Кіріспе
Математикада n жіптен құралған (белгісімен) өрім тобы, сондай-ақ Артин өрім тобы деп аталады, оның элементтері n өрімнің эквиваленттілік кластары (мысалы, қоршаған ортаның изотопиясы бойынша), ал топтық операциясы өрімдердің композициясы (құрамы) болып табылады (қараңыз). Өрім топтарының қолданылу мысалдарына түйін теориясы жатады, онда кез келген түйін белгілі бір өрімдердің жабылуы ретінде көрсетілуі мүмкін (Александр теоремасы деп аталатын нәтиже); математикалық физикада Артиннің өрім тобының канондық ұсынылысы Янг-Бакстер теңдеуімен сәйкес келеді (қараңыз); және алгебралық геометрияның монодромиялық инварианттары.
In mathematics, the braid group on n strands (denoted ), also known as the Artin braid group, is the group whose elements are equivalence classes of n braids (e. g. under ambient isotopy), and whose group operation is composition of braids (see ). Example applications of braid groups include knot theory, where any knot may be represented as the closure of certain braids (a result known as Alexander's theorem); in mathematical physics where Artin's canonical presentation of the braid group corresponds to the Yang–Baxter equation (see ); and in monodromy invariants of algebraic geometry.
Кіріспе
Бұл кіріспеде; n-нің басқа мәндеріне жалпылау тікелей болады. Үстел үстінде тік бағанға орналасқан төрт заттан тұратын екі жиынды қарастырыңыз, олар бір-біріне жақын орналасқан. (Төмендегі суреттерде бұл қара нүктелермен көрсетілген.) Төрт жіпті пайдаланып, бірінші жиынның әрбір заты екінші жиынның затымен байланыстырылады, нәтижесінде бір-бірге сәйкестік туындайды. Мұндай байланыс өрім деп аталады. Көбінесе кейбір жіптер басқаларының үстінен немесе астынан өтуі керек, және бұл өте маңызды: келесі екі байланыс әртүрлі өрімдер болып табылады:
{| valign="centre"
|
|
| is different from
|}
On the other hand, two such connections which can be made to look the same by "pulling the strands" are considered the same braid:
{| valign="centre"
|
|
| is the same as
|}
All strands are required to move from left to right; knots like the following are not considered braids:
{| valign="centre"
|
|
is not a braid
|}
Any two braids can be composed by drawing the first next to the second, identifying the four items in the middle, and connecting corresponding strands:
{| valign="centre"
|
|
| composed with
|
| yields
|}
Another example:
composed with yields
The composition of the braids σ and τ is written as στ. The set of all braids on four strands is denoted by The above composition of braids is indeed a group operation. The identity element is the braid consisting of four parallel horizontal strands, and the inverse of a braid consists of that braid which "undoes" whatever the first braid did, which is obtained by flipping a diagram such as the ones above across a vertical line going through its centre. (The first two example braids above are inverses of each other.)
{| valign="centre"
|
|
| әртүрлі
{| valign="centre"
|
|
| is different from
|}
On the other hand, two such connections which can be made to look the same by "pulling the strands" are considered the same braid:
{| valign="centre"
|
|
| is the same as
|}
All strands are required to move from left to right; knots like the following are not considered braids:
{| valign="centre"
|
|
is not a braid
|}
Any two braids can be composed by drawing the first next to the second, identifying the four items in the middle, and connecting corresponding strands:
{| valign="centre"
|
|
| composed with
|
| yields
|}
Another example:
composed with yields
The composition of the braids σ and τ is written as στ. The set of all braids on four strands is denoted by The above composition of braids is indeed a group operation. The identity element is the braid consisting of four parallel horizontal strands, and the inverse of a braid consists of that braid which "undoes" whatever the first braid did, which is obtained by flipping a diagram such as the ones above across a vertical line going through its centre. (The first two example braids above are inverses of each other.)
|}
{| valign="centre"
|
|
| is different from
|}
On the other hand, two such connections which can be made to look the same by "pulling the strands" are considered the same braid:
{| valign="centre"
|
|
| is the same as
|}
All strands are required to move from left to right; knots like the following are not considered braids:
{| valign="centre"
|
|
is not a braid
|}
Any two braids can be composed by drawing the first next to the second, identifying the four items in the middle, and connecting corresponding strands:
{| valign="centre"
|
|
| composed with
|
| yields
|}
Another example:
composed with yields
The composition of the braids σ and τ is written as στ. The set of all braids on four strands is denoted by The above composition of braids is indeed a group operation. The identity element is the braid consisting of four parallel horizontal strands, and the inverse of a braid consists of that braid which "undoes" whatever the first braid did, which is obtained by flipping a diagram such as the ones above across a vertical line going through its centre. (The first two example braids above are inverses of each other.)
Екінші жағынан, егер жіптерді "тарту арқылы" бірдей көрінуге болады, онда екі байланыс бір өрім деп есептеледі:
{| valign="centre"
|
|
| is different from
|}
On the other hand, two such connections which can be made to look the same by "pulling the strands" are considered the same braid:
{| valign="centre"
|
|
| is the same as
|}
All strands are required to move from left to right; knots like the following are not considered braids:
{| valign="centre"
|
|
is not a braid
|}
Any two braids can be composed by drawing the first next to the second, identifying the four items in the middle, and connecting corresponding strands:
{| valign="centre"
|
|
| composed with
|
| yields
|}
Another example:
composed with yields
The composition of the braids σ and τ is written as στ. The set of all braids on four strands is denoted by The above composition of braids is indeed a group operation. The identity element is the braid consisting of four parallel horizontal strands, and the inverse of a braid consists of that braid which "undoes" whatever the first braid did, which is obtained by flipping a diagram such as the ones above across a vertical line going through its centre. (The first two example braids above are inverses of each other.)
{| valign="centre"
|
|
| бірдей
{| valign="centre"
|
|
| is different from
|}
On the other hand, two such connections which can be made to look the same by "pulling the strands" are considered the same braid:
{| valign="centre"
|
|
| is the same as
|}
All strands are required to move from left to right; knots like the following are not considered braids:
{| valign="centre"
|
|
is not a braid
|}
Any two braids can be composed by drawing the first next to the second, identifying the four items in the middle, and connecting corresponding strands:
{| valign="centre"
|
|
| composed with
|
| yields
|}
Another example:
composed with yields
The composition of the braids σ and τ is written as στ. The set of all braids on four strands is denoted by The above composition of braids is indeed a group operation. The identity element is the braid consisting of four parallel horizontal strands, and the inverse of a braid consists of that braid which "undoes" whatever the first braid did, which is obtained by flipping a diagram such as the ones above across a vertical line going through its centre. (The first two example braids above are inverses of each other.)
|}
{| valign="centre"
|
|
| is different from
|}
On the other hand, two such connections which can be made to look the same by "pulling the strands" are considered the same braid:
{| valign="centre"
|
|
| is the same as
|}
All strands are required to move from left to right; knots like the following are not considered braids:
{| valign="centre"
|
|
is not a braid
|}
Any two braids can be composed by drawing the first next to the second, identifying the four items in the middle, and connecting corresponding strands:
{| valign="centre"
|
|
| composed with
|
| yields
|}
Another example:
composed with yields
The composition of the braids σ and τ is written as στ. The set of all braids on four strands is denoted by The above composition of braids is indeed a group operation. The identity element is the braid consisting of four parallel horizontal strands, and the inverse of a braid consists of that braid which "undoes" whatever the first braid did, which is obtained by flipping a diagram such as the ones above across a vertical line going through its centre. (The first two example braids above are inverses of each other.)
Барлық жіптер солдан оңға қарай жылжуы керек; келесідей түйіндер өрім деп есептелмейді:
{| valign="centre"
|
|
| is different from
|}
On the other hand, two such connections which can be made to look the same by "pulling the strands" are considered the same braid:
{| valign="centre"
|
|
| is the same as
|}
All strands are required to move from left to right; knots like the following are not considered braids:
{| valign="centre"
|
|
is not a braid
|}
Any two braids can be composed by drawing the first next to the second, identifying the four items in the middle, and connecting corresponding strands:
{| valign="centre"
|
|
| composed with
|
| yields
|}
Another example:
composed with yields
The composition of the braids σ and τ is written as στ. The set of all braids on four strands is denoted by The above composition of braids is indeed a group operation. The identity element is the braid consisting of four parallel horizontal strands, and the inverse of a braid consists of that braid which "undoes" whatever the first braid did, which is obtained by flipping a diagram such as the ones above across a vertical line going through its centre. (The first two example braids above are inverses of each other.)
{| valign="centre"
|
|
| өрім емес
{| valign="centre"
|
|
| is different from
|}
On the other hand, two such connections which can be made to look the same by "pulling the strands" are considered the same braid:
{| valign="centre"
|
|
| is the same as
|}
All strands are required to move from left to right; knots like the following are not considered braids:
{| valign="centre"
|
|
is not a braid
|}
Any two braids can be composed by drawing the first next to the second, identifying the four items in the middle, and connecting corresponding strands:
{| valign="centre"
|
|
| composed with
|
| yields
|}
Another example:
composed with yields
The composition of the braids σ and τ is written as στ. The set of all braids on four strands is denoted by The above composition of braids is indeed a group operation. The identity element is the braid consisting of four parallel horizontal strands, and the inverse of a braid consists of that braid which "undoes" whatever the first braid did, which is obtained by flipping a diagram such as the ones above across a vertical line going through its centre. (The first two example braids above are inverses of each other.)
|}
{| valign="centre"
|
|
| is different from
|}
On the other hand, two such connections which can be made to look the same by "pulling the strands" are considered the same braid:
{| valign="centre"
|
|
| is the same as
|}
All strands are required to move from left to right; knots like the following are not considered braids:
{| valign="centre"
|
|
is not a braid
|}
Any two braids can be composed by drawing the first next to the second, identifying the four items in the middle, and connecting corresponding strands:
{| valign="centre"
|
|
| composed with
|
| yields
|}
Another example:
composed with yields
The composition of the braids σ and τ is written as στ. The set of all braids on four strands is denoted by The above composition of braids is indeed a group operation. The identity element is the braid consisting of four parallel horizontal strands, and the inverse of a braid consists of that braid which "undoes" whatever the first braid did, which is obtained by flipping a diagram such as the ones above across a vertical line going through its centre. (The first two example braids above are inverses of each other.)
Кез келген екі өрімді біріншіні екіншісіне жанында салып, ортадағы төрт затты анықтап, сәйкес жіптерді қосу арқылы құрастыруға болады:
{| valign="centre"
|
|
| is different from
|}
On the other hand, two such connections which can be made to look the same by "pulling the strands" are considered the same braid:
{| valign="centre"
|
|
| is the same as
|}
All strands are required to move from left to right; knots like the following are not considered braids:
{| valign="centre"
|
|
is not a braid
|}
Any two braids can be composed by drawing the first next to the second, identifying the four items in the middle, and connecting corresponding strands:
{| valign="centre"
|
|
| composed with
|
| yields
|}
Another example:
composed with yields
The composition of the braids σ and τ is written as στ. The set of all braids on four strands is denoted by The above composition of braids is indeed a group operation. The identity element is the braid consisting of four parallel horizontal strands, and the inverse of a braid consists of that braid which "undoes" whatever the first braid did, which is obtained by flipping a diagram such as the ones above across a vertical line going through its centre. (The first two example braids above are inverses of each other.)
{| valign="centre"
|
|
| құрастырылған
|
| нәтижесінде
{| valign="centre"
|
|
| is different from
|}
On the other hand, two such connections which can be made to look the same by "pulling the strands" are considered the same braid:
{| valign="centre"
|
|
| is the same as
|}
All strands are required to move from left to right; knots like the following are not considered braids:
{| valign="centre"
|
|
is not a braid
|}
Any two braids can be composed by drawing the first next to the second, identifying the four items in the middle, and connecting corresponding strands:
{| valign="centre"
|
|
| composed with
|
| yields
|}
Another example:
composed with yields
The composition of the braids σ and τ is written as στ. The set of all braids on four strands is denoted by The above composition of braids is indeed a group operation. The identity element is the braid consisting of four parallel horizontal strands, and the inverse of a braid consists of that braid which "undoes" whatever the first braid did, which is obtained by flipping a diagram such as the ones above across a vertical line going through its centre. (The first two example braids above are inverses of each other.)
|}
{| valign="centre"
|
|
| is different from
|}
On the other hand, two such connections which can be made to look the same by "pulling the strands" are considered the same braid:
{| valign="centre"
|
|
| is the same as
|}
All strands are required to move from left to right; knots like the following are not considered braids:
{| valign="centre"
|
|
is not a braid
|}
Any two braids can be composed by drawing the first next to the second, identifying the four items in the middle, and connecting corresponding strands:
{| valign="centre"
|
|
| composed with
|
| yields
|}
Another example:
composed with yields
The composition of the braids σ and τ is written as στ. The set of all braids on four strands is denoted by The above composition of braids is indeed a group operation. The identity element is the braid consisting of four parallel horizontal strands, and the inverse of a braid consists of that braid which "undoes" whatever the first braid did, which is obtained by flipping a diagram such as the ones above across a vertical line going through its centre. (The first two example braids above are inverses of each other.)
Тағы бір мысал:
{| valign="centre"
|
|
| is different from
|}
On the other hand, two such connections which can be made to look the same by "pulling the strands" are considered the same braid:
{| valign="centre"
|
|
| is the same as
|}
All strands are required to move from left to right; knots like the following are not considered braids:
{| valign="centre"
|
|
is not a braid
|}
Any two braids can be composed by drawing the first next to the second, identifying the four items in the middle, and connecting corresponding strands:
{| valign="centre"
|
|
| composed with
|
| yields
|}
Another example:
composed with yields
The composition of the braids σ and τ is written as στ. The set of all braids on four strands is denoted by The above composition of braids is indeed a group operation. The identity element is the braid consisting of four parallel horizontal strands, and the inverse of a braid consists of that braid which "undoes" whatever the first braid did, which is obtained by flipping a diagram such as the ones above across a vertical line going through its centre. (The first two example braids above are inverses of each other.)
құрастырылған нәтижесінде
σ және τ өрімдерінің композициясы στ деп жазылады. Төрт жіптегі барлық өрімдер жиынымен белгіленеді. Жоғарыда көрсетілген өрімдердің композициясы шын мәнінде топтық операция болып табылады. Нейтраль элементі - төрт параллель көлденең жіптен тұратын өрім, ал өрімнің керісі бірінші өрім не істесе, оны "кері қайтару" арқылы жасалады, бұл жоғарыдағыдай диаграмманы оның ортасынан өтетін тік сызық арқылы кері аудару арқылы алынады. (Жоғарыда келтірілген алғашқы екі өрім бір-біріне кері.)
{| valign="centre"
|
|
| is different from
|}
On the other hand, two such connections which can be made to look the same by "pulling the strands" are considered the same braid:
{| valign="centre"
|
|
| is the same as
|}
All strands are required to move from left to right; knots like the following are not considered braids:
{| valign="centre"
|
|
is not a braid
|}
Any two braids can be composed by drawing the first next to the second, identifying the four items in the middle, and connecting corresponding strands:
{| valign="centre"
|
|
| composed with
|
| yields
|}
Another example:
composed with yields
The composition of the braids σ and τ is written as στ. The set of all braids on four strands is denoted by The above composition of braids is indeed a group operation. The identity element is the braid consisting of four parallel horizontal strands, and the inverse of a braid consists of that braid which "undoes" whatever the first braid did, which is obtained by flipping a diagram such as the ones above across a vertical line going through its centre. (The first two example braids above are inverses of each other.)
Қолданбалар
Жақында көпіршік теориясы сұйықтық механикасына, әсіресе сұйықтық ағындарындағы хаотикалық араласу саласына қолданылды. Физикалық таяқшалардың қозғалысы, периодтық орбиталар немесе "көлеңке таяқшалар" және дерлік өзгермейтін жиынтықтар арқылы қалыптасқан (2+1) өлшемді кеңістік-уақыт траекторияларының өрілуі, Нильсен-Турстон жіктемесін пайдалану арқылы бірнеше жасалған және табиғи сұйықтық жүйелерінің топологиялық энтропиясын бағалауға қолданылды. Кванттық физика контекстінде көпіршік топтары мен байланысты топологиялық ұғымдарды қамтитын тағы бір қарқынды зерттеу саласы – "аниондар" деп аталатын құбылыстың теориясы және (болжамды) эксперименталдық іске асыруы. Бұл құбылыс қателерді түзетуге қабілетті кванттық есептеудің негізін құруы мүмкін, сондықтан олардың абстрактілі зерттелуі қазіргі уақытта кванттық ақпарат саласында маңызды болып табылады.
Ресми қарау
Жоғарыдағы түйір топтары туралы бейресми талқылауды нақты негізге қою үшін, алгебралық топологияның гомотопия тұжырымын қолдану қажет, түйір топтарын конфигурациялық кеңістіктің негізгі топтары ретінде анықтау қажет. Балама ретінде, түйір топтарын түйір қатынастары арқылы таза алгебралық түрде анықтауға болады, суреттерді тек интуицияны басшылық ету үшін есте ұстап отыруға болады. Артиннің анықтамасындағы түйір тобын негізгі топқа қалай келтіру керектігін түсіндіру үшін, кемінде 2 өлшемді байланысты көптік қарастырамыз. -нің симметриялық көбейтіндісі - бұл симметриялық топтың -нің координаталарының индекстері бойынша әрекет етуі арқылы, -нің қатты Картезиан көбейтіндісінің бөлігі. Яғни, реттелген -тік тупл, оның реттелген түріндегі кез келген басқа туплмен бір орбитада болады. -лық симметриялық көбейтіндідегі жол – бұл ретсіз -тік тупл ретінде қарастырылатын -нің нүктелерін талқылаудың абстрактілі тәсілі, тәуелсіз түрде - сызықты іздеу. Сызықтар бір-бірінен өтіп кетпеуі керек болғандықтан, симметриялық көбейтіндінің, әр түрлі нүктелердің орбиталарының кіші кеңістігіне өту қажет. Яғни, біз барлық шарттармен анықталған кіші кеңістіктерді алып тастаймыз. Бұл симметриялық топта өзгермейді және симметриялық топтың алынбаған -тік туплдардың бөлігі болып табылады. Өлшем шарты бойынша бұл байланысты болады. Осы анықтамамен, - сызықты түйір тобын -нің негізгі тобы деп атауға болады (негізгі нүктенің кез келген таңдауы үшін – бұл изоморфизмге дейін жақсы анықталған). - Евклид жазықтығы болған жағдайда, Артиннің бастапқы анықтамасы болып табылады. Кейбір жағдайларда, -нің жоғары гомотопиялық топтарының тривиальды екендігі көрсетілуі мүмкін.
Жабық түйіршіктер
X жазықтық болғанда, тоқылма жабылуға қолданылуы мүмкін, яғни, сәйкес келетін ұштары жұптармен жалғастырылып, сілтеме – үш өлшемде түйіндер байланған орамалардың өзара байланысқан жиынтығын құруға болады. Сілтеменің компоненттерінің саны 1-ден n-ге дейін болуы мүмкін, бұл сілтеменің анықтайтын талшықтардың орналасуына байланысты. Ж.В. Александр теоремасы кез келген сілтемені осылайша "жабылу" арқылы алуға болатынын көрсетеді. Сызықтық сілтемелермен салыстырыңыз. Әртүрлі тоқылмалар бірдей сілтемеге әкелуі мүмкін, дәл сол сияқты әртүрлі қиылыс схемалары да бір түйінге әкелуі мүмкін. 1935 жылы Андрей Марков кіші жабық тоқылмалардың эквиваленттілігін қамтамасыз ететін тоқылма схемасындағы екі амалды сипаттады. Марков теоремасының бір амалды нұсқасы 1997 жылы жарияланды. Вон Джонс бастапқыда өзінің полиномын тоқылма инварианты ретінде анықтады, содан кейін ол жабық тоқылма класына ғана тәуелді екенін көрсетті. Марков теоремасы екі тоқылманың жабылулары теңдес сілтемелер болатын қажетті және жеткілікті шарттарды ұсынады.
Жапсырма индексі
"Брейд индексі" — байланыстың жабық өрімдік бейнесін жасау үшін қажетті ең аз жіптер саны. Ол кез келген түйін проекциясындағы сейферт шеңберлерінің ең аз санына тең.
Тарих
Брейд топтарын 1925 жылы Эмиль Артин нақты түрде енгізді, бірақ (Вильгельм Магнус 1974 жылы көрсеткендей) олар 1891 жылдан бері Адольф Хурвицтің монодромия туралы еңбектерінде жасырын түрде кездесетін. Брейд топтарын Эмиль Артин 1947 жылы көрсеткендей, нақты ұсыныстар арқылы сипаттауға болады. Брейд топтары сонымен қатар терең математикалық тұрғыдан түсіндіріледі: белгілі бір конфигурациялық кеңістіктердің түбірлік тобы ретінде.
Қосымша қасиеттері
Трейд тобы тривиальды, шексіз циклдік топ болып табылады және үшбұрыш түйінінің түйін тобына изоморфты, атап айтқанда, ол шексіз абельдік емес топ. n жіптік торап тобы алғашқы n жіптің ешқайсысын кесіп өтпейтін қосымша жіп қосып, m жіптік торап тобына кіші топ ретінде кіріктіріледі. Барлық n-ге артықшылықпен біріктірілген торап топтарының шексіз торап тобын құрайды. -ның бірлік элементі емес барлық элементтері шексіз тәртіпке ие; яғни, бұрмасыз. -дағы сол жақтан инвариантты сызықтық рет Дехорной реті деп аталады. -да екі генератордағы бос топқа изоморфты кіші топ бар. σi ↦ 1 ретімен анықталған гомоморфизм бар. Мысалы, σ2σ3σ1^(−1)σ2σ3 торабы осы гомоморфизм арқылы 1-ге бейнеленеді. Бұл бейнелеу торап тобының абелиандық тобына сәйкес келеді. σi^(k) ↦ k болғандықтан, онда σi^(k) тек қана k = 0 болғанда ғана бірлік элементі болады. Бұл генераторлардың шексіз тәртіпке ие екенін дәлелдейді.
Симметриялық топпен және таза тоқ топпен байланысы
Тақырыптардың қалай бұрылуы мен қиылысуын ұмытқанда, n тақырыптағы әрбір өрім n элементтегі пермутацияны анықтайды. Бұл бейнелеу композициямен үйлесімді және сюръективті болып табылады, сондықтан ол өрім тобынан симметриялық топқа Bn → Sn сюръективті топ гомоморфизміне айналады. Өрім σi ∈ Bn-нің бейнесі – бұл транспозиция. Бұл транспозициялар симметриялық топты тудырады, өрім тобының қатынастарын қанағаттандырады және 2-ші ретке ие. Бұл өрім тобының Артин презентациясын симметриялық топтың Коксетер презентациясына түрлендіреді:
Bn → Sn гомоморфизмінің ядросы – Bn тобының n жіптегі таза өрім тобы деп аталатын және Pn деп белгіленетін подтобы. Бұл Евклид жазықтығындағы ерекше нүктелердің n-топтық жиынының негізгі тобы ретінде қарастырылуы мүмкін. Таза өрімде әр жіптің басталуы мен соңы бірдей орында болады. Таза өрім топтары қысқа нақты тізбекке сәйкес келеді.
Бұл тізбек бөлінеді, сондықтан таза өрім топтары еркін топтардың итеративті жартылай тікелей көбейтінділері ретінде жүзеге асырылады.
Карталау класы тобымен байланыс және тоқылғандардың жіктелуі
Bn тоқылған топты n тесігі бар тесіктелген дискінің карталау класы тобына изоморфты екенін көрсетуге болады. Бұл, әрбір тесікті дискінің шекарасына жіп арқылы қосылған деп ойластыру арқылы ең оңай көрінеді; екі тесікті ауыстыратын кез келген карталау гомоморфизмін жіптердің гомотопиясы, яғни осы жіптердің тоқылуы ретінде қарастыруға болады. Тоқылғандардың осы карталау класы тобы түсіндірмесі арқылы, әрбір тоқылғанды периодты, қысқартылатын немесе псевдо-Аносов ретінде жіктеуге болады.
Торап теориясына байланысты
Егер бір орам берілген болса, сол жақтағы бірінші элементті оң жақтағы бірінші элементке, сол жақтағы екінші элементті оң жақтағы екінші элементке жаңа жіппен жалғастырса және т.б. (жаңа жіптерде ешқандай орам жасамай), сілтеме, кейде түйін пайда болады. Александр теоремасы орамдар теориясында керісінше де дұрыс екенін айтады: кез келген түйін және кез келген сілтеме кем дегенде бір орамнан осылай туындайды; мұндай орамды сілтемені кесіп алу арқылы алуға болады. Орамдарды σi генераторларында сөз түрінде нақты беруге болатындықтан, түйіндерді компьютерлік бағдарламаларға енгізудің ең қолайлы тәсілі осы болып табылады.
Есептеу аспектілері
Блок қатынастары үшін сөз мәселесі тиімді шешіледі және σ1, ..., σn−1 генераторлары арқылы Bn элементтерінің қалыпты түрі бар. (Шын мәнінде, өрімнің қалыпты түрін есептеу – жоғарыдағы екінші суреттерде көрсетілгендей, "тарамдарды тартудың" алгебралық аналогы.) Егер элементтер осы генераторлар тұрғысынан берілген болса, тегін GAP компьютерлік алгебра жүйесі Bn-де есептеулер жүргізе алады. GAP3 үшін CHEVIE деп аталатын пакет бар, ол өрім топтарына арнайы қолдау көрсетеді. Сөз мәселесі Лоренс-Краммер өрнегі арқылы да тиімді шешіледі. Сөз мәселесінен басқа, өрім топтарын іске асыра алатын бірнеше белгілі қиын есептеу проблемалары бар, криптографияда қолдану мүмкіндігі ұсынылған.
Іс-шаралар
Симметриялық топтың ауыстырулар арқылы әрекет етуіне ұқсас, әртүрлі математикалық жағдайларда мата тобының n нысандар жиынына немесе n еселенген тензорлық көбейтіндіге қатысты табиғи әрекеті бар, ол кейбір "бұралуларды" қамтиды. Кез келген G тобын қарастырайық және X – G элементтерінің барлық n жиыны болсын, олардың көбейтіндісі G тобының бірлік элементіне тең. Содан кейін Bn тобы X жиынына келесідей әрекет етеді: Осылайша xi және xi+1 элементтері орын алмастырады, және қосымша, xi, xi+1 элементіне сәйкес келетін ішкі автоморфизммен бұрылады – бұл x жиынының компоненттерінің көбейтіндісі бірлік элемент болып қалатынын қамтамасыз етеді. Мата тобының қатынастары орындалатынын және бұл формула шын мәнінде Bn тобының X жиынындағы әрекетін анықтайтынын тексеруге болады. Тағы бір мысал ретінде, тоқылған моноидтік санат – мата тобының әрекеті бар моноидтік санат. Мұндай құрылымдар қазіргі математикалық физикада маңызды рөл атқарады және кванттық түйін инварианттарына алып келеді.
Thus the elements xi and xi+1 exchange places and, in addition, xi is twisted by the inner automorphism corresponding to xi+1 – this ensures that the product of the components of x remains the identity element. It may be checked that the braid group relations are satisfied and this formula indeed defines a group action of Bn on X. As another example, a braided monoidal category is a monoidal category with a braid group action. Such structures play an important role in modern mathematical physics and lead to quantum knot invariants.
Өкілдіктер
Bn тораптық тобының элементтерін матрицалар арқылы нақтырақ бейнелеуге болады. Мұндай классикалық бейнелеулердің бірі – Бурау бейнелеуі, онда матрицалық элементтер бір айнымалылы Лорант полиномдары болып табылады. Бурау бейнелеуінің адал болуы көптен бері ашық сұрақ болып келді, бірақ n ≥ 5 үшін жауап теріс екені анықталды. Көбінесе, тораптық топтардың сызықтық болуы үлкен мәселе болып тұрды. 1990 жылы Рут Лоуренс бірнеше параметрлерге тәуелді, жалпы "Лоуренс бейнелеулерінің" отбасын сипаттады. 1996 жылы Четан Наяк пен Фрэнк Вилчек SO(3) проекциялық бейнелеулеріне аналогия бойынша, тораптық топтың проекциялық бейнелеулерінің фракциялық кванттық Холл эффектісіндегі белгілі бір квазибөлшектер үшін физикалық мағынасы бар екенін болжады. 2001 жыл шамасында Стивен Бигелоу мен Даан Крамер барлық тораптық топтардың сызықтық екенін тәуелсіз түрде дәлелдеді. Олардың жұмысында q және t айнымалыларына тәуелді өлшемді Лоуренс-Крамер бейнелеуі қолданылды. Бұл айнымалыларды тиісінше таңдау арқылы, тораптық топты комплекс сандардағы жалпы сызықтық топтың кіші тобы ретінде жүзеге асыруға болады.
Шексіз құрылған тораптар
Бұл ұғымды шексіз көп жіптерге жалпылаудың көптеген жолдары бар. Ең оңай жолы – өрімдер тобының тікелей шегін алу, онда қосылу шарттары генераторларды бірінші генераторларға жібереді (яғни, тривиальды жіпті қосу арқылы). Дегенмен, бұл топ үздіксіздігін сақтай отырып, метрикалық топологияны қабылдамайды. Пол Фабель көрсеткендей, нәтижедегі топқа екі топология жүктелуі мүмкін, олардың әрқайсысы әртүрлі топқа апарады. Біріншісі өте жай топ және шексіз тесілген дискінің карталау класы тобына изоморфты – дискінің шекарасына жақымдаған тесіктердің дискретті жиынтығы. Екінші топты шекті өрімдер тобымен бірдей деп қарастыруға болады. Әрбір нүктеге бір жіп қойыңыз, және өрімдердің жиынтығы – өрім нүктелерден нүктелерге дейінгі жолдар жиынтығы ретінде анықталғанда, онда функция соңғы нүктелерде ауыстыру тудырады – бұл жабайы топқа изоморфты. Қызықты факт – осы топтағы таза өрім тобы, шекті таза өрімдер тобының кері шегіне де, Гильберт кубының негізгі тобына, жиынтықтан тыс – изоморфты.