Введение
Концепция теории схем
В математике, в частности в теории схем в алгебраической геометрии, плоский морфизм f из схемы X в схему Y — это морфизм, такой что индуцированное отображение на каждом слое является плоским отображением колец, то есть является плоским отображением для всех P в X. Отображение колец называется плоским, если это гомоморфизм, который делает B плоским A-модулем. Морфизм схем называется верно плоским, если он одновременно сюръективен и плоский. Две основные интуиции относительно плоских морфизмов:
плоскость является общим свойством; и
нарушение плоскости происходит на множестве скачков морфизма. Первая из них исходит из коммутативной алгебры: при выполнении некоторых условий конечности на f, можно показать, что существует непустая открытая подсхема Y′, такая что f, ограниченное на Y′, является плоским морфизмом (общая плоскость). Здесь "ограничение" интерпретируется посредством волокнистого произведения схем, применяемого к f и отображению включения Y′ в Y. Вторая идея заключается в том, что морфизмы в алгебраической геометрии могут проявлять разрывы, которые обнаруживаются с помощью плоскости. Например, операция выдувания в бирациональной геометрии алгебраической поверхности может привести к тому, что одно волокно будет иметь размерность 1, в то время как все остальные имеют размерность 0. Оказывается (ретроспективно), что плоскость в морфизмах напрямую связана с контролем такого рода полунепрерывности или одностороннего скачка. Плоские морфизмы используются для определения (более одной версии) плоского топоса и плоской когомологии пучков на нем. Это глубокая теория, и с ней нелегко работать. Понятие этального морфизма (и, следовательно, этальной когомологии) зависит от понятия плоского морфизма: этальный морфизм является плоским, конечного типа и неразветвленным.
In mathematics, in particular in the theory of schemes in algebraic geometry, a flat morphism f from a scheme X to a scheme Y is a morphism such that the induced map on every stalk is a flat map of rings, i. e.,
is a flat map for all P in X. A map of rings is called flat if it is a homomorphism that makes B a flat A module. A morphism of schemes is called faithfully flat if it is both surjective and flat. Two basic intuitions regarding flat morphisms are:
flatness is a generic property; and
the failure of flatness occurs on the jumping set of the morphism. The first of these comes from commutative algebra: subject to some finiteness conditions on f, it can be shown that there is a non empty open subscheme of Y, such that f restricted to Y′ is a flat morphism (generic flatness). Here 'restriction' is interpreted by means of the fiber product of schemes, applied to f and the inclusion map of into Y. For the second, the idea is that morphisms in algebraic geometry can exhibit discontinuities of a kind that are detected by flatness. For instance, the operation of blowing down in the birational geometry of an algebraic surface, can give a single fiber that is of dimension 1 when all the others have dimension 0. It turns out (retrospectively) that flatness in morphisms is directly related to controlling this sort of semicontinuity, or one sided jumping. Flat morphisms are used to define (more than one version of) the flat topos, and flat cohomology of sheaves from it. This is a deep lying theory, and has not been found easy to handle. The concept of étale morphism (and so étale cohomology) depends on the flat morphism concept: an étale morphism being flat, of finite type, and unramified.
Чудесная плоскость
Другие примеры плоских морфизмов можно найти, используя свойство "чудесной плоскости", которое утверждает, что если у вас есть морфизм между схемой Коэна–Макалоуи в регулярную схему с равноразмерными волокнами, то он плоский. Простыми примерами этого являются эллиптические расслоения, гладкие морфизмы и морфизмы в стратифицированные многообразия, удовлетворяющие условию чудесной плоскости на каждом слое.
Схемы Гильберта
Универсальные примеры плоских морфизмов схем даются схемами Гильберта. Это происходит потому, что схемы Гильберта параметризуют универсальные классы плоских морфизмов, и каждый плоский морфизм является обратным образом (оттягиванием) из некоторой схемы Гильберта. То есть, если f плоский, существует коммутативная диаграмма
для схемы Гильберта всех плоских морфизмов в X. Поскольку f плоский, волокна f⁻¹(x) все имеют один и тот же полином Гильберта P, следовательно, мы могли бы аналогично записать Hilb для схемы Гильберта выше.
Свойства плоских морфизмов
Пусть f — морфизм схем. Для морфизма g обозначим f* и g*. Морфизм f называется плоским, если и только если для каждого морфизма g, обратное отображение f* является точным функтором из категории квазикогерентных модулей над схемой Y в категорию квазикогерентных модулей над схемой X. Предположим, что f и g — морфизмы схем, и f плоский в точке x из X. Тогда g плоский в точке f(x) из Y, если и только если композиция gf плоский в точке x. В частности, если f верно плоский, то g плоский или верно плоский, если и только если gf плоский или верно плоский, соответственно.
Основные свойства
Соединение двух плоских морфизмов является плоским. Волокнистое произведение двух плоских или верно плоских морфизмов является плоским или верно плоским морфизмом, соответственно. Плоскость и верная плоскость сохраняются при изменении основания: если f плоский или верно плоский и , то волокнистое произведение является плоским или верно плоским, соответственно. Множество точек, в которых морфизм (локально конечно представленный) плоский, открыто. Если f верно плоский и конечно представлен, а gf имеет конечный тип или конечно представлен, то g имеет конечный тип или конечно представлен, соответственно. Пусть является плоским морфизмом схем. Если F — квазикогерентный пучок конечного представления на Y (в частности, если F — когерентный), и если J — аннигилятор F на Y, то , обратное отображение карты включения, является инъекцией, а образ в — аннигилятором на X. Если f верно плоский и G — квазикогерентный модуль, то обратное отображение на глобальных сечениях инъективно. Пусть плоский. Пусть X и Y — S-схемы, и пусть и — их изменение основания по h.
Если квазикомпактен и доминирует, то его изменение основания квазикомпактен и доминирует. Если h верно плоский, то обратное отображение инъективно. Предположим, квазикомпактен и квазиотделен. Пусть Z — замкнутое изображение X, и пусть — каноническая инъекция. Тогда замкнутая подсхема, определяемая изменением основания, является замкнутым образом .
Плоскость и размер
Предположим, что и являются локально нётеровыми, и пусть x – точка X и Если f плоская, то, наоборот, если это равенство выполняется для всех x, X является Коэном–Макалоу, а Y – регулярной, и кроме того, f отображает замкнутые точки в замкнутые точки, то f плоская. Если f верно-плоская, то для каждого замкнутого подмножества Z в Y, предположим, что f плоская и F – квазикогерентный модуль над Y. Если F имеет проективную размерность не более n, то имеет проективную размерность не более n.
Let x be a point of X and If f is flat, then Conversely, if this equality holds for all x, X is Cohen–Macaulay, and Y is regular, and furthermore f maps closed points to closed points, then f is flat. If f is faithfully flat, then for each closed subset Z of Y, Suppose f is flat and F is a quasi coherent module over Y. If F has projective dimension at most n, then has projective dimension at most n.
Свойства спуска
Предположим, что f плоская в x в X. Если X редуцирована или нормальна в x, то Y редуцирована или нормальна, соответственно, в f(x). И наоборот, если f также имеет конечную презентацию и f⁻¹(y) редуцирована или нормальна, соответственно, в x, то X редуцирована или нормальна, соответственно, в x. В частности, если f верно плоская, то редуцированность или нормальность X влечет редуцированность или нормальность Y, соответственно. Если f верно плоская и имеет конечную презентацию, то редуцированность или нормальность всех волокон f влечет редуцированность или нормальность X, соответственно. Если f плоская в x в X, и если X является интегральной или интегрально замкнутой в x, то Y является интегральной или интегрально замкнутой, соответственно, в f(x). Если f верно плоская, X локально интегральна, а топологическое пространство Y локально нётерово, то Y локально интегральна. Если f верно плоская и квазикомпактна, и если X локально нётерова, то Y также локально нётерова. Предположим, что f плоская, а X и Y локально нётеровы. Если X регулярна в x, то Y регулярна в f(x). И наоборот, если Y регулярна в f(x) и f⁻¹(f(x)) регулярна в x, то X регулярна в x. Предположим, что f плоская, а X и Y локально нётеровы. Если X нормальна в x, то Y нормальна в f(x). И наоборот, если Y нормальна в f(x) и f⁻¹(f(x)) нормальна в x, то X нормальна в x. Пусть g : Y′ → Y будет верно плоской. Пусть F — квазикогерентный пучок на Y, и пусть F′ — его прообраз в Y′. Тогда F плоская над Y тогда и только тогда, когда F′ плоская над Y′. Предположим, что f верно плоская и квазикомпактна. Пусть G — квазикогерентный пучок на Y, и пусть F обозначает его прообраз в X. Тогда F имеет конечный тип, конечную презентацию или локально свободна ранга n тогда и только тогда, когда G обладает соответствующим свойством. Пусть f : X → Y — S-морфизм S-схем. Пусть g : S′ → S будет верно плоской и квазикомпактной, и пусть X′, Y′ и f′ обозначают изменения базы по g. Тогда для каждого свойства P, если f′ обладает P, то f обладает P. Открыто. Закрыто. Квазикомпактно и является гомеоморфизмом на свое изображение. Гомеоморфизм. Кроме того, для каждого свойства P, f обладает P тогда и только тогда, когда f′ обладает P. Универсально открыто. Универсально замкнуто. Универсальный гомеоморфизм. Квазикомпактно. Квазикомпактно и доминирующе. Квазикомпактно и универсально бинепрерывно. Разделено. Квазиразделено. Локально конечного типа. Локально конечной презентации. Конечного типа. Конечной презентации. Собственно. Изоморфизм. Мономорфизм. Открытое погружение. Квазикомпактное погружение. Закрытое погружение. Аффинно. Квазиаффинно. Конечно. Квазиконечно. Интегрально. Возможно, что f′ является локальным изоморфизмом, не будучи даже локальным погружением. Если f квазикомпактна и L — обратимый пучок на X, то L является f-обильным или f-очень обильным тогда и только тогда, когда ее прообраз L′ является f′-обильным или f′-очень обильным, соответственно. Однако неверно, что f проективна тогда и только тогда, когда f′ проективна. Даже неверно, что если f собственна и f′ проективна, то f квазипроективна, поскольку возможно существование f′-обильного пучка на X′, который не спускается в X.
Open. Closed. Quasi compact and a homeomorphism onto its image. A homeomorphism. Additionally, for each of the following properties P, f has P if and only if f′ has P.
Universally open. Universally closed. A universal homeomorphism. Quasi compact. Quasi compact and dominant. Quasi compact and universally bicontinuous. Separated. Quasi separated. Locally of finite type. Locally of finite presentation. Finite type. Finite presentation. Proper. An isomorphism. A monomorphism. An open immersion. A quasi compact immersion. A closed immersion. Affine. Quasi affine. Finite. Quasi finite. Integral. It is possible for f′ to be a local isomorphism without f being even a local immersion. If f is quasi compact and L is an invertible sheaf on X, then L is f ample or f very ample if and only if its pullback L′ is f′ ample or f′ very ample, respectively. However, it is not true that f is projective if and only if f′ is projective. It is not even true that if f is proper and f′ is projective, then f is quasi projective, because it is possible to have an f′ ample sheaf on X′ which does not descend to X.