Введение

В проективной геометрии двойственность, или плоскостная двойственность, — это формализация поразительной симметрии ролей точек и прямых в определениях и теоремах проективных плоскостей. Существуют два подхода к изучению двойственности: один основан на языке, а другой — более функциональный, через специальные преобразования. Эти подходы полностью эквивалентны, и любой из них начинается с аксиоматического определения рассматриваемых геометрий. В функциональном подходе существует отображение между связанными геометрическими объектами, которое называется двойственностью. Такое отображение можно построить различными способами. Концепция плоскостной двойственности легко обобщается на пространственную двойственность и далее — на двойственность в любой конечномерной проективной геометрии.

Двойная конфигурация

Не только утверждения, но и системы точек и линий могут быть дуализированы. Множество, состоящее из m точек и n прямых, называется конфигурацией (mc, nd), если через каждую точку проходят c из n прямых, а на каждой прямой лежат d из m точек. Двойственная к конфигурации (mc, nd) является конфигурацией (nd, mc). Таким образом, двойственной к четырехугольнику, конфигурации (43, 62) из четырех точек и шести прямых, является четырехугольник, конфигурация (62, 43) из шести точек и четырех прямых. Множество всех точек на прямой, называемое проективным рядом, имеет в качестве двойственного карандаш прямых, множество всех прямых, проходящих через точку.

Равные дуальности

Плоскостная двойственность — это отображение из проективной плоскости 1=C = (P, L, I) в её двойственную плоскость 1=C^(∗) = (L, P, I^(∗)) (см. выше), сохраняющее инцидентность. То есть, плоскостная двойственность σ отображает точки в прямые и прямые в точки (1=P^(σ) = L и 1=L^(σ) = P) таким образом, что если точка Q инцидентна прямой m (обозначается Q I m), то Q I m ⇔ m^(σ) I^(∗) Q^(σ). Плоскостная двойственность, являющаяся изоморфизмом, называется корреляцией. Существование корреляции означает, что проективная плоскость C является самодвойственной. Проективная плоскость C в этом определении не обязана быть плоскостью Дезарга. Однако, если она является таковой, то есть, 1=C = PG(2, K), где K — поле с делением (косое поле), то двойственность, определённая ниже для общих проективных пространств, задаёт плоскостную двойственность на C, удовлетворяющую вышеприведённому определению.

Классификация дуальностей

Двойственное пространство V^(∗) конечномерного (правого) векторного пространства V над телом с делением K можно рассматривать как (правое) векторное пространство той же размерности над противоположным телом с делением K^(o). Таким образом, существует обратная биекция, меняющая местами включения, между проективными пространствами PG(n, K) и PG(n, K^(o)). Если K и K^(o) изоморфны, то существует двойственность на PG(n, K). И наоборот, если PG(n, K) допускает двойственность при n > 1, то K и K^(o) изоморфны. Пусть θ – двойственность PG(n, K) при n > 1. Если θ составлена с естественным изоморфизмом между PG(n, K) и PG(n, K^(o)), то композиция θ является биекцией, сохраняющей инцидентность, между PG(n, K) и PG(n, K^(o)). По Основной теореме проективной геометрии, θ индуцируется полулинейным отображением T: V → V^(∗) с ассоциированным изоморфизмом σ: K → K^(o), который можно рассматривать как антиавтоморфизм K. В классической литературе θ обычно называют взаимностью, а если σ = id, то корреляцией (и K в этом случае обязательно является полем). Некоторые авторы не учитывают роль естественного изоморфизма и называют θ двойственностью. В этом случае двойственность можно рассматривать как коллинеацию между парой особым образом связанных проективных пространств, называемую взаимностью. Если эта коллинеация является проективностью, то она называется корреляцией. Пусть 1=Tw = T(w) обозначает линейный функционал из V^(∗), ассоциированный с вектором w из V. Определим форму φ: V × V → K следующим образом: φ является вырожденной сесквилинейной формой с сопутствующим антиавтоморфизмом σ. Любая двойственность PG(n, K) при n > 1 индуцируется вырожденной сесквилинейной формой на базовом векторном пространстве (с сопутствующим антиавтоморфизмом), и наоборот.

Однородное формулирование координат

Гомогенные координаты могут быть использованы для алгебраического описания двойственности. Для упрощения этого обсуждения мы предположим, что K – поле, но все может быть сделано аналогичным образом, когда K – скосое поле, если только учитывать, что умножение не обязательно должно быть коммутативной операцией. Точки PG(n, K) можно рассматривать как ненулевые векторы в (n + 1)-мерном векторном пространстве над K, при этом два вектора, отличающиеся скалярным множителем, отождествляются. Другими словами, точки n-мерного проективного пространства – это 1-мерные векторные подпространства, которые можно представить как прямые, проходящие через начало координат в K^(n+1). Также n-мерные (векторные) подпространства K^(n+1) представляют собой (n − 1)-мерные (геометрические) гиперплоскости проективного n-пространства над K, то есть PG(n, K). Ненулевой вектор 1 = 'u' = (u0, u1, ..., un) в K^(n+1) также определяет (n − 1)-мерное геометрическое подпространство (гиперплоскость) H'u', задаваемое выражением 1 = H'u' = {(x0, x1, ..., xn) : u0x0 + ... + unxn = 0}. Когда вектор 'u' используется для определения гиперплоскости таким образом, он обозначается 'u'H, а если он обозначает точку, мы используем 'u'P. Они называются соответственно координатами точки или координатами гиперплоскости (в важном двумерном случае координаты гиперплоскости называются координатами прямой). Некоторые авторы различают интерпретацию вектора, записывая координаты гиперплоскости в виде горизонтальных (строчных) векторов, а координаты точек – в виде вертикальных (столбцовых) векторов. Таким образом, если 'u' – столбцовой вектор, то 1 = 'u'P = 'u', а 1 = 'u'H = 'u'^(T). В терминах обычного скалярного произведения, 1 = H'u' = {'x'P : 'u'H ⋅ 'x'P = 0}. Поскольку K является полем, скалярное произведение симметрично, то есть 1 = 'u'H ⋅ 'x'P = u0x0 + u1x1 + ... + unxn = x0u0 + x1u1 + ... + xnun = 'x'H ⋅ 'u'P.

Геометрическая интерпретация в реальной проективной плоскости

Эта корреляция в случае PG(2, 'R') может быть геометрически описана с использованием модели реальной проективной плоскости, которая представляет собой "единичную сферу с отождествленными антиподами", или, эквивалентно, модель линий и плоскостей, проходящих через начало координат векторного пространства 'R'^(3). Каждой прямой, проходящей через начало координат, сопоставляем единственную плоскость, проходящую через начало координат, которая перпендикулярна (ортогональна) этой прямой. Если в модели эти прямые считать точками, а плоскости – линиями проективной плоскости PG(2, 'R'), то это сопоставление становится корреляцией (фактически полярностью) проективной плоскости. Модель сферы получается путем пересечения прямых и плоскостей, проходящих через начало координат, с единичной сферой, центром которой является начало координат. Прямые пересекают сферу в антиподальных точках, которые затем необходимо отождествить, чтобы получить точку проективной плоскости, а плоскости пересекают сферу в больших кругах, которые, таким образом, являются линиями проективной плоскости. То, что это сопоставление "сохраняет" инцидентность, наиболее легко увидеть в модели линий и плоскостей. Точка, инцидентная прямой в проективной плоскости, соответствует прямой, проходящей через начало координат и лежащей в плоскости, проходящей через начало координат, в модели. Применяя сопоставление, плоскость переходит в прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную плоскости, с которой она сопоставлена. Эта образ-прямая перпендикулярна каждой прямой плоскости, проходящей через начало координат, в частности, исходной прямой (точке проективной плоскости). Все прямые, перпендикулярные исходной прямой в начале координат, лежат в единственной плоскости, ортогональной исходной прямой, то есть в плоскости образа при сопоставлении. Таким образом, образ-прямая лежит в плоскости образа, и сопоставление сохраняет инцидентность.

Полярность

Двойственность, являющаяся инволюцией (имеющая порядок два), называется полярностью. Необходимо различать полярности общих проективных пространств и те, которые возникают из несколько более общего определения плоскостной двойственности. Также возможно сформулировать более точные утверждения для конечных геометрий, поэтому мы уделим особое внимание результатам в конечных проективных плоскостях.

Полярности общих проективных пространств

Если является двойственностью PG(n, K), где K – скосое поле, то обычное обозначение определяется для подпространства S PG(n, K). Следовательно, полярность – это двойственность, для которой 1=S^(⊥⊥) = S для каждого подпространства S из PG(n, K). Также часто обходятся упоминанием двойственного пространства и записывают, в терминах ассоциированной сесквилинейной формы: сесквилинейная форма φ является рефлексивной, если 1=φ('u', 'x') = 0 влечет за собой 1=φ('x', 'u') = 0. Двойственность является полярностью тогда и только тогда, когда (невырожденная) сесквилинейная форма, определяющая ее, является рефлексивной. Полярности были классифицированы, результат, который неоднократно передоказывался. Пусть V – (левое) векторное пространство над скосополем K, а φ – рефлексивная невырожденная сесквилинейная форма на V с сопутствующим антиавтоморфизмом σ. Если φ – сесквилинейная форма, связанная с полярностью, то либо: 1=σ = id (следовательно, K – поле) и 1=φ('u', 'x') = φ('x', 'u') для всех 'u', 'x' в V, то есть φ – билинейная форма. В этом случае полярность называется ортогональной (или обычной). Если характеристика поля K равна 2, то для того, чтобы быть в этом случае, должен существовать вектор 'z' такой, что φ('z', 'z') ≠ 0, и полярность называется псевдополярностью. 1=σ = id (следовательно, K – поле) и 1=φ('u', 'u') = 0 для всех 'u' в V. Полярность называется нулевой полярностью (или симплектической полярностью) и может существовать только тогда, когда проективная размерность n нечетна. 1=σ^(2) = id ≠ σ (здесь K не обязательно должно быть полем) и 1=φ('u', 'x') = φ('x', 'u')^(σ) для всех 'u', 'x' в V. Такая полярность называется унитарной полярностью (или эрмитовой полярностью). Точка P из PG(n, K) является абсолютной точкой (самосопряженной точкой) относительно полярности ⊥, если 1=P ∩ P^(⊥). Аналогично, гиперплоскость H является абсолютной гиперплоскостью (самосопряженной гиперплоскостью), если 1=H^(⊥) ∩ H. Выражаясь иначе, точка 'x' является абсолютной точкой полярности с ассоциированной сесквилинейной формой φ, если 1= φ('x', 'x') = 0 и если φ записана в терминах матрицы G, то 1= 'x'^(T) G 'x'^(σ) = 0. Множество абсолютных точек каждого типа полярности может быть описано. Мы снова ограничим обсуждение случаем, когда K – поле. Если K – поле, характеристика которого не равна двум, то множество абсолютных точек ортогональной полярности образует невырожденную квадратику (если K бесконечно, то она может быть пустой). Если характеристика равна 2, то абсолютные точки псевдополярности образуют гиперплоскость. Все точки пространства PG(2s + 1, K) являются абсолютными точками нулевой полярности. Абсолютные точки эрмитовой полярности образуют эрмитово многообразие, которое может быть пустым, если K бесконечно. При композиции с самой собой, корреляция 1=φ('x'P) = 'x'H (в любой размерности) порождает тождественное преобразование, следовательно, это полярность. Множество абсолютных точек этой полярности состоит из точек, чьи однородные координаты удовлетворяют уравнению: 1='x'H ⋅ 'x'P = x0x0 + x1x1 + … + xnxn = x0^(2) + x1^(2) + … + xn^(2) = 0. Какие точки входят в это множество, зависит от поля K. Если 1=K = 'R', то множество пусто, абсолютных точек (и абсолютных гиперплоскостей) нет. С другой стороны, если 1=K = 'C', то множество абсолютных точек образует невырожденную квадратику (конику в двумерном пространстве). Если K – конечное поле нечетной характеристики, то абсолютные точки также образуют квадратику, но если характеристика четная, то абсолютные точки образуют гиперплоскость (это пример псевдополярности). При любой двойственности точка P называется полюсом гиперплоскости P^(⊥), а эта гиперплоскость называется полярной относительно точки P. Используя эту терминологию, абсолютные точки полярности – это точки, инцидентные своим полярам, а абсолютные гиперплоскости – это гиперплоскости, инцидентные своим полюсам.

Взаимность в евклидовой плоскости

Метод, который может быть использован для построения полярности реальной проективной плоскости, исходит из построения частичной дуальности в евклидовой плоскости. В евклидовой плоскости фиксируем окружность C с центром O и радиусом r. Для каждой точки P, отличной от O, определяем образ Q так, что OP ⋅ OQ = r². Отображение, определяемое P → Q, называется инверсией относительно окружности C. Прямая p, проходящая через Q и перпендикулярная прямой OP, называется полярной прямой точки P относительно окружности C.

Пусть q – прямая, не проходящая через O. Опустим перпендикуляр из O на q, пересекающий q в точке P (это точка q, ближайшая к O). Образ Q точки P при инверсии относительно C называется полюсом.

Чтобы превратить этот процесс в корреляцию, евклидову плоскость (которая не является проективной плоскостью) необходимо расширить до расширенной евклидовой плоскости, добавив прямую на бесконечности и точки на бесконечности, лежащие на этой прямой. В этой расширенной плоскости мы определяем полярную прямую точки O как прямую на бесконечности (а O – полюс этой прямой на бесконечности), а полюсы прямых, проходящих через O, – как точки на бесконечности, причем для прямой с угловым коэффициентом s (≠ 0) ее полюс является точкой на бесконечности, соответствующей параллельному пучку прямых с угловым коэффициентом −1/s. Полюс оси x – это точка на бесконечности вертикальных прямых, а полюс оси y – точка на бесконечности горизонтальных прямых. Конструкцию корреляции, основанную на инверсии относительно окружности, описанную выше, можно обобщить, используя инверсию относительно конического сечения (в расширенной реальной плоскости). Корреляции, построенные таким образом, являются полярностями, то есть имеют порядок два.

Синтетический подход

Теория полюсов и полярных прямых конического сечения в проективной плоскости может быть развита без использования координат и других метрических понятий. Пусть C – коническое сечение в PG(2, F), где F – поле, не имеющее характеристики 2, и пусть P – точка этой плоскости, не лежащая на C. Две различные секущие прямые к коническому сечению, обозначим их и , определяют четыре точки на коническом сечении (A, B, J, K), которые образуют четырехугольник. Точка P является вершиной диагонального треугольника этого четырехугольника. Полярная прямая точки P относительно C – это сторона диагонального треугольника, противоположная точке P.

Теория проективных гармонических сопряжённых точек на прямой также может быть использована для определения этой зависимости. Используя те же обозначения, что и выше:

Если переменная прямая, проходящая через точку P, является секущей к коническому сечению C, то гармонические сопряжённые точки P относительно двух точек C на этой секущей лежат на полярной прямой P.

Свойства

Есть несколько свойств, которыми обладают полярности в проективной плоскости. Для заданной полярности, точка P лежит на прямой q, которая является полярной к точке Q, тогда и только тогда, когда точка Q лежит на прямой p, которая является полярной к точке P. Точки P и Q, находящиеся в таком отношении, называются сопряжёнными точками. Абсолютные точки называются самосопряжёнными в соответствии с этим определением, поскольку они инцидентны своим собственным полярным. Сопряжённые прямые определяются дуально. Прямая, соединяющая две самосопряжённые точки, не может быть самосопряжённой прямой. Прямая не может содержать более двух самосопряжённых точек. Полярность индуцирует инволюцию сопряжённых точек на любой прямой, которая не является самосопряжённой. Треугольник, в котором каждая вершина является полюсом противоположной стороны, называется самополярным треугольником. Корреляция, которая отображает три вершины треугольника на их противоположные стороны соответственно, является полярностью, и этот треугольник является самополярным относительно этой полярности.

История

Принцип двойственности обусловлен Джозефом Диасом Гергонном (1771−1859), сторонником тогдашней формирующейся области аналитической геометрии и основателем и редактором первого журнала, полностью посвященного математике, Annales de mathématiques pures et appliquées. Гергон и Шарль Жюльен Брианшон (1785−1864) разработали концепцию планарной двойственности. Гергонн ввел термины "дуальность" и "полярный" (но термин "полюс" принадлежит Ф. Дж. Сервуа) и принял стиль одновременной публикации двойственных утверждений в своем журнале. Жан Виктор Понселе (1788−1867), автор первого труда по проективной геометрии "Traité des propriétés projectives des figures", был синтетическим геометром, который систематически развивал теорию полюсов и полярных относительно конического сечения. Понселе утверждал, что принцип двойственности является следствием теории полюсов и полярных. Юлиусу Плюккеру (1801−1868) приписывают расширение концепции двойственности на трехмерные и более высокие проективные пространства. Понселе и Гергонн начинали как добросовестные, но дружественные соперники, представляя свои различные точки зрения и методы в статьях, опубликованных в "Анналах Гергонна". Антагонизм усилился из-за спора о приоритете в открытии принципа двойственности. Молодой Плюккер оказался втянутым в эту вражду, когда его статья, представленная Гергонну, была настолько сильно отредактирована к моменту публикации, что Понселе ошибочно решил, что Плюккер совершил плагиат. Острая атака Понселе была парирована Плюккером при поддержке Гергонна, и в конечном итоге ответственность была возложена на Гергонна. Пьер Самуэль остроумно заметил, что поскольку оба мужчины служили во французской армии, а Понселе был генералом, а Гергон – всего лишь капитаном, точка зрения Понселе возобладала, по крайней мере, среди их французских современников.