Введение

Группа, операция которой является композицией кос.

В математике, группа кос на n нитях (обозначается ), также известная как группа кос Артина, — это группа, элементы которой являются классами эквивалентности n кос (например, относительно окружающей изотопии), а групповая операция — композицией кос (см.). Примеры применения групп кос включают теорию узлов, где любой узел может быть представлен как замыкание определенных кос (результат, известный как теорема Александра); в математической физике, где каноническое представление группы кос Артином соответствует уравнению Янга — Бакстера (см.); и в монодромических инвариантах алгебраической геометрии.

Введение

В этом введении let ; обобщение на другие значения n будет простым. Рассмотрим две группы из четырех элементов, лежащих на столе, при этом элементы в каждой группе расположены в вертикальную линию и одна группа находится рядом с другой. (На иллюстрациях ниже это черные точки.) Используя четыре нити, каждый элемент первой группы соединяется с элементом второй группы таким образом, чтобы образовалось соответствие один к одному. Такое соединение называется косой. Часто некоторые нити должны проходить над другими или под ними, и это принципиально важно: следующие два соединения представляют собой разные косы:

{| valign="centre"
|
|
|    отличается от

|}

С другой стороны, два таких соединения, которые можно привести к одинаковому виду, "перемещая нити", считаются одной и той же косой:

{| valign="centre"
|
|
|    является тем же самым, что

|}

Все нити должны двигаться слева направо; узлы, подобные следующему, не считаются косами:

{| valign="centre"
|
|
не является косой
|}

Любые две косы можно составить, расположив первую рядом со второй, отождествив четыре элемента в середине и соединив соответствующие нити:

{| valign="centre"
|
|
|    составленная с
|
|    дает

|}

Другой пример:

составленная с         дает
Композиция кос σ и τ записывается как στ. Множество всех кос на четырех нитях обозначается как . Вышеуказанная композиция кос действительно является групповой операцией. Нейтральный элемент – это коса, состоящая из четырех параллельных горизонтальных нитей, а обратная коса состоит из косы, которая "отменяет" действие первой косы, и получается путем отражения диаграммы, подобной приведенным выше, относительно вертикальной линии, проходящей через ее центр. (Первые два примера выше являются обратными друг другу.)

Приложения

Теория кос недавно нашла применение в механике жидкостей, в частности, в области хаотического перемешивания в потоках жидкости. Использование переплетения (2+1)-мерных траекторий пространства-времени, формируемых движением физических стержней, периодических орбит или "призрачных стержней", а также почти инвариантных множеств, позволило оценить топологическую энтропию ряда искусственно созданных и естественных жидкостных систем посредством классификации Нильсена — Турстона. Другая область активных исследований, включающая группы кос и связанные с ними топологические концепции в контексте квантовой физики, связана с теорией и (предполагаемой) экспериментальной реализацией так называемых анионов. Эти частицы вполне могут стать основой для квантовых вычислений с коррекцией ошибок, поэтому их абстрактное изучение в настоящее время имеет фундаментальное значение для квантовой информации.

Формальное обращение

Чтобы поставить вышеупомянутое неформальное обсуждение групп кос на прочную основу, необходимо использовать концепцию гомотопии алгебраической топологии, определяя группы кос как фундаментальные группы конфигурационного пространства. Альтернативно, можно определить группу кос чисто алгебраически посредством соотношений кос, используя изображения лишь для интуитивного понимания. Чтобы объяснить, как свести группу кос в смысле Артина к фундаментальной группе, рассмотрим связное многообразие размерности не менее 2. Симметрическое произведение копий означает факторпространство , то есть -кратного декартова произведения по действию группы симметрий на нитях, оперирующем на индексах координат. То есть, упорядоченный кортеж находится на той же орбите, что и любой другой кортеж, являющийся его перестановкой. Путь в -кратном симметричном произведении – это абстрактный способ рассмотрения точек , рассматриваемых как неупорядоченный кортеж, независимо прослеживающих нити. Поскольку мы должны требовать, чтобы нити никогда не пересекались, необходимо перейти к подпространству симметричного произведения, состоящему из орбит кортежей из различных точек. То есть, мы удаляем все подпространства , определяемые условиями для всех . Это инвариантно относительно группы симметрий, и является факторпространством по группе симметрий неисключенных кортежей. При выполнении условия на размерность , будет связным. С этим определением мы можем назвать группу кос с нитями фундаментальной группой (для любого выбора базовой точки – это определено с точностью до изоморфизма). Случай, когда является евклидовой плоскостью, является исходным случаем, предложенным Артином. В некоторых случаях можно показать, что старшие гомотопические группы тривиальны.

Закрытые косички

Когда X является плоскостью, коса может быть замкнута, то есть соответствующие концы могут быть соединены попарно, чтобы образовать зацепление, то есть возможно переплетенное объединение возможно заузленных петель в трех измерениях. Количество компонент зацепления может быть любым от 1 до n, в зависимости от перестановки нитей, определяемой зацеплением. Теорема Дж. В. Александра показывает, что каждое зацепление может быть получено таким образом как «замыкание» косы. Сравните со связями струн. Разные косы могут приводить к одному и тому же зацеплению, так же как разные диаграммы пересечений могут приводить к одному и тому же узлу. В 1935 году Андрей Марков-младший описал два преобразования на диаграммах кос, которые приводят к эквивалентности соответствующих замкнутых кос. Одношаговая версия теоремы Маркова была опубликована в 1997 году. Вон Джонс первоначально определил свой полином как инвариант косы, а затем показал, что он зависит только от класса замкнутой косы. Теорема Маркова дает необходимые и достаточные условия, при которых замыкания двух кос являются эквивалентными зацеплениями.

Индекс косинок

"Индекс косы" — это наименьшее количество нитей, необходимое для получения замкнутой диаграммы зацепления в виде косы. Он равен наименьшему числу кругов Зейферта на любой проекции узла.

История

Группы кос были явно введены Эмилем Артином в 1925 году, хотя (как отметил Вильгельм Магнус в 1974 году) они уже неявно присутствовали в работе Адольфа Хурвица о монодромии, датированной 1891 годом. Группы кос могут быть описаны явными представлениями, что было показано Эмилем Артином в 1947 году. Группы кос также имеют более глубокую математическую интерпретацию: они являются фундаментальной группой определенных конфигурационных пространств.

Дополнительные свойства

Группа кос с одной нитью тривиальна, является бесконечной циклической группой , и изоморфна группе узла трилистника – в частности, это бесконечная неабелева группа. Группа кос с n нитями вкладывается как подгруппа в группу кос с n+1 нитями путем добавления дополнительной нити, которая не пересекает ни одну из первых n нитей. Восходящее объединение групп кос со всеми n является бесконечной группой кос . Все неединичные элементы имеют бесконечный порядок; то есть, группа не имеет кручения. Существует левоинвариантный линейный порядок на , называемый порядком Дехорноя. Для , содержит подгруппу, изоморфную свободной группе на двух образующих. Существует гомоморфизм , определяемый как σi ↦ 1. Так, например, коса σ2σ3σ1^(−1)σ2σ3 отображается в . Это отображение соответствует абелианизации группы кос. Поскольку σi^(k) ↦ k, то σi^(k) является единичным элементом тогда и только тогда, когда . Это доказывает, что образующие имеют бесконечный порядок.

Отношение с симметричной группой и чистой группой плетен

Забывая о том, как пряди закручиваются и перекрещиваются, каждое плетение на n прядях определяет перестановку из n элементов. Это соответствие является сюръективным и совместимо с композицией, и поэтому становится сюръективным групповым гомоморфизмом Bn → Sn из группы кос в симметрическую группу. Образ косы σi ∈ Bn является транспозицией. Эти транспозиции порождают симметрическую группу, удовлетворяют соотношениям группы кос и имеют порядок 2. Это преобразует представление Артина группы кос в представление Коксетера симметрической группы:

Ядро гомоморфизма Bn → Sn является подгруппой Bn, называемой чистой группой кос на n прядях и обозначаемой Pn. Её можно рассматривать как фундаментальную группу пространства из n-ок различных точек евклидовой плоскости. В чистом плетении начало и конец каждой пряди находятся в одном и том же положении. Чистые группы кос вписываются в короткую точную последовательность.

Эта последовательность расщепляется, и поэтому чистые группы кос реализуются как итерированные полупрямые произведения свободных групп.

Связь с группой классов отображения и классификация плетений

Можно показать, что группа кос Bn изоморфна группе классов отображений проколотого диска с n проколами. Это легче всего представить, вообразив, что каждый прокол соединен нитью с границей диска; тогда каждый отображающий гомоморфизм, переставляющий два прокола, можно рассматривать как гомотопию этих нитей, то есть как переплетение нитей. Благодаря этой интерпретации группы классов отображений для кос, каждую косу можно классифицировать как периодическую, редуцируемую или псевдо-Аносова.

Связь с теорией узлов

Если дана коса, и первый элемент слева соединяется с первым элементом справа новой нитью, второй элемент слева — со вторым элементом справа и так далее (без образования каких-либо кос в новых нитях), то получается зацепление, а иногда и узел. Теорема Александра в теории кос утверждает, что обратное также верно: любой узел и любое зацепление можно получить таким образом из хотя бы одной косы; такую косу можно получить, разрезав зацепление. Поскольку косы могут быть конкретно заданы как слова в генераторах σi, это часто является предпочтительным способом ввода узлов в компьютерные программы.

Вычислительные аспекты

Словозадача для соотношений кос эффективно разрешима и существует нормальная форма для элементов Bn в терминах генераторов σ1, …, σn−1. (По сути, вычисление нормальной формы косы является алгебраическим аналогом "распутывания прядей", как показано на нашем втором наборе изображений выше.) Свободная система компьютерной алгебры GAP может выполнять вычисления в Bn, если элементы заданы в терминах этих генераторов. Также существует пакет CHEVIE для GAP3 со специальной поддержкой групп кос. Словозадача также эффективно решается с помощью представления Лоуренса — Краммера. Помимо словозадачи, существует несколько известных трудных вычислительных задач, которые могут быть реализованы для групп кос, и были предложены приложения в криптографии.

Действия

По аналогии с действием симметрической группы перестановками, в различных математических контекстах существует естественное действие группы кос на n-кортежи объектов или на n-кратное тензорное произведение, включающее в себя некоторые "закрутки". Рассмотрим произвольную группу G и пусть X – множество всех n-кортежей элементов G, произведение которых равно единичному элементу G. Тогда группа кос Bn действует на X следующим образом:

Таким образом, элементы xi и xi+1 меняются местами, и, кроме того, элемент xi скручивается внутренним автоморфизмом, соответствующим элементу xi+1 – это гарантирует, что произведение компонент x остаётся единичным элементом. Можно проверить, что соотношения группы кос выполняются, и эта формула действительно определяет групповое действие Bn на X. В качестве другого примера, косо-моноидальная категория – это моноидальная категория с действием группы кос. Такие структуры играют важную роль в современной математической физике и приводят к квантовым инвариантам узлов.

Представительства

Элементы группы кос Bn могут быть представлены более конкретно матрицами. Одним из классических таких представлений является представление Бурау, где элементы матрицы являются полиномами Лорана от одной переменной. Долгое время оставался открытым вопрос о верности представления Бурау, но ответ оказался отрицательным при n ≥ 5. В более общем плане, важной нерешенной проблемой было выяснение, являются ли группы кос линейными. В 1990 году Рут Лоуренс описала семейство более общих "представлений Лоуренса", зависящих от нескольких параметров. В 1996 году Четан Наяк и Фрэнк Вильчек предположили, что по аналогии с проективными представлениями SO(3), проективные представления группы кос имеют физический смысл для определенных квазичастиц в дробном квантовом эффекте Холла. Около 2001 года Стивен Бигелоу и Даан Крамер независимо друг от друга доказали, что все группы кос линейны. В их работе использовалось представление Лоуренса — Крамера размерности, зависящей от переменных q и t. При соответствующем выборе этих переменных группа кос может быть реализована как подгруппа общей линейной группы над комплексными числами.

Бесконечно генерируемые группы плетен

Есть много способов обобщить это понятие до бесконечного числа нитей. Самый простой способ — взять прямую границу групп кос, где отображения прикрепления посылают генераторы группы B_n к первым n генераторам группы B_{n+1} (то есть, прикрепляя тривиальную нить). Однако эта группа не допускает метризуемой топологии, оставаясь при этом непрерывной. Пол Фабель показал, что существует две топологии, которые можно наложить на полученную группу, каждая из которых приводит к разным группам при завершении. Первая — это очень "укрощённая" группа, изоморфная группе классов отображений бесконечно проколотого диска — дискретному множеству проколов, стремящемуся к границе диска. Вторую группу можно рассматривать аналогично конечным группам кос. Разместите нить в каждой из точек x_i, и множество всех кос — где коса определяется как набор путей из точек x_i в точки x'_i, таких что соответствующая функция индуцирует перестановку на конечных точках — изоморфно этой более "дикой" группе. Интересно отметить, что чистая группа кос в этой группе изоморфна как обратному пределу конечных чистых групп кос, так и фундаментальной группе куба Гильберта без некоторого множества.