Кіріспе
Басқару теориясында, егер LTI жүйесі мен оның керісі себептік және тұрақты болса, сызықтық, уақытқа инвариант жүйе «ең аз фазалы» деп аталады. Басқару теориясы мен сигналды өңдеуде, егер жүйе және оның керісі себептік және тұрақты болса, сызықтық, уақытқа инвариант жүйе ең аз фазалы болып есептеледі. Ең жалпы себептік LTI беру функциясын барлық өткізгіш және ең аз фазалық жүйелерге бірден жіктеуге болады. Жүйелік функция осы екі бөліктің көбейтіндісі болып табылады, ал уақыт доменінде жүйенің жауабы екі бөліктің жауаптарының конволюциясы болып табылады. Ең аз фазалық және жалпы беру функциясы арасындағы айырмашылық – ең аз фазалық жүйенің беру функциясының барлық полюстері мен нөлдері s жазықтығының сол жартысында (ал дискретті уақытта z жазықтығының бірлік шеңберінің ішінде) орналасады. Жүйелік функцияны инверттеу кезінде полюстер нөлдерге, ал нөлдер полюстерге айналады. Оң жақтағы (s жазықтығының жолғары сызығында) немесе сыртындағы (z жазықтығының бірлік шеңберінен тыс) полюстер тұрақсыз жүйеге алып келеді, сондықтан инверсия кезінде тек ең аз фазалық жүйелер класы ғана жабылады. Интуитивті түрде, жалпы себептік жүйенің ең аз фазалық бөлігі амплитудалық жауабын минималды топтық кешігумен іске асырады, ал барлық өткізгіш бөлігі бастапқы жүйелік функцияға сәйкес келетін фазалық жауабын ғана түзетуге арналған. Полюстер мен нөлдер арқылы талдау тек көпшелердің қатынасы түрінде берілген беру функциялары үшін ғана дәл болады. Ұзындығы бойынша жүйелер үздіріссіз уақытта дәстүрлі, идеалдандырылған LCR тізбектеріне айналады. Дискретті уақытта олар қосу, көбейту және бірлік кешігуді пайдалана отырып, ыңғайлы түрде жуықталады. Екі жағдайда да, жүйелік функциялардың рационалды формасының өсу реті арқылы кез келген басқа жүйелік функцияны тиімді жуықтауға болады. Сондықтан, тіпті рационалды формасы жоқ жүйелік функциялар, яғни шексіз көп полюстері мен/немесе нөлдері бар жүйелік функциялар да практикалық тұрғыдан басқаларынан кем емес тиімділікпен жүзеге асырылуы мүмкін. Себептік және тұрақты жүйелер контекстінде, жабылу шарты мәселе болмаса, жүйелік функцияның нөлдері тұрақты диапазоннан тысқары (оңға немесе сыртқа) орналасуын теориялық тұрғыда таңдауға болады. Дегенмен, инверсияның практикалық маңызы зор, теориялық тұрғыдан толық факторлаулар да өздерінің маңыздылығына ие. (Мысалы, Гильберт түрлендіруі техникаларына алып келетін спектрлік симметриялық/антисимметриялық жіктелу.) Көптеген физикалық жүйелер табиғи түрде ең аз фазалық жауапқа бейім болады және кейде бірдей шектеулерді сақтайтын басқа физикалық жүйелерді пайдаланып инверттелуі керек. Осы жүйенің неліктен «ең аз фазалы» деп аталатыны және жүйелік функцияны рационалды формаға келтіру мүмкін болмаған жағдайда да негізгі идеяның неліктен қолданылатыны туралы түсінік төменде берілген.
In control theory and signal processing, a linear, time invariant system is said to be minimum phase if the system and its inverse are causal and stable. The most general causal LTI transfer function can be uniquely factored into a series of an all pass and a minimum phase system. The system function is then the product of the two parts, and in the time domain the response of the system is the convolution of the two part responses. The difference between a minimum phase and a general transfer function is that a minimum phase system has all of the poles and zeros of its transfer function in the left half of the s plane representation (in discrete time, respectively, inside the unit circle of the z plane). Since inverting a system function leads to poles turning to zeros and conversely, and poles on the right side (s plane imaginary line) or outside (z plane unit circle) of the complex plane lead to unstable systems, only the class of minimum phase systems is closed under inversion. Intuitively, the minimum phase part of a general causal system implements its amplitude response with minimal group delay, while its all pass part corrects its phase response alone to correspond with the original system function. The analysis in terms of poles and zeros is exact only in the case of transfer functions which can be expressed as ratios of polynomials. In the continuous time case, such systems translate into networks of conventional, idealized LCR networks. In discrete time, they conveniently translate into approximations thereof, using addition, multiplication, and unit delay. It can be shown that in both cases, system functions of rational form with increasing order can be used to efficiently approximate any other system function; thus even system functions lacking a rational form, and so possessing an infinitude of poles and/or zeros, can in practice be implemented as efficiently as any other. In the context of causal, stable systems, we would in theory be free to choose whether the zeros of the system function are outside of the stable range (to the right or outside) if the closure condition wasn't an issue. However, inversion is of great practical importance, just as theoretically perfect factorizations are in their own right. (Cf. the spectral symmetric/antisymmetric decomposition as another important example, leading e. g. to Hilbert transform techniques.) Many physical systems also naturally tend towards minimum phase response, and sometimes have to be inverted using other physical systems obeying the same constraint. Insight is given below as to why this system is called minimum phase, and why the basic idea applies even when the system function cannot be cast into a rational form that could be implemented.
Дискретті уақыт үлгісі
Жүйе дискретті уақытты, сызықтық, уақытқа өзгермейтін (LTI) жүйе деп есептейік, ол n ∈ 'Z' үшін импульстік жауаппен сипатталады. Сонымен қатар, жүйенің импульстік жауабы бар деп болжайық. Екі LTI жүйенің каскады – конволюция болып табылады. Бұл жағдайда жоғарыдағы қатынас келесідей:
мұнда δ[n] – Кронекер дельтасы, немесе дискретті уақыт жағдайындағы бірлік жүйесі. (Конволюция операциясының коммутативтілігіне байланысты және жүйенің реттілігін өзгертуге рұқсат етіледі.) Бұл кері жүйе бірегей болуы міндетті емес екеніне назар аударыңыз.
Минималды фазалы жүйе
Себеп-салдарлық және тұрақтылық шарттарын қолданғанда кері жүйе бірегей болады; ал жүйе және оның керісі – ең аз фазалы деп аталады. Дискретті уақыт жағдайында себептілік және тұрақтылық шарттары келесідей (уақыт бойынша өзгермейтін жүйелер үшін, мұнда h – жүйенің импульстік жауабы, ал ℓ1 – жүйенің ℓ1 нормасы):
Уақыт аймағындағы ең төменгі фаза
Барлық себептік және тұрақты жүйелер үшін, егер олардың амплитудалық сипаттамасы бірдей болса, минималды фазалық жүйенің энергиясы импульстік жауаптың басына шоғырланған болады. Яғни, ол келесі функцияны ең төменгі деңгейге дейін төмендетеді, оны импульстік жауаптағы энергияның кешігуі деп қарастыруға болады:
Топтың кідірісі ең аз кезең
Барлық себептік және тұрақты жүйелер үшін, егер олардың амплитудалық сипаттамасы бірдей болса, ең аз фазалық жүйеде топтық кідіріс ең аз болады. Төмендегі дәлелдеме осы ең аз топтық кідіріс идеясын көрсетеді. Біз трансфер функциясының бір нөлін қарастырайық. Осы нөлді бірлік шеңбердің ішіне орналастырып, топтық кідіріске қалай әсер ететінін көрейік. Нөл трансфер функциясына бір факторды қосады, ал осы фактордың фазасы келесідей болады. Бұл фактор топтық кідіріске келесідей үлес қосады. Бөлгіш және нөлді бірлік шеңбердің сыртына көшіруге байланысты өзгермейді, яғни, нөлді бірлік шеңбердің сыртына көшіру арқылы бөлгіштің шамасы өспейді. Бірақ, нөлді бірлік шеңбердің сыртына көшіру арқылы, біз есептегіштің шамасын арттырамыз. Осылайша, нөлді бірлік шеңбердің ішінде орналастыру, осы фактордың үлесімен топтық кідірісті азайтады. Бұл нәтижені бірнеше нөлдердің жалпы жағдайына кеңейтуге болады, өйткені түріндегі көбейту факторларының фазасы қосылады. Яғни, нөлдері бар трансфер функциясы үшін, бірлік шеңбердің ішіндегі барлық нөлдері бар ең аз фазалық жүйе топтық кідірісті азайтады, себебі әрбір жеке нөлдің топтық кідірісі азайтылған.
So, a minimum phase system with all zeros inside the unit circle minimizes the group delay since the group delay of each individual zero is minimized.
Минималды емес кезең
Себептік және тұрақты жүйелер, егер олардың кері жүйелері себептік болса, бірақ тұрақсыз болса, минималды емес фазалық жүйелер деп аталады. Кез келген минималды емес фазалық жүйенің фазалық сипаттамасы, сол көлемдегі жауапқа ие минималды фазалық жүйенің фазалық сипаттамасынан артық болады.
Сызықтық фаза
Сызықтық фазалық жүйеде топтық кешігу тұрақты болады. Маңызды емес сызықтық фазалық немесе сызықтыққа жуық фазалық жүйелер де аралас фазалы болады.