Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Оптимизациялау мәселесінің түрі
Type of optimization problem
Физика мен математикада жолға тәуелді жүйе – оның күйі оған жету үшін таңдалған жолға байланысты болатын физикалық жүйе. Мұндай жүйе дифференциалдық және сызықтық емес шектеулерге бағынған параметрлер жиынтығы арқылы сипатталады. Яғни, жүйе параметрлік кеңістікте жол бойымен өзгергенде (параметрлердің мәндері үздіксіз түрде өзгереді), бірақ ақырында жолдың басындағы параметрлердің бастапқы жиынтығына оралғанда, жүйенің өзі бастапқы күйіне қайта оралмауы мүмкін. Жолға тәуелді механика – Ньютон механикасының автономды саласы.
A nonholonomic system in physics and mathematics is a physical system whose state depends on the path taken in order to achieve it. Such a system is described by a set of parameters subject to differential constraints and non linear constraints, such that when the system evolves along a path in its parameter space (the parameters varying continuously in values) but finally returns to the original set of parameter values at the start of the path, the system itself may not have returned to its original state. Nonholonomic mechanics is autonomous division of Newtonian mechanics.
Егжей-тегжейлер
Нақтырақ айтқанда, голономикалық емес жүйе, оны анолономикалық жүйе деп те атайды, басқарушы параметрлердің үздіксіз жабық тізбегіне ие, оның арқасында жүйе кез келген берілген күйден кез келген басқа күйге өтуі мүмкін. Жүйенің соңғы күйі оның параметрлік кеңістіктегі траекториясының аралық мәндеріне байланысты болғандықтан, жүйені консервативті потенциалдық функция арқылы бейнелеу мүмкін емес, мысалы, гравитациялық күштің кері квадрат заңы сияқты. Соңғысы – голономикалық жүйенің мысалы: жүйенің жол интегралдары жүйенің бастапқы және соңғы күйлеріне (потенциалдағы орналасуларына) ғана байланысты, ал олардың арасындағы өту траекториясына мүлдем тәуелсіз. Сондықтан жүйе интегралданатын деп есептеледі, ал голономикалық емес жүйе – интегралданатын емес. Голономиялық емес жүйеде жол интегралы есептелгенде, алынған мән рұқсат етілген мәндердің белгілі бір диапазонындағы ауытқуды көрсетеді және бұл ауытқу қарастырылып отырған нақты жолмен туындаған анономия деп аталады. Бұл терминді 1894 жылы Генрих Герц енгізген. Анолономиялық жүйелердің жалпы ерекшелігі – параметрлердің имплицитті түрде байланысты болуы. Егер бұл имплицитті байланыс жойылса, мысалы, кеңістіктің өлшемділігін арттыру арқылы, кем дегенде бір қосымша параметрді қосып, жүйе шынымен голономикалық емес емес, төменгі өлшемді кеңістіктің толық емес моделі болып табылады. Керісінше, егер жүйе өзіндік тәуелсіз координаттармен (параметрлермен) бейнелене алмайтын болса, онда ол шынайы анолономикалық жүйе болып табылады. Кейбір авторлар жүйенің «ішкі» және «сыртқы» күйлері деп аталатын жағдайларды бөліп көрсетуге тырысады, бірақ шындығында жүйені сипаттау үшін барлық параметрлер қажет, олар «ішкі» немесе «сыртқы» процестерді көрсете бермейді, сондықтан бұл айырмашылық жасанды. Дегенмен, физикалық жүйелер мен консервация принциптерін сақтамайтын жүйелер арасында нақты және шешілмейтін айырмашылық бар. Сферадағы параллель көшіру мысалында бұл айқын: Римандық көпқырлылықтың метрикасы Евклид кеңістігінен түбірінен өзгеше. Сферадағы параллель көшіруге қатысты имплицитті байланыс – евклидтік емес метриканың ерекшелігі. Сфераның беті – екі өлшемді кеңістік. Өлшемділігін арттыру арқылы метриканың мәнісін анық көруге болады, бірақ ол әлі де негізінен екі өлшемді кеңістік болып қалады, оның параметрлері Риман метрикасымен байланыстырып өрілген. Мысалы, X Y плоттері – жүйедегі механикалық компоненттердің күйі плоттер қаламының кез келген орны үшін бірегей тұрақты конфигурацияға ие болатын голономикалық жүйе. Егер қалам 0,0 және 3,3 позициялары арасында жылжыса, механизмның тісті доңғалақтары механизм алдымен x осінде 3 бірлікке, содан кейін y осінде 3 бірлікке жылжытса, алдымен Y осіндегі орнын жылжытса немесе 3,3 соңғы орнына әкелетін кез келген басқа орын ауыстыру тізбегін орындаса да, бірдей соңғы орналасуға ие болады. Машинаның соңғы күйі графикалық қаламның жаңа орнына жету жолына тәуелді болмағандықтан, соңғы нәтиженің жолға тәуелді емес екенін айтуға болады. Егер біз тасбақа плоттерін қолдансақ, қаламды 0,0-ден 3,3-ке жылжыту процесі робот механизмының тісті доңғалақтары екі позиция арасындағы қозғалысқа қолданылған жолға байланысты әртүрлі орналасуда аяқталуына әкелуі мүмкін. Мұндай жүйенің неге голономикалық екендігін түсіндіру үшін осы ұқсас порталды кран мысалын қараңыз.
More precisely, a nonholonomic system, also called an anholonomic system, is one in which there is a continuous closed circuit of the governing parameters, by which the system may be transformed from any given state to any other state. Because the final state of the system depends on the intermediate values of its trajectory through parameter space, the system cannot be represented by a conservative potential function as can, for example, the inverse square law of the gravitational force. This latter is an example of a holonomic system: path integrals in the system depend only upon the initial and final states of the system (positions in the potential), completely independent of the trajectory of transition between those states. The system is therefore said to be integrable, while the nonholonomic system is said to be nonintegrable. When a path integral is computed in a nonholonomic system, the value represents a deviation within some range of admissible values and this deviation is said to be an anholonomy produced by the specific path under consideration. This term was introduced by Heinrich Hertz in 1894. The general character of anholonomic systems is that of implicitly dependent parameters. If the implicit dependency can be removed, for example by raising the dimension of the space, thereby adding at least one additional parameter, the system is not truly nonholonomic, but is simply incompletely modeled by the lower dimensional space. In contrast, if the system intrinsically cannot be represented by independent coordinates (parameters), then it is truly an anholonomic system. Some authors make much of this by creating a distinction between so called internal and external states of the system, but in truth, all parameters are necessary to characterize the system, be they representative of "internal" or "external" processes, so the distinction is in fact artificial. However, there is a very real and irreconcilable difference between physical systems that obey conservation principles and those that do not. In the case of parallel transport on a sphere, the distinction is clear: a Riemannian manifold has a metric fundamentally distinct from that of a Euclidean space. For parallel transport on a sphere, the implicit dependence is intrinsic to the non euclidean metric. The surface of a sphere is a two dimensional space. By raising the dimension, we can more clearly see the nature of the metric, but it is still fundamentally a two dimensional space with parameters irretrievably entwined in dependency by the Riemannian metric. By contrast, one can consider an X Y plotter as an example of a holonomic system where the state of the system's mechanical components will have a single fixed configuration for any given position of the plotter pen. If the pen relocates between positions 0,0 and 3,3, the mechanism's gears will have the same final positions regardless of whether the relocation happens by the mechanism first incrementing 3 units on the x axis and then 3 units on the y axis, incrementing the Y axis position first, or operating any other sequence of position changes that result in a final position of 3,3. Since the final state of the machine is the same regardless of the path taken by the plotter pen to get to its new position, the end result can be said not to be path dependent. If we substitute a turtle plotter, the process of moving the pen from 0,0 to 3,3 can result in the gears of the robot's mechanism finishing in different positions depending on the path taken to move between the two positions. See this very similar gantry crane example for a mathematical explanation of why such a system is holonomic.
Тарих
Н. М. Феррер алғаш рет 1871 жылы қозғалыс теңдеулерін голономиялық емес шектеулермен кеңейтуді ұсынды. Ол жалпыланған жылдамдықтар арқылы Картезиандық жылдамдықтарды өрнектеуді енгізді. 1877 жылы Э. Рут Лагранж көбейтушілерін қолданып теңдеулерді жазды. Өзінің "Қатты денелердің сызықтық голономиялық емес шектеулері" атты кітабының үшінші басылымында ол көбейтушілермен жазылған форманы енгізді, бұл қазір көбейтушілермен екінші түрдегі Лагранж теңдеулері деп аталады. Голономиялық және голономиялық емес жүйелер терминдерін 1894 жылы Генрих Герц енгізді. 1897 жылы С. А. Чаплыгин Лагранж көбейтушілерін қолданбай қозғалыс теңдеулерін құруды ұсынды. Белгілі бір сызықтық шектеулерде ол қозғалыс теңдеулерінің сол жағына Лагранж операторы түріндегі қосымша мүшелер тобын қосты. Қалған қосымша мүшелер жүйенің голономиялық емес екенін көрсетеді және берілген шектеулер интегралданатын болса, олар нөлге тең болады. 1901 жылы П. В. Воронец Чаплыгиннің жұмысын циклдік емес голономиялық координаттар және стационарлық емес шектеулер жағдайларына қатысты кеңейтті.
N. M. Ferrers first suggested to extend the equations of motion with nonholonomic constraints in 1871. He introduced the expressions for Cartesian velocities in terms of generalized velocities. In 1877, E. Routh wrote the equations with the Lagrange multipliers. In the third edition of his book for linear non holonomic constraints of rigid bodies, he introduced the form with multipliers, which is now called the Lagrange equations of the second kind with multipliers. The terms the holonomic and nonholonomic systems were introduced by Heinrich Hertz in 1894. In 1897, S. A. Chaplygin first suggested to form the equations of motion without Lagrange multipliers. Under certain linear constraints, he introduced on the left hand side of the equations of motion a group of extra terms of the Lagrange operator type. The remaining extra terms characterise the nonholonomicity of system and they become zero when the given constrains are integrable. In 1901 P. V. Voronets generalised Chaplygin's work to the cases of noncyclic holonomic coordinates
and of nonstationary constraints.
Дөңгелек
Дөңгелек (кейде бір дөңгелек немесе домалап жатқан монета түрінде көрінеді) - бұл голономиялық емес жүйе.
A wheel (sometimes visualized as a unicycle or a rolling coin) is a nonholonomic system.
Бейтаныс адамның түсіндірмесі
Мысалы, белгілі бір жерге (жерге) тоқтатылған велосипедтің дөңгелегін қарастырайық. Бастапқыда инфляция клапаны дөңгелектің белгілі бір орнында орналасқан. Егер велосипед айналып айдалып, содан кейін дәл сол жерге қайта тоқтатылса, клапанның орны бұрынғыдан әлдеқайда өзгеше болуы мүмкін. Оның жаңа орны алынған жолға байланысты болады. Егер дөңгелек голономиялық болғанда, клапан сабағы дөңгелек Жердегі бірдей орынға оралған сайын әрқашан бірдей күйде болар еді. Бірақ, бұл олай емес, демек, жүйе голономиялық емес.
Consider the wheel of a bicycle that is parked in a certain place (on the ground). Initially the inflation valve is at a certain position on the wheel. If the bicycle is ridden around, and then parked in exactly the same place, the valve will almost certainly not be in the same position as before. Its new position depends on the path taken. If the wheel were holonomic, then the valve stem would always end up in the same position as long as the wheel were always rolled back to the same location on the Earth. Clearly, however, this is not the case, so the system is nonholonomic.
Дөңгелек сфера
Бұл мысал жоғарыда қарастырылған "домалайтын дөңгелек" мәселесінің жалғасы болып табылады. Мысалы, үш өлшемді ортогональды Картезиандық координаттар жүйесін қарастырайық, мысалы, бастапқы нүктесі белгіленген, тегіс үстел бетін және қаламмен салынған x және y осьтерін. Бірлік радиусы бар шарды алайық, мысалы, пинг-понг доп, және оның бір нүктесін B көк түспен белгілейік. Бұл нүктеге сәйкес келетін шардың диаметрін және осы диаметрге перпендикуляр, шардың C орталығында орналасқан жазықтықты қарастырайық. Бұл жазықтық B нүктесімен байланысты экватор деп аталатын үлкен шеңберді анықтайды. Осы экваторда R нүктесін таңдап, қызыл түспен белгілейік. Шарды z = 0 жазықтығында орналастырыңыз, сонда B нүктесі бастапқы нүктемен сәйкес келеді, C нүктесі x = 0, y = 0, z = 1 координаталарында, ал R нүктесі x = 1, y = 0, z = 1 координаталарында орналасқан, яғни R оң x осьінің бағытында жатыр. Бұл шардың бастапқы немесе анықтамалық ориентациясы. Енді шарды z = 0 жазықтығындағы кез келген үздіксіз, жабық жолмен, міндетті түрде жай байланысқан жолмен емес, жылдыруға болады, шардың сырғанауын немесе бұрылуын болдырмай, C нүктесі x = 0, y = 0, z = 1 координаталарына оралғанша. Жалпы жағдайда, B нүктесі енді бастапқы нүктемен сәйкес келмейді, ал R нүктесі енді оң x осьі бойымен жатпайды. Шындығында, тиісті жолды таңдау арқылы шарды бастапқы ориентациясынан C нүктесі x = 0, y = 0, z = 1 координаталарында орналасқан шардың кез келген мүмкін ориентациясына өзгертуге болады. Сондықтан жүйе голономиялық емес. Анхолономияны екі рет ерекше кватернионмен (q және -q) бейнелеуге болады, оны шарды бейнелейтін нүктелерге қолданғанда, B және R нүктелерін олардың жаңа орналасқан жерлеріне көшіреді.
This example is an extension of the 'rolling wheel' problem considered above. Consider a three dimensional orthogonal Cartesian coordinate frame, for example, a level table top with a point marked on it for the origin, and the x and y axes laid out with pencil lines. Take a sphere of unit radius, for example, a ping pong ball, and mark one point B in blue. Corresponding to this point is a diameter of the sphere, and the plane orthogonal to this diameter positioned at the center C of the sphere defines a great circle called the equator associated with point B. On this equator, select another point R and mark it in red. Position the sphere on the z = 0 plane such that the point B is coincident with the origin, C is located at x = 0, y = 0, z = 1, and R is located at x = 1, y = 0, and z = 1, i. e. R extends in the direction of the positive x axis. This is the initial or reference orientation of the sphere. The sphere may now be rolled along any continuous closed path in the z = 0 plane, not necessarily a simply connected path, in such a way that it neither slips nor twists, so that C returns to x = 0, y = 0, z = 1. In general, point B is no longer coincident with the origin, and point R no longer extends along the positive x axis. In fact, by selection of a suitable path, the sphere may be re oriented from the initial orientation to any possible orientation of the sphere with C located at x = 0, y = 0, z = 1. The system is therefore nonholonomic. The anholonomy may be represented by the doubly unique quaternion (q and −q) which, when applied to the points that represent the sphere, carries points B and R to their new positions.
Фуко маятнигі
Голономиялық емес жүйенің тағы бір мысалы – Фуко маятнигі. Жергілікті координаттар жүйесінде маятник жолдың басында географиялық солтүстікке қатысты белгілі бір бағытта тік жазықтықта тербеледі. Жүйенің нақты траекториясы – маятник орналасқан Жердегі ендік шеңбері. Маятник Жерге қатысты тұрғанмен, Күнге қатысты қозғалады және Жердің айналу жылдамдығымен синхронды түрде айналады, сондықтан маятник жазықтығының көрінетін қозғалысы Жердің айналуынан туындайды. Бұл соңғысы инерциялық санақ жүйесі саналады, бірақ ол да нақты инерциялық емес. Жер санақ жүйесінің инерциялық еместігі белгілі, бұл центробектік күштер мен Кориолис күштерінің көрінуімен байқалады. Ендік шеңбері бойындағы қозғалыс уақыт өтуімен сипатталады, ал Фуко маятнигінің тербеліс жазықтығы уақыт өткен сайын жергілікті тік осьтің айналасында айналып тұрады. Бұл жазықтықтың t уақытындағы бастапқы бағытқа қатысты айналу бұрышы – жүйенің голономиясы. Ендік шеңберінің толық айналымынан туындайтын голономия сол ендік шеңберінің қамтитын кеңістіктік бұрышына пропорционалды. Траектория ендік шеңберлермен шектелуі міндетті емес. Мысалы, маятник ұшаққа орнатылуы мүмкін. Голономия әлі де траекториямен қамтитын кеңістіктік бұрышқа пропорционалды, ол енді едәуір бұрыштау болуы мүмкін. Фуко маятнигі – параллель көшірудің физикалық мысалы.
An additional example of a nonholonomic system is the Foucault pendulum. In the local coordinate frame the pendulum is swinging in a vertical plane with a particular orientation with respect to geographic north at the outset of the path. The implicit trajectory of the system is the line of latitude on the Earth where the pendulum is located. Even though the pendulum is stationary in the Earth frame, it is moving in a frame referred to the Sun and rotating in synchrony with the Earth's rate of revolution, so that the only apparent motion of the pendulum plane is that caused by the rotation of the Earth. This latter frame is considered to be an inertial reference frame, although it too is non inertial in more subtle ways. The Earth frame is well known to be non inertial, a fact made perceivable by the apparent presence of centrifugal forces and Coriolis forces. Motion along the line of latitude is parameterized by the passage of time, and the Foucault pendulum's plane of oscillation appears to rotate about the local vertical axis as time passes. The angle of rotation of this plane at a time t with respect to the initial orientation is the anholonomy of the system. The anholonomy induced by a complete circuit of latitude is proportional to the solid angle subtended by that circle of latitude. The path need not be constrained to latitude circles. For example, the pendulum might be mounted in an airplane. The anholonomy is still proportional to the solid angle subtended by the path, which may now be quite irregular. The Foucault pendulum is a physical example of parallel transport.
Оптикалық талшықтағы сызықтық поляризацияланған жарық
Бір оптикалық талшықтың ұзындығын алайық, мысалы, үш метр, және оны толығымен түзу сызыққа жайып қояйық. Егер тік поляризацияланған сәуле бір жағынан енгізілсе, ол екінші жағынан да тік бағытта поляризацияланған күйінде шығады. Талшықтың үстіңгі жағын тік поляризация бағытына сәйкес келетін сызықпен белгілейік. Енді талшықты диаметрі он сантиметр болатын цилиндрдің айналасына тығыз ораңыз. Талшықтың жолы енді спираль сияқты болады, спираль да шеңбер сияқты тұрақты қисықтыққа ие. Спираль сонымен қатар тұрақты бұрылу қасиетіне де ие. Осының нәтижесінде талшықтың орталық сызығы спираль бойымен жылғанда талшық өзінің осінің айналасында біртіндеп айналады. Сәйкесінше, сызық та спираль осінің айналасында бұрылады. Егер сызықтық поляризацияланған жарық тағы да бір жағынан енгізілсе, оның поляризация бағыты сызықпен сәйкес келген жағдайда, ол әдетте сызықпен емес, сызыққа қатысты белгілі бір тұрақты бұрышпен поляризацияланған жарық түрінде шығады, бұл талшықтың ұзындығына, спиральдің қадамдық аралығына және радиусына байланысты болады. Бұл жүйе де голономиялық емес, себебі талшықты екінші спиральмен орап, ұштарын туралау арқылы жарықты бастапқы нүктесіне қайтаруға болады. Сондықтан анхолономия талшықтың әрбір айналымында поляризация бұрышының ауытқуымен көрсетіледі. Параметрлерді тиісті түрде реттеу арқылы кез келген бұрыштық күйді жасау мүмкін екені анық.
Take a length of optical fiber, say three meters, and lay it out in an absolutely straight line. When a vertically polarized beam is introduced at one end, it emerges from the other end, still polarized in the vertical direction. Mark the top of the fiber with a stripe, corresponding with the orientation of the vertical polarization. Now, coil the fiber tightly around a cylinder ten centimeters in diameter. The path of the fiber now describes a helix which, like the circle, has constant curvature. The helix also has the interesting property of having constant torsion. As such the result is a gradual rotation of the fiber about the fiber's axis as the fiber's centerline progresses along the helix. Correspondingly, the stripe also twists about the axis of the helix. When linearly polarized light is again introduced at one end, with the orientation of the polarization aligned with the stripe, it will, in general, emerge as linear polarized light aligned not with the stripe, but at some fixed angle to the stripe, dependent upon the length of the fiber, and the pitch and radius of the helix. This system is also nonholonomic, for we can easily coil the fiber down in a second helix and align the ends, returning the light to its point of origin. The anholonomy is therefore represented by the deviation of the angle of polarization with each circuit of the fiber. By suitable adjustment of the parameters, it is clear that any possible angular state can be produced.
Робототехника
Робототехникада, толық емес жүйелер (nonholonomic) көшкір роботтар үшін қозғалыс жоспарлау және кері байланыс сызықтықтандыру саласында ерекше зерттелді.
In robotics, nonholonomic has been particularly studied in the scope of motion planning and feedback linearization for mobile robots.