Кіріспе
Схема теориясы ұғымы Математикада, әсіресе алгебралық геометриядағы схемалар теориясында, X схемасынан Y схемасына f жалпақ морфизм – бұл әр сабақтағы индукцияланған карта сақиналардың жалпақ картасы болып табылады, яғни X-тегі барлық P үшін жалпақ карта. Сақиналардың картасы, егер ол B-ні жалпақ A модуліне айналдыратын гомоморфизм болса, жалпақ деп аталады. Схемалардың морфизмі, егер ол бір мезгілде сюръективті және жалпақ болса, адал жалпақ деп аталады. Жазық морфизмдерге қатысты екі негізгі түсінік: жалпақтық – бұл жалпы қасиет; және жалпақтықтың болмауы морфизмнің секіру жиынтығында пайда болады. Олардың біріншісі коммутативтік алгебрадан келеді: f-те кейбір шектілік шарттары орындалғанда, Y-дің бос емес ашық ішкі схемасы бар екенін көрсетуге болады, сондықтан Y'-ға шектелген f – жалпақ морфизм (жалпы жалпақтық). Мұнда «шектеу» схемалардың талшықты көбейтіндісі арқылы f және Y-нің кіріктіру картасына қолданылады. Екіншісі, алгебралық геометриядағы морфизмдер жазықтық арқылы анықталатын үздіксіздіктерді көрсете алады деген ойда. Мысалы, алгебралық беттің бирационалдық геометриясында төменге үрлеу операциясы, барлық басқалары 0 өлшемді болғанда, 1 өлшемді жалғыз талшықты бере алады. Бұл (ретроспективті) морфизмдердегі жалпақтық осы жартылай үздіксіздікті немесе бір жақты секіруді басқаруға тікелей байланысты. Жазық морфизмдер жазық топосты (оның бірнеше нұсқасы бар) және одан алынған қаптардың жазық когомологиясын анықтау үшін қолданылады. Бұл терең теория, оны меңгеру оңай емес. Эталь морфизм (және де эталь когомологиясы) тұжырымдамасы жалпақ морфизм тұжырымдамасына байланысты: эталь морфизм жалпақ, шекті типті және тармақталмаған болып табылады.
In mathematics, in particular in the theory of schemes in algebraic geometry, a flat morphism f from a scheme X to a scheme Y is a morphism such that the induced map on every stalk is a flat map of rings, i. e.,
is a flat map for all P in X. A map of rings is called flat if it is a homomorphism that makes B a flat A module. A morphism of schemes is called faithfully flat if it is both surjective and flat. Two basic intuitions regarding flat morphisms are:
flatness is a generic property; and
the failure of flatness occurs on the jumping set of the morphism. The first of these comes from commutative algebra: subject to some finiteness conditions on f, it can be shown that there is a non empty open subscheme of Y, such that f restricted to Y′ is a flat morphism (generic flatness). Here 'restriction' is interpreted by means of the fiber product of schemes, applied to f and the inclusion map of into Y. For the second, the idea is that morphisms in algebraic geometry can exhibit discontinuities of a kind that are detected by flatness. For instance, the operation of blowing down in the birational geometry of an algebraic surface, can give a single fiber that is of dimension 1 when all the others have dimension 0. It turns out (retrospectively) that flatness in morphisms is directly related to controlling this sort of semicontinuity, or one sided jumping. Flat morphisms are used to define (more than one version of) the flat topos, and flat cohomology of sheaves from it. This is a deep lying theory, and has not been found easy to handle. The concept of étale morphism (and so étale cohomology) depends on the flat morphism concept: an étale morphism being flat, of finite type, and unramified.
Керемет тегістігі
Жазық морфизмдердің басқа мысалдарын "мыңгерлік жазықтық" принципін қолдану арқылы табуға болады. Бұл принципке сәйкес, егер Коэн-Маколей схемасынан тең өлшемді талшықтары бар тұрақты схемаға морфизм болса, онда ол жазық болады. Бұған эллипстік фибрациялар, тегіс морфизмдер және әрбір қабатында мыңгерлік тегістік шартын орындайтын қабатталған сорттарға жасалған морфизмдер жақсы мысалдар болып табылады.
Гилберт схемалары
Схемалардың жалпақ морфизмдерінің әмбебап мысалдары Гилберт схемаларымен беріледі. Бұл себебі Гилберт схемалары жалпақ морфизмдердің әмбебап кластарын параметрлейді, және әрбір жалпақ морфизм кейбір Гилберт схемасынан кері тартылу болып табылады. Яғни, егер жалпақ болса, онда Гилберт схемасы үшін коммутативті диаграмма бар. жалпақ болғандықтан, барлық талшықтардың бірдей Гилберт полиномы болады, сондықтан біз жоғарыдағы Гилберт схемасы үшін де осылай жаза аламыз.
for the Hilbert scheme of all flat morphisms to Since is flat, the fibers all have the same Hilbert polynomial , hence we could have similarly written for the Hilbert scheme above.
Жазық морфизмдердің қасиеттері
Болсын – схемалардың морфизмі. Морфизм үшін , белгілейміз және . Морфизм f тегіс, егер және тек қана егер әрбір g үшін кері тартылу квази когерентті модульдер санатынан квази когерентті модульдер санатына дейінгі дәл функтор болса. Егер f және x-те тегіс болса, онда g x-те тегіс, егер және тек қана егер gf x-те тегіс болса. Атап айтқанда, егер f адал тегіс болса, онда g тегіс немесе адал тегіс, егер және тек қана егер gf тегіс немесе адал тегіс болса.
Негізгі қасиеттері
Екі жалпақ морфизмнің құрамы жалпақ. Екі жалпақ немесе адал жалпақ морфизмнің талшықты көбейтіндісі тиісінше жалпақ немесе адал жалпақ морфизм болып табылады. Егер f жалпақ немесе адал жалпақ болса және , онда талшықты көбейтінді тиісінше жалпақ немесе адал жалпақ болады. Морфизмнің (жергілікті түрде шекті түрде ұсынылған) жазық болатын нүктелер жиыны ашық. Егер f адал жалпақ және шекті түрде ұсынылса, ал gf шекті типте немесе шекті түрде ұсынылса, онда g тиісінше шекті типте немесе шекті түрде ұсынылады. Егер схемалардың жалпақ морфизмі болса. Егер F – Y-де шекті түрде ұсынылған квази-когерентті шоғыр болса (әсіресе, егер F когерентті болса), және егер J – Y-де F-тің жойғышы болса, онда , кіріктіру картасының кері тартылуы инъекция болып табылады, ал -тің X-тегі бейнесі – -тің жойғышы болып табылады. Егер f адал жалпақ болса және G квази-когерентті модуль болса, онда жаһандық қималардағы кері тартылу картасы инъективті болады. Егер жалпақ болса. X және Y – S схемалары болсын, ал және олардың h бойынша базалық өзгеруі болсын.
Егер квазикомпакт және үстем болса, онда оның базалық өзгеруі квазикомпакт және үстем болады. Егер h адал жалпақ болса, онда кері тартылу картасы инъективті болады. квазикомпакт және квазибөлек деп есептейік. Z – X-тің жабық бейнесі, ал – канондық инъекция болсын. Онда , базалық өзгеру арқылы анықталған жабық кішісхема – -тің жабық бейнесі болады.
Жазылу және өлшем
Алдымен және жергілікті Ноэтериандық екенін қарастырайық, және x нүктесі X-те болсын. Егер f жазық болса, онда . Керісінше, егер бұл теңдік барлық x үшін орындалса, X Коэн-Маколей, ал Y реттелген, сондай-ақ f жабық нүктелерді жабық нүктелерге бейнелейді, онда f жазық. Егер f адал жазық болса, онда Y-тің кез келген жабық Z ішкі жиыны үшін . Егер f жазық және F, Y үстіндегі квази-когерентті модуль болса, F-тің проективті өлшемі n-нен аспаса, онда проективті өлшемі де n-нен аспауы керек.
Let x be a point of X and If f is flat, then Conversely, if this equality holds for all x, X is Cohen–Macaulay, and Y is regular, and furthermore f maps closed points to closed points, then f is flat. If f is faithfully flat, then for each closed subset Z of Y, Suppose f is flat and F is a quasi coherent module over Y. If F has projective dimension at most n, then has projective dimension at most n.
Төменгі қасиеттері
f x-те жазық деп есептейік. Егер X x-те азайтылған немесе қалыпты болса, онда Y f(x)-де сәйкесінше азайтылған немесе қалыпты болады. Керісінше, егер f шекті түрде көрсетілсе және f⁻¹(y) x-те сәйкесінше азайтылған немесе қалыпты болса, онда X x-те сәйкесінше азайтылған немесе қалыпты болады. Атап айтқанда, егер f шын мәнінде жазық болса, онда X азайтылған немесе қалыпты болса, онда Y сәйкесінше азайтылған немесе қалыпты болады. Егер f шын жазық және шекті түрде берілген болса, онда f-тің барлық талшықтары азайтылған немесе қалыпты болса, онда X сәйкесінше азайтылған немесе қалыпты болады. Егер f x-те жазық болса және егер X x-те интеграл немесе интеграл жабық болса, онда Y f(x)-де интеграл немесе интеграл жабық болады. Егер f шын мәнінде жазық болса, X жергілікті интеграл болып табылады, ал Y топологиялық кеңістігі жергілікті ноэтериандық болса, онда Y жергілікті интеграл болып табылады. Егер f шын мәнінде жазық және квази-компакт болса, ал егер X жергілікті ноэтериан болса, онда Y сонымен қатар жергілікті ноэтериан болады. f жазық және X және Y жергілікті ноэтериандық деп есептеңіз. Егер X x-те тұрақты болса, онда Y f(x)-де тұрақты болады. Керісінше, егер Y f(x)-де тұрақты болса және f⁻¹(f(x)) x-те тұрақты болса, онда X x-де тұрақты болады. f жазық және X және Y жергілікті ноэтериандық деп есептеңіз. Егер X x-те қалыпты болса, онда Y f(x)-де қалыпты болады. Керісінше, егер Y f(x)-де қалыпты болса және f⁻¹(f(x)) x-те қалыпты болса, онда X x-де қалыпты болады. g : Y′ → Y шын жазық болсын. F Y-де квази-когерентті шоғыр болсын, ал F′ F-нің Y′-ге кері тартылуы болсын. Сонда F Y үстіне жазық болса, егер F′ Y′ үстіне жазық болса ғана. f шын мәнінде жазық және квази-жапсырмалы деп есептеңіз. G Y-де квази-когерентті шоғыр болсын, ал F оның X-ке кері қайтуын білдірсін. Содан кейін F - шекті тип, шекті презентация немесе егер және тек егер G-де сәйкес қасиет болса, n-деңгейден жергілікті түрде бос. f : X → Y - S схемаларының S морфизмі деп есептеңіз. g : S′ → S шын жазық және квази-жапсырмалы болсын, ал X′, Y′ және f′ негізді g-мен өзгертетінін білдірсін. Содан кейін келесі қасиеттердің әрқайсысы үшін P, егер f′ P қасиетіне ие болса, онда f P қасиетіне ие болады. Ашық. Жабық. Квази-компакт және оның бейнесіне гомеоморфизм. Гомеоморфизм. Сонымен қатар, келесі қасиеттердің әрқайсысы үшін P, f P қасиетіне ие болса және тек қана егер f′ P қасиетіне ие болса. Жалпы жабық. Универсалды гомеоморфизм. Шамамен тығыз. Қалың және үстем. Қалыпты және жалпыға бірдей екі жақты. Ажырасқан. Бөлініп қалғандай. Жергілікті түрде шекті типті. Жергілікті деңгейде шектеулі ұсыныстар. Шекті тип. Шекті презентация. Дұрыс. Изоморфизм. Мономорфизм. Ашық шомылу. Тұтас суға шомылу. Жабық суға бату. Бір-біріне жақын. Бір-біріне жақын. Соңғысы. Шамамен шекті. Интегралды. f′ жергілікті изоморфизм болуы мүмкін, бірақ f тіпті жергілікті суға бату емес. Егер f - квазикомпакт, ал L - X-те инвертируемый шоғыр болса, онда L - f кең немесе f өте кең, егер және тек егер оның кері тартылуы L′ - f′ кең немесе f′ өте кең болса. Алайда, f проективті болса және тек қана егер f′ проективті болса ғана f проективті болып табылады деген дұрыс емес. Егер f - нақты болса және f′ проективті болса, онда f квази проективті дегенге де сәйкес келмейді, өйткені X′-де X-ке түспейтін f′-дің мол шоғыры болуы мүмкін.
Open. Closed. Quasi compact and a homeomorphism onto its image. A homeomorphism. Additionally, for each of the following properties P, f has P if and only if f′ has P.
Universally open. Universally closed. A universal homeomorphism. Quasi compact. Quasi compact and dominant. Quasi compact and universally bicontinuous. Separated. Quasi separated. Locally of finite type. Locally of finite presentation. Finite type. Finite presentation. Proper. An isomorphism. A monomorphism. An open immersion. A quasi compact immersion. A closed immersion. Affine. Quasi affine. Finite. Quasi finite. Integral. It is possible for f′ to be a local isomorphism without f being even a local immersion. If f is quasi compact and L is an invertible sheaf on X, then L is f ample or f very ample if and only if its pullback L′ is f′ ample or f′ very ample, respectively. However, it is not true that f is projective if and only if f′ is projective. It is not even true that if f is proper and f′ is projective, then f is quasi projective, because it is possible to have an f′ ample sheaf on X′ which does not descend to X.