Кіріспе
Дифференциалдық оператордың түрі. Пайшалы дифференциалдық теңдеулер теориясында эллипстік операторлар Лаплас операторын жалпылайтын дифференциалдық операторлар болып табылады. Олар жоғары ретті туындылардың коэффициенттері оң болуы шартымен анықталады, бұл негізгі символдың инвертірленетіндігін немесе, эквивалентті түрде, нақты сипаттамалық бағыттардың жоқ екенін білдіреді. Эллипстік операторлар потенциал теориясының ерекшелігі және электростатика мен континуум механикасында жиі кездеседі. Эллипстік реттелілік олардың шешімдерінің тегіс функцияларға ұмтылуын білдіреді (егер оператордағы коэффициенттер тегіс болса). Гиперболалық және параболалық теңдеулердің тоқтау күйіндегі шешімдері әдетте эллипстік теңдеулерді шешеді.
In the theory of partial differential equations, elliptic operators are differential operators that generalize the Laplace operator. They are defined by the condition that the coefficients of the highest order derivatives be positive, which implies the key property that the principal symbol is invertible, or equivalently that there are no real characteristic directions. Elliptic operators are typical of potential theory, and they appear frequently in electrostatics and continuum mechanics. Elliptic regularity implies that their solutions tend to be smooth functions (if the coefficients in the operator are smooth). Steady state solutions to hyperbolic and parabolic equations generally solve elliptic equations.
Эллипстік жүйелілік теоремасы
L – 2k үздіксіз туындылары бар коэффициенттері бар 2k реттік эллипстік оператор болсын. L үшін Дирихле проблемасы – f функциясы және кейбір тиісті шекаралық шарттар берілгенде, Lu = f және u тиісті шекаралық шарттар мен қалыпты туындыларды қанағаттандыратын u функциясын табу болып табылады. Эллипстік операторлардың барлыққа келу теориясы, Гардинг теңсіздігі мен Лакс-Милграм леммасын қолдана отырып, Соболев кеңістігінде Hk-де u әлсіз шешімінің бар екенін кепілдейді. Бұл жағдай толыққанды қанағаттандырмайды, себебі әлсіз u шешімінде Lu өрнегі классикалық мағынада дұрыс анықталған болуы үшін жеткілікті туындылар болмауы мүмкін. Эллипстік реттелу теоремасы f квадратқа интегралданатын болса, u шын мәнінде 2k квадратқа интегралданатын әлсіз туындыларға ие болатынын кепілдейді. Атап айтқанда, егер f шексіз көп рет дифференциалданатын болса, онда u да солай болады. Осы қасиетті көрсететін кез келген дифференциалдық оператор гипоэллиптік оператор деп аталады; демек, әрбір эллипстік оператор гипоэллиптік болып табылады. Бұл қасиет сонымен қатар эллипстік оператордың кез келген негізгі шешімі 0 нүктесін қамтымайтын кез келген аймақта шексіз дифференциалданатынын білдіреді. Мысал ретінде, функция Коши-Риманн теңдеулерін қанағаттандырады делік. Коши-Риманн теңдеулері эллипстік оператор құрағандықтан, функция тегіс болады.