Введение

Тип задачи оптимизации

Нехолономическая система в физике и математике — это физическая система, состояние которой зависит от пройденного пути. Такая система описывается набором параметров, подчиняющихся дифференциальным и нелинейным ограничениям, таким образом, что при эволюции системы вдоль пути в пространстве параметров (где параметры непрерывно изменяются) и возвращении к исходному набору значений параметров в начале пути, сама система может не вернуться в исходное состояние. Нехолономическая механика является самостоятельным разделом ньютоновской механики.

Подробности

Более точно, нехолономическая система, также называемая анолономической системой, – это система, в которой существует непрерывная замкнутая цепь управляющих параметров, посредством которой система может быть преобразована из любого заданного состояния в любое другое состояние. Поскольку конечное состояние системы зависит от промежуточных значений её траектории в параметрическом пространстве, система не может быть представлена консервативной потенциальной функцией, как, например, закон обратного квадрата силы гравитации. Последний является примером голономической системы: интегралы по траектории в системе зависят только от начального и конечного состояний системы (положений в потенциале), полностью независимо от траектории перехода между этими состояниями. Поэтому система называется интегрируемой, в то время как нехолономическая система называется неинтегрируемой. При вычислении интеграла по траектории в нехолономической системе, полученное значение представляет собой отклонение в пределах некоторого диапазона допустимых значений, и это отклонение называется анолономией, обусловленной рассматриваемым конкретным путем. Этот термин был введен Генрихом Герцем в 1894 году. Общая характеристика анолономических систем заключается в неявной зависимости параметров друг от друга. Если эту неявную зависимость можно устранить, например, увеличив размерность пространства, тем самым добавив хотя бы один дополнительный параметр, система не является истинно нехолономической, а лишь неполно смоделирована в пространстве меньшей размерности. Напротив, если система по своей сути не может быть представлена независимыми координатами (параметрами), то это действительно анолономическая система. Некоторые авторы придают этому большое значение, проводя различие между так называемыми внутренними и внешними состояниями системы, но на самом деле все параметры необходимы для характеристики системы, будь то отражение "внутренних" или "внешних" процессов, поэтому такое различие искусственно. Однако существует принципиальная и непреодолимая разница между физическими системами, подчиняющимися принципам сохранения, и теми, которые им не подчиняются. В случае параллельного переноса на сфере это различие очевидно: риманово многообразие имеет метрику, принципиально отличающуюся от метрики евклидова пространства. Для параллельного переноса на сфере неявная зависимость является неотъемлемой частью неевклидовой метрики. Поверхность сферы – это двумерное пространство. Увеличивая размерность, мы можем более четко увидеть природу метрики, но она по-прежнему остается в основном двумерной, с параметрами, необратимо связанными зависимостью, определяемой римановой метрикой. В отличие от этого, можно рассмотреть XY-плоттер как пример голономической системы, где состояние механических компонентов системы будет иметь единственную фиксированную конфигурацию для любого заданного положения пера плоттера. Если перо перемещается между позициями 0,0 и 3,3, конечные положения шестерен механизма будут одинаковыми независимо от того, происходит ли перемещение путем последовательного увеличения на 3 единицы по оси x и затем по оси y, увеличения положения оси Y в первую очередь, или использования любой другой последовательности изменений положения, приводящей к конечному положению 3,3. Поскольку конечное состояние машины остается неизменным независимо от пути, по которому перо плоттера достигает нового положения, можно сказать, что конечный результат не зависит от пути. Если мы заменим плоттер типа "черепаха", процесс перемещения пера с 0,0 до 3,3 может привести к тому, что шестерни механизма робота окажутся в разных положениях в зависимости от пути, пройденного для перемещения между двумя позициями. См. этот очень похожий пример мостового крана для математического объяснения того, почему такая система является голономической.

История

Н. М. Феррерс впервые предложил расширить уравнения движения, включив нехолономические ограничения, в 1871 году. Он ввел выражения для декартовых скоростей через обобщенные скорости. В 1877 году Э. Рут записал уравнения с использованием множителей Лагранжа. В третьем издании своей книги, посвященной линейным нехолономическим ограничениям для жестких тел, он представил форму с множителями, которая сейчас называется уравнениями Лагранжа второго рода с множителями. Термины "голономическая" и "нехолономическая" системы были введены Генрихом Герцем в 1894 году. В 1897 году С. А. Чаплыгин впервые предложил строить уравнения движения без множителей Лагранжа. При определенных линейных ограничениях он ввел в левую часть уравнений движения группу дополнительных членов, имеющих вид оператора Лагранжа. Остальные дополнительные члены характеризуют нехолономичность системы и обращаются в нуль, когда заданные ограничения интегрируемы. В 1901 году П. В. Воронец обобщил работы Чаплигина на случаи нециклических голономических координат и нестационарных ограничений.

Колесо

Колесо (иногда представляется в виде одноколесного велосипеда или катящейся монеты) — это нехолономная система.

Объяснение для обычного человека

Возьмем, к примеру, колесо велосипеда, припаркованного в определенном месте (на земле). Изначально надувной клапан находится в определенной позиции на колесе. Если велосипед прокатится по окружности и затем будет снова припаркован в точно таком же месте, клапан почти наверняка не окажется в прежнем положении. Его новое положение зависит от пройденного пути. Если бы колесо было голономическим, то ниппель всегда возвращался бы в исходную позицию, если бы колесо каждый раз возвращалось в одно и то же место на Земле. Однако, очевидно, что это не так, следовательно, система является неголономической.

Колеющаяся сфера

Этот пример является продолжением задачи о "катящемся колесе", рассмотренной выше. Рассмотрим трехмерную ортогональную декартову систему координат, например, столешницу с точкой, отмеченной в качестве начала координат, и осями x и y, начерченными карандашными линиями. Возьмите сферу радиуса единицы, например, шарик для пинг-понга, и отметьте одну точку B синим цветом. Диаметр сферы, соответствующий этой точке, и плоскость, ортогональная этому диаметру и расположенная в центре C сферы, определяют большой круг, называемый экватором, связанным с точкой B. На этом экваторе выберите другую точку R и отметьте ее красным цветом. Поместите сферу на плоскость z = 0 так, чтобы точка B совпадала с началом координат, C находилась в точке x = 0, y = 0, z = 1, а R – в точке x = 1, y = 0, z = 1, то есть R направлена вдоль положительной оси x. Это начальная или опорная ориентация сферы. Теперь сферу можно прокатить по любому непрерывному замкнутому пути в плоскости z = 0, не обязательно простосвязному, таким образом, чтобы она не проскальзывала и не вращалась вокруг своей оси, чтобы центр C вернулся в точку x = 0, y = 0, z = 1. В общем случае, точка B больше не совпадает с началом координат, а точка R больше не направлена вдоль положительной оси x. Фактически, выбрав подходящий путь, сферу можно переориентировать из начальной ориентации в любую возможную ориентацию сферы с центром C, расположенным в точке x = 0, y = 0, z = 1. Следовательно, система является неголономной. Неголономность может быть представлена двойственным однозначным кватернионом (q и −q), который, при применении к точкам, представляющим сферу, переводит точки B и R в их новые положения.

Маятник Фуко

Дополнительным примером нехолономической системы является маятник Фуко. В местной системе координат маятник качается в вертикальной плоскости с определенной ориентацией относительно географического севера в начале движения. Неявная траектория системы – это линия широты на Земле, где расположен маятник. Несмотря на то, что маятник неподвижен в земной системе отсчета, он движется в системе отсчета, связанной с Солнцем, и вращается синхронно со скоростью вращения Земли, так что единственное наблюдаемое движение плоскости маятника обусловлено вращением Земли. Последняя система отсчета рассматривается как инерциальная, хотя и она не является строго инерциальной в более тонком смысле. Хорошо известно, что земная система отсчета неинерциальна, что проявляется в кажущемся наличии центробежных и сил Кориолиса. Движение вдоль линии широты параметризуется течением времени, и плоскость колебаний маятника Фуко, по-видимому, вращается вокруг местной вертикальной оси по мере течения времени. Угол поворота этой плоскости в момент времени t относительно начальной ориентации и является анхолономией системы. Анхолономия, индуцированная полным оборотом по линии широты, пропорциональна телесному углу, под которым видна эта окружность широты. Траектория не обязательно должна быть ограничена окружностями широты. Например, маятник может быть установлен в самолете. Анхолономия по-прежнему пропорциональна телесному углу, под которым видна траектория, которая теперь может быть весьма нерегулярной. Маятник Фуко является физическим примером параллельного переноса.

Линейный поляризованный свет в оптическом волокне

Возьмите отрезок оптического волокна, скажем, длиной три метра, и выложите его в абсолютно прямую линию. Когда вертикально поляризованный луч вводится в один конец, он выходит из другого конца, оставаясь поляризованным в вертикальной плоскости. Отметьте верхнюю часть волокна полосой, соответствующей ориентации вертикальной поляризации. Теперь плотно оберните волокно вокруг цилиндра диаметром десять сантиметров. Траектория волокна теперь описывает спираль, которая, как и окружность, обладает постоянной кривизной. Спираль также имеет интересное свойство – постоянный крутизну. В результате происходит постепенное вращение волокна вокруг его оси по мере продвижения центральной линии волокна вдоль спирали. Соответственно, полоса также закручивается вокруг оси спирали. Когда линейно поляризованный свет снова вводится с одного конца, с ориентацией поляризации, совпадающей с полосой, он, как правило, выходит как линейно поляризованный свет, ориентированный не вдоль полосы, а под некоторым фиксированным углом к ней, зависящим от длины волокна, а также от шага и радиуса спирали. Эта система также является неголономной, поскольку мы можем легко свернуть волокно во вторую спираль и совместить концы, возвращая свет в исходную точку. Следовательно, анхолономия проявляется в отклонении угла поляризации с каждым витком волокна. При соответствующей настройке параметров становится очевидным, что можно получить любое возможное угловое состояние.

Робототехника

В робототехнике нехолономность особенно изучалась в контексте планирования траекторий и линеаризации по обратной связи для мобильных роботов.