the point of q that is closest to O). The image Q of P under inversion with respect to C is called the pole
In order to turn this process into a correlation, the Euclidean plane (which is not a projective plane) needs to be expanded to the extended euclidean plane by adding a line at infinity and points at infinity which lie on this line. In this expanded plane, we define the polar of the point O to be the line at infinity (and O is the pole of the line at infinity), and the poles of the lines through O are the points of infinity where, if a line has slope s (≠ 0) its pole is the infinite point associated to the parallel class of lines with slope −1/s. The pole of the x axis is the point of infinity of the vertical lines and the pole of the y axis is the point of infinity of the horizontal lines. The construction of a correlation based on inversion in a circle given above can be generalized by using inversion in a conic section (in the extended real plane). The correlations constructed in this manner are of order two, that is, polarities.
Синтетикалық тәсіл
Проективті жазықтықтағы конустың полюстері мен полярларының теориясы координаттар мен басқа да метрикалық ұғымдарды қолданбай дамытылуы мүмкін. F екіге бөлінбейтін өріс болғанда, C конусы PG(2, F)-те болсын, ал P – осы жазықтықтағы C-да жатпайтын нүкте болсын. Конусқа екі түрлі қима сызық, мысалы, конустағы төрт нүкте (A, B, J, K) – төртбұрыш құрайды делік. P нүктесі – осы төртбұрыштың диагональдық үшбұрышының төбесі. P-нің C-ға қатысты полярлық жағы – P-ге қарама-қарсы диагональдық үшбұрыштың қабырғасы.
Бұл қатынасты анықтау үшін түзудегі нүктелердің проективті гармоникалық жұптас теориясын да қолдануға болады. Жоғарыдағы белгілеулерді пайдалана отырып:
Егер P нүктесі арқылы өтетін өзгермелі түзу C конусын қисаса, онда P-нің сол қимадағы C-ның екі нүктесіне қатысты гармоникалық жұптастарының бәрі P-нің полярлық түзуінде жатады.
Қасиеттері
Жобалау жазықтығындағы полярлықтардың бірнеше қасиеттері бар. Полярлылығы берілген P нүктесі q түзуінде жатады, егер және тек қана Q нүктесі p түзуінде жатса, онда Q нүктесі P нүктесінің поляр болады. Осы қатынастағы P және Q нүктелері абсолютты нүктелерге қатысты конугациялық нүктелер деп аталады. Өйткені олар өз полярларымен сәйкес келеді, сондықтан абсолютты нүктелер өзіне-өзі конугациялық деп аталады. Конъюгат түзулер дуалды түрде анықталады. Екі өзіне-өзі конугациялық нүктені қосатын түзу өзіне-өзі конугациялық түзу бола алмайды. Бір түзуде екіден артық өзіне-өзі жұпталған нүктелер болмайды. Полярлық кез келген конугациялық емес түзуде конугациялық нүктелердің инволюциясын тудырады. Әрбір төбесі қарама-қарсы қабырғасының полюсі болатын үшбұрыш өзіндік полярлық үшбұрыш деп аталады. Үшбұрыштың үш төбесін олардың қарама-қарсы қабырғаларына сәйкес бейнелейтін өзара байланыс полярлық болып табылады және бұл үшбұрыш осы полярлыққа қатысты өзіндік полярлық болып табылады.
Points P and Q that are in this relation are called conjugate points with respect to Absolute points are called self conjugate in keeping with this definition since they are incident with their own polars. Conjugate lines are defined dually. The line joining two self conjugate points cannot be a self conjugate line. A line cannot contain more than two self conjugate points. A polarity induces an involution of conjugate points on any line that is not self conjugate. A triangle in which each vertex is the pole of the opposite side is called a self polar triangle. A correlation that maps the three vertices of a triangle to their opposite sides respectively is a polarity and this triangle is self polar with respect to this polarity.
Тарих
Дуальдік принципі Жозеф Диас Гергоннға (1771–1859) тиесілі, ол сол кезде дамып келе жатқан аналитикалық геометрия саласының жақтаушысы және математикаға толық арналған алғашқы журналдың – Annales de mathématiques pures et appliquées – негізін қалаушы және редакторы болды. Гергон мен Чарльз Джулиан Брайаншон (1785–1864) жазықтық дуалдығы тұжырымдамасын жасады. Гергон «дуальдік» және «полярлық» терминдерін енгізді (бірақ «полюс» термині Ф. Дж. Сервуаға тиесілі), сондай-ақ өзінің журналында дуальдік мәлімдемелерді қатар жазу стилін қабылдады. Жан Виктор Понселе (1788–1867), проективті геометрия бойынша алғашқы мақаланың – Traité des propriétés projectives des figures – авторы, коникаға қатысты полюстер мен полярлар теориясын жүйелі түрде дамытқан синтетикалық геометр болды. Понселе дуальдік принципінің полюстер мен полярлар теориясының салдары екенін айтты. Джулиус Плюккерге (1801–1868) дуальдік ұғымын үш және одан жоғары өлшемді проективті кеңістіктерге кеңейткені үшін алғыс айтылады. Понселе мен Гергонн бастапқыда әртүрлі көзқарастары мен әдістерін «Annales de Gergonne» журналында жариялаған адал, бірақ достық бәсекелес ретінде көрінді. Дуальдік принципін өздеріне тиесілі етуде басымдық мәселесіне байланысты антагонизм күшейді. Жас Плюккер осы дауға тартылды, өйткені ол Гергоннға ұсынған мақаласы басылған кезде қатты өңделгендіктен, Понселе оның плагиат жасағанын ойлады. Понселенің өртті шабуылына Плюккер Гергонннің қолдауымен қарсы тұрды, және ақырында жауапкершілік Гергоннға жүктелді. Осы дау туралы Пьер Самуэль мысқылмен былай деді: екеуі де француз әскерінде болғандықтан, Понселе генерал болса, Гергонн қарапайым капитан болғандықтан, кем дегенде француз замандастары арасында Понселенің көзқарасы басым болды.