Введение
В теории управления, когда система LTI и её обратная система являются причинными и стабильными. В теории управления и обработке сигналов линейная, стационарная во времени система называется минимально-фазовой, если система и её обратная система являются причинными и стабильными. Наиболее общая причинная передаточная функция LTI может быть однозначно разложена в произведение системы с линейной фазой и минимально-фазовой системы. Функция системы тогда является произведением этих двух частей, а в частотной области отклик системы – свёрткой откликов этих двух частей. Отличие минимально-фазовой системы от общей передаточной функции заключается в том, что все полюса и нули передаточной функции минимально-фазовой системы расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости s (в дискретном времени, соответственно, внутри единичной окружности плоскости z). Поскольку инвертирование передаточной функции приводит к замене полюсов на нули и наоборот, а полюса, расположенные справа от мнимой оси (плоскость s) или за пределами (единичная окружность плоскости z) комплексной плоскости, приводят к нестабильным системам, только класс минимально-фазовых систем замкнут относительно инвертирования. Интуитивно, минимально-фазовая часть общей причинной системы реализует свою амплитудно-частотную характеристику с минимальной групповой задержкой, в то время как её система с линейной фазой корректирует только фазовую характеристику, чтобы соответствовать исходной передаточной функции. Анализ в терминах полюсов и нулей точен только для передаточных функций, которые могут быть представлены в виде отношения полиномов. В случае непрерывного времени такие системы реализуются в виде сетей из обычных, идеализированных LCR-элементов. В дискретном времени они удобно представляются в виде приближений, использующих сложение, умножение и единичную задержку. Можно показать, что в обоих случаях передаточные функции рациональной формы с возрастающим порядком могут быть использованы для эффективного приближения любой другой передаточной функции; таким образом, даже передаточные функции, не имеющие рациональной формы и, следовательно, обладающие бесконечным числом полюсов и/или нулей, на практике могут быть реализованы так же эффективно, как и любые другие. В контексте причинных, стабильных систем, теоретически мы могли бы свободно выбирать, находятся ли нули передаточной функции за пределами области стабильности (справа или снаружи), если бы условие замкнутости не имело значения. Однако инвертирование имеет большое практическое значение, как и теоретически совершенные разложения сами по себе. (См., например, спектральное симметричное/антисимметричное разложение как другой важный пример, приводящий, например, к методам преобразования Гильберта.) Многие физические системы также естественным образом стремятся к минимально-фазовому отклику и иногда требуют инвертирования с использованием других физических систем, подчиняющихся тому же ограничению. Ниже приводится объяснение того, почему эта система называется минимально-фазовой, и почему основная идея применима даже тогда, когда передаточную функцию нельзя представить в рациональной форме, которую можно реализовать.
In control theory and signal processing, a linear, time invariant system is said to be minimum phase if the system and its inverse are causal and stable. The most general causal LTI transfer function can be uniquely factored into a series of an all pass and a minimum phase system. The system function is then the product of the two parts, and in the time domain the response of the system is the convolution of the two part responses. The difference between a minimum phase and a general transfer function is that a minimum phase system has all of the poles and zeros of its transfer function in the left half of the s plane representation (in discrete time, respectively, inside the unit circle of the z plane). Since inverting a system function leads to poles turning to zeros and conversely, and poles on the right side (s plane imaginary line) or outside (z plane unit circle) of the complex plane lead to unstable systems, only the class of minimum phase systems is closed under inversion. Intuitively, the minimum phase part of a general causal system implements its amplitude response with minimal group delay, while its all pass part corrects its phase response alone to correspond with the original system function. The analysis in terms of poles and zeros is exact only in the case of transfer functions which can be expressed as ratios of polynomials. In the continuous time case, such systems translate into networks of conventional, idealized LCR networks. In discrete time, they conveniently translate into approximations thereof, using addition, multiplication, and unit delay. It can be shown that in both cases, system functions of rational form with increasing order can be used to efficiently approximate any other system function; thus even system functions lacking a rational form, and so possessing an infinitude of poles and/or zeros, can in practice be implemented as efficiently as any other. In the context of causal, stable systems, we would in theory be free to choose whether the zeros of the system function are outside of the stable range (to the right or outside) if the closure condition wasn't an issue. However, inversion is of great practical importance, just as theoretically perfect factorizations are in their own right. (Cf. the spectral symmetric/antisymmetric decomposition as another important example, leading e. g. to Hilbert transform techniques.) Many physical systems also naturally tend towards minimum phase response, and sometimes have to be inverted using other physical systems obeying the same constraint. Insight is given below as to why this system is called minimum phase, and why the basic idea applies even when the system function cannot be cast into a rational form that could be implemented.
Пример дискретного времени
Предположим, что система является дискретной во времени, линейной и инвариантной ко времени (LTI) системой, описываемой импульсной характеристикой для n, принадлежащего 'Z'. Дополнительно, предположим, что импульсная характеристика равна . Каскадное соединение двух LTI-систем представляет собой свёртку. В этом случае вышеуказанное соотношение выглядит следующим образом:
где δ – дельта Кронекера, или система идентичности в дискретном случае времени. (Изменение порядка систем и допустимо благодаря коммутативности операции свёртки.) Обратите внимание, что обратная система не обязательно должна быть единственной.
Система минимальных фаз
Когда мы накладываем ограничения причинности и устойчивости, обратная система является единственной; система и её обратная называются системами с минимальной фазой. Ограничения причинности и устойчивости в дискретном времени следующие (для систем, инвариантных относительно времени, где h – импульсная характеристика системы, а ||h||₁ – норма l1):
Минимальная фаза в области времени
Для всех причинных и устойчивых систем с одинаковой частотной характеристикой по амплитуде, система минимальной фазы концентрирует свою энергию в начале импульсной характеристики. Иными словами, она минимизирует следующую функцию, которую можно интерпретировать как задержку энергии в импульсной характеристике.
Минимальная фаза как минимальная групповая задержка
Для всех причинных и устойчивых систем, имеющих одинаковую амплитудно-частотную характеристику, система минимальной фазы имеет минимальную групповую задержку. Следующее доказательство иллюстрирует эту идею минимальной групповой задержки. Предположим, мы рассматриваем один ноль передаточной функции. Разместим этот ноль внутри единичной окружности и посмотрим, как это повлияет на групповую задержку. Поскольку этот ноль вносит фактор в передаточную функцию, фаза, вносимая этим членом, следующая. Этот член вносит следующий вклад в групповую задержку. Знаменатель и инвариантны при отражении нуля за пределы единичной окружности, то есть при замене на . Однако, отражая за пределы единичной окружности, мы увеличиваем величину в числителе. Таким образом, размещение внутри единичной окружности минимизирует групповую задержку, вносимую этим фактором. Мы можем распространить этот результат на общий случай, когда нулей больше одного, поскольку фазы мультипликативных факторов вида аддитивны. То есть, для передаточной функции с нулями,
Следовательно, система минимальной фазы со всеми нулями внутри единичной окружности минимизирует групповую задержку, поскольку групповая задержка каждого отдельного нуля минимизирована.
Неминимальный этап
Системы, являющиеся причинными и устойчивыми, обратные к которым являются причинными и неустойчивыми, называются системами с фазой, отличной от минимальной. Любая система с фазой, отличной от минимальной, будет иметь больший фазовый сдвиг, чем система минимальной фазы с эквивалентной амплитудно-частотной характеристикой.
Линейная фаза
Линейная фазовая система имеет постоянную групповую задержку. Нетривиальные линейно-фазовые или почти линейно-фазовые системы также являются системами со смещенной фазой.