Байес тұжырымдамасы: Статистикалық шешімдерді жаңарту әдісі

Байес статистикасы: Бұл мақалада Байес теоремасының көмегімен гипотезаның ықтималдығын жаңарту, алдын ала білімді пайдалану қарастырылады. Статистика, ғылымда қолданылады.

13 мин оқу

100%

Дереккөз: Bayesian inference — Wikipedia

Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.

Мазмұны

Кіріспе

Статистикалық тұжырымдау әдісі

Байес тұжырымдамасы (['/b//eɪ//z//i//ən/ BAYzeeən немесе '/b//eɪ//ʒ//ən/ BAYzhən]) – гипотезаға қатысты ықтималдықты жаңа мәліметтер немесе ақпарат түскен сайын жаңарту үшін Байес теоремасы қолданылатын статистикалық тұжырымдау әдісі. Негізінен, Байес тұжырымдамасы кейіннен алынатын ықтималдықтарды бағалау үшін алдыңғы білімді, алдыңғы таралым түрінде пайдаланады. Байес тұжырымдамасы – статистикада, әсіресе математикалық статистикада маңызды техника. Байес жаңартуы деректер тізбегін динамикалық талдау кезінде ерекше маңызды. Байес тұжырымдамасы ғылым, инженерия, философия, медицина, спорт және құқық сияқты кең ауқымды салаларда қолданыс тапқан. Шешім қабылдау теориясының философиясында Байес тұжырымдамасы субъективті ықтималдықпен тығыз байланысты, оны көбінесе "Байес ықтималдығы" деп атайды.

Бейес жаңартуының баламалары

Бейес жаңартуы кеңінен қолданылады және есептеулерге ыңғайлы. Дегенмен, ол рационалды саналатын жалғыз жаңарту ережесі емес. Иан Хэкинг дәстүрлі "голландиялық кітап" аргументтері Бейес жаңартуын нақты анықтамайтынын атап өтті: олар Бейес емес жаңарту ережелерінің "голландиялық кітапқа" ұшырамауы мүмкін екендігін қарастырады. Хэкинг былай деп жазды: "Голландиялық кітап аргументі де, жеке тұлғалық дәлелдердің басқа да құралдары да ықтималдық аксиомаларынан динамикалық болжамды тудырмайды. Олардың ешқайсысы да Бейесшілдікке кепілдік бермейді. Сондықтан жеке тұлға Бейесшіл болу үшін динамикалық болжамды қабылдауы керек. Шындығында, жеке тұлға тәжірибеден үйренудің Бейес моделінен бас тарта алады. Тұз дәмін жоғалтқандай." Расында, Бейес емес жаңарту ережелері де "голландиялық кітапқа" ұшырамауға мүмкіндік береді (бұл "ықтималдық кинематикасы" туралы әдебиетте талқыланғандай), Ричард К. Джеффри ережесі жарияланғаннан кейін, ол дәлелдің өзіне де ықтималдық тағайындайтын Бейес ережесін қолданады. Бейес жаңартуын бірегей түрде талап ету үшін қажетті қосымша гипотезалар маңызды, күрделі және қанағаттандырмас деп танылды.

Эксклюзивті және толық мүмкіндіктерге қатысты қорытынды

Егер дәлелдер бір уақытта өзара байланыссыз және толыққанды ұсыныстар жиыны бойынша сенімді жаңарту үшін қолданылса, Байес қорытындысы осы сенім таралуының барлығына әсер ететіндей болады.

Жалпы пішімдеу

Тәуелсіз және бірдей таратылған оқиғаларды тудыратын процесс бар делік, бірақ ықтималдық таралуы белгісіз. Оқиға кеңістігі осы процеске қатысты қазіргі сенім күйін көрсетеді. Әр модель оқиға арқылы бейнеленеді. Модельдерді анықтау үшін шартты ықтималдықтар беріледі. – бұл оқиғаға сену дәрежесі. Алғашқы қорытындылау қадамынан бұрын, – бастапқы алдын ала ықтималдықтар жиынтығы. Олардың қосындысы 1-ге тең болуы керек, бірақ басқа жағдайларда олар кездейсоқ болуы мүмкін. Егер процесс бақыланса, әрбір үшін алдын ала ықтималдық артқы ықтималдыққа жаңартылады. Байес теоремасы бойынша:

Қосымша деректер байқалған кезде, бұл процедура қайталанады.

Анықтамалар

, жалпы дерек нүктесі. Бұл мәндер векторы болуы мүмкін. , дерек нүктесінің таралу параметрі, яғни, Бұл параметрлер векторы болуы мүмкін. , параметрлік таралымның гиперпараметрі, яғни, Бұл гиперпараметрлер векторы болуы мүмкін. – бұл үлгі, байқалған дерек нүктелерінің жиынтығы, яғни, таралуы болжанатын жаңа дерек нүктесі.

Бейестік тұжырым

Алдын ала таралу – бұл ешқандай дерек байқалғанға дейін параметрдің (параметрлердің) таралуы, яғни алдын ала таралуды анықтау оңай болмауы мүмкін; мұндай жағдайда, жаңа байқаулармен жаңарту алдында алдын ала таралуды алу үшін Джеффрилердің алдын ала таралуын қолдануға болады. Үлгілеу таралымы – бұл оның параметрлеріне шартты байқалған деректердің таралуы, яғни бұл сондай-ақ ықтималдық деп аталады, әсіресе параметрдің (параметрлердің) функциясы ретінде қарастырылғанда, кейде былай жазылады. Шекті ықтималдық (кейде дәлелдеме деп те аталады) – бұл параметрлер бойынша маргиналданған байқалған деректердің таралуы, яғни ол деректер мен сарапшы пікірінің келісімін геометриялық мағынада нақты анықтайды. Егер шекті ықтималдық 0 болса, деректер мен сарапшы пікірі арасында келісім жоқ және Байес ережесін қолдану мүмкін емес. Артқы таралу – байқалған деректерді ескере отырып, параметрдің (параметрлердің) таралуы. Бұл Байес ережесімен анықталады, ол Байестік қорытындының негізін құрайды: Бұл «артқы таралу ықтималдыққа көбейтілген алдын ала таралуға пропорционалды» немесе кейде «артқы таралу = ықтималдық көбейтілген алдын ала таралу, дәлелдемеге бөлінген» деп сөзбен айтуға болады. Іс жүзінде, машиналық оқытуда қолданылатын барлық күрделі Байес модельдері үшін артқы таралу жабық түрде алынбайды, себебі параметр кеңістігі өте үлкен болуы мүмкін, немесе Байес моделі байқаулар мен параметрлерден құрылған белгілі бір иерархиялық құрылымды сақтайды. Мұндай жағдайларда біз жуықтау әдістерін қолдануға мәжбүрміз. Жалпы жағдай: Егер - берілгеннің шартты таралуы болса және - берілгеннің таралуы болса, онда бірлескен таралу былай болады: - берілгеннің шартты таралуы қажет шартты күтудің болуы мен бірегейлігі Радон–Никодим теоремасының салдары болып табылады. Бұл туралы Колмогоров өзінің 1933 жылғы танымал кітабында айтқан. Колмогоров кіріспесінде «Мен, әсіресе, шартты ықтималдықтар мен шартты күтулер теориясына назар аударуды қалаймын» деп жазып, шартты ықтималдықтың маңыздылығын атап көрсетеді. Байес теоремасы алдын ала таралудан артқы таралуды анықтайды. Бірегейлік үздіксіздік талаптарын қояды. Байес теоремасын нақты емес алдын ала таралуларды, мысалы, нақты сандар түзуіндегі біркелкі таралуды қосу үшін жалпылауға болады. Қазіргі заманғы Марков тізбегі Монте-Карло әдістері Байес теоремасының маңыздылығын арттырды, соның ішінде дұрыс емес алдын ала таралулар бар жағдайларды да қамтиды.

The prior distribution is the distribution of the parameter(s) before any data is observed, i. e. The prior distribution might not be easily determined; in such a case, one possibility may be to use the Jeffreys prior to obtain a prior distribution before updating it with newer observations. The sampling distribution is the distribution of the observed data conditional on its parameters, i. e. This is also termed the likelihood, especially when viewed as a function of the parameter(s), sometimes written The marginal likelihood (sometimes also termed the evidence) is the distribution of the observed data marginalized over the parameter(s), i. e. It quantifies the agreement between data and expert opinion, in a geometric sense that can be made precise. If the marginal likelihood is 0 then there is no agreement between the data and expert opinion and Bayes' rule cannot be applied. The posterior distribution is the distribution of the parameter(s) after taking into account the observed data. This is determined by Bayes' rule, which forms the heart of Bayesian inference: This is expressed in words as "posterior is proportional to likelihood times prior", or sometimes as "posterior = likelihood times prior, over evidence". In practice, for almost all complex Bayesian models used in machine learning, the posterior distribution is not obtained in a closed form distribution, mainly because the parameter space for can be very high, or the Bayesian model retains certain hierarchical structure formulated from the observations and parameter In such situations, we need to resort to approximation techniques. General case: Let be the conditional distribution of given and let be the distribution of The joint distribution is then The conditional distribution of given is then determined by
Existence and uniqueness of the needed conditional expectation is a consequence of the Radon–Nikodym theorem. This was formulated by Kolmogorov in his famous book from 1933. Kolmogorov underlines the importance of conditional probability by writing "I wish to call attention to and especially the theory of conditional probabilities and conditional expectations " in the Preface. The Bayes theorem determines the posterior distribution from the prior distribution. Uniqueness requires continuity assumptions. Bayes' theorem can be generalized to include improper prior distributions such as the uniform distribution on the real line. Modern Markov chain Monte Carlo methods have boosted the importance of Bayes' theorem including cases with improper priors.

Факторды түсіндіру

Яғни, егер модель дұрыс болса, дәлелдер қазіргі сенім күйінен күтілгеніне қарағанда ықтимал болар еді. Сенімнің төмендеуіне келетін болсақ, керісінше жағдай орын алады. Егер сенім өзгермесе, онда дәлелдер модельге тәуелсіз болады. Егер модель дұрыс болса, дәлелдер қазіргі сенім күйімен болжанғандай дәл болар еді.

Кромвельдің билігі

Егер онда, егер және онда. Мұны қатты нанымдарға қарсы дәлелдердің әсер етпейтіні деп түсінуге болады. Біріншісі Байес теоремасынан тікелей туындайды. Екіншісін бірінші ережені "емес" оқиғасына "оқиғасының орнына" қолдану арқылы алуға болады, нәтижесінде "егер, онда" шығады, одан нәтиже дереу туындайды.

Артқы жақтың асимптотикалық мінез-құлқы

Сенім таралымының мінез-құлқын қарастырайық, ол тәуелсіз және бірдей таралған сынақтармен көптеген рет жаңартылғанда. Жетілді алдыңғы ықтималдықтар үшін Бернштейн фон Мизес теоремасы, шексіз сынақтардың лимитінде, артқы таралым бастапқы алдыңғыдан тәуелсіз Гаусс таралымына жақындайды, бұл жағдайлар 1948 жылы Джозеф Л. Дубпен бірінші рет сипатталған және қатаң түрде дәлелденген, атап айтқанда, егер қарастырылып отырған кездейсоқ айнымалының шекті ықтималдық кеңістігі болса. Кейін, статистик Дэвид А. Фридман 1963 және 1965 жылдары жариялаған екі маңызды зерттеу жұмысында, артқы таралымның асимптотикалық мінез-құлқының қашан және қандай жағдайларда кепілді екенін көрсетті. 1963 жылғы жұмысы, Дубтың (1949) жұмысы сияқты, шекті жағдайды қарастырады және қанағаттанарлық қорытындыға келеді. Дегенмен, егер кездейсоқ айнымалының шексіз, бірақ саналатын ықтималдық кеңістігі болса (яғни, шексіз көп жақтары бар ойыншық текшеге сәйкес), 1965 жылғы жұмысы көрсеткендей, priors-тың тығыз жиынтығы үшін Бернштейн фон Мизес теоремасы қолданылмайды. Бұл жағдайда, асимптотикалық жақындасуға кепілдік жоқ. Кейін, 1980-ші және 1990-шы жылдары Фридман мен Перси Диаконис шексіз саналатын ықтималдық кеңістіктер жағдайындағы зерттеулерін жалғастырды. Қорыта айтқанда, бастапқы таңдаудың әсерін жою үшін жеткіліксіз сынақтар болуы мүмкін, әсіресе үлкен (бірақ шекті) жүйелер үшін жақындасу өте баяу болуы мүмкін.

Бірлескен приорлар

Параметрленген түрінде, алдыңғы таралым көбінесе конъюгатты алдыңғы таралымдар деп аталатын таралымдар отбасынан шығады деп есептеледі. Конъюгатты алдыңғы таралымның пайдасы – сәйкес келетін кейінгі таралым сол отбасының ішінде болады және есептеулер жабық түрде өрнектелуі мүмкін.

Гипотезаның ықтималдығы

+ Төрттік кесте #1H1 #2H2 Жалпы жай, E 30 20 50 Шоколадты, ¬E 10 20 30 Жалпы 40 40 80 P(H1|E) = 30 / 50 = 0.6
Екі толы печенье ыдысы бар делік. #1 ыдыста 10 шоколадты және 30 қарапайым печенье бар, ал #2 ыдыста әрқайсысынан 20 бар. Досымыз Фред ыдысты кездейсоқ таңдайды, содан кейін печеньені кездейсоқ таңдайды. Фред бір ыдысты екіншісінен әртүрлі қарамайды, сондай-ақ печеньелерге де солай қарауы мүмкін. Таңдалған печенье қарапайым болып шықты. Фред оны #1 ыдыстан таңдаған дегенге қанша сенімдіміз? Интуитивті түрде, жауап жартысынан көп болуы керек, себебі #1 ыдыста қарапайым печеньелер көп. Нақты жауабын Байес теоремасы береді. #1 ыдысқа , ал #2 ыдысқа делік. Ыдыстар Фредтің көзқарасынан бірдей, демек , және екеуінің қосындысы 1-ге тең болуы керек, сондықтан екеуі де 0.5-ке тең. оқиғасы – қарапайым печенье байқау. Ыдыстардың құрамынан біз білеміз, және . Байес формуласы келесіні береді:

Печеньені байқағанға дейін, Фредтің #1 ыдысты таңдауының ықтималдығы алдын ала ықтималдық, , 0.5 болды. Печеньені байқағаннан кейін, ықтималдықты , яғни 0.6-ға өзгертуіміз керек.

Болжам жасау

Археолог 11-16 ғасырлар аралығындағы ортағасырлық кезеңге жататын жерді қазу жұмыстарын жүргізіп жатыр. Алайда, бұл жердің дәл қай ғасырда мекенделгені белгісіз. Қыш ыдыстардың сынықтары табылды, олардың кейбіреулері жылтыр, ал кейбіреулері әшекейленген. Егер бұл жерде ерте ортағасырлық кезеңде адамдар тұрған болса, онда керамиканың 1%-ы жылтырланған және оның 50%-ы безендірілген болар еді, ал егер ол ортағасырлық кезеңнің соңында мекенделген болса, онда 81%-ы жылтырланған және 5%-ы безендірілген болар еді. Археолог қазбадан табылған фрагменттер негізінде осы жердің қай ғасырда мекенделгенін қаншалықты анық айта алады? Үзіліссіз айнымалы (ғасыр) үшін сенім дәрежесін дәлел ретінде оқиғалардың дискретті жиынтығы арқылы есептеу керек. Жылтырлау және әшекейлеудің уақытқа байланысты сызықтық түрде өзгеретінін және бұл айнымалылардың тәуелсіз екенін, сондай-ақ сынақтардың тәуелсіз және бірдей таратылғанын ескере отырып, жаңа фрагмент табылганда, әрбір ғасырға қатысты сенім дәрежесін жаңарту үшін Бейес теоремасы қолданылады: 50 фрагменттің табылуымен сенімнің өзгеруін көрсететін компьютерлік симуляция графикте көрсетілген. Симуляция нәтижесінде бұл жер шамамен 1420 жылы мекенделгені анықталды. 50 сынақ үшін графиктің тиісті бөлігі астындағы аумақты есептеу арқылы археологтар 11 және 12 ғасырларда адамдар тұрған деген ешқандай мүмкіндік жоқ екенін, 13 ғасырда 1%, 14 ғасырда 63% және 15 ғасырда 36% мүмкіндік бар екенін айта алады. Бернштейн фон Мизес теоремасы оқиғалардың дискретті жиынтығына сәйкес келетін ықтималдық кеңістігі шекті болғандықтан, "нағыз" үлестірілімге асимптотикалық жақындауды растайды (асимптотикалық мінез-құлық туралы жоғарыдағы бөлімді қараңыз).

Үлгі таңдау

Байес әдістемесі модельді таңдауда да маңызды рөл атқарады, онда мақсат – байқалатын деректерді жасаған жатқан процесті ең жақсы бейнелейтін, бәсекелес модельдердің жиынтығынан бір модельді таңдау болып табылады. Байес модельдерін салыстыру кезінде деректерге сәйкес ең жоғары артқы ықтималдығына ие модель таңдалады. Модельдің артқы ықтималдығы деректерді модельдің тудыру ықтималдығын көрсететін дәлелдемеге немесе шеттік ықтималдылыққа, сондай-ақ модельге қатысты бастапқы сенімге байланысты. Егер екі бәсекелес модель тең ықтималды деп есептелсе, олардың артқы ықтималдықтарының қатынасы Байес факторына тең болады. Байес модельдерін салыстырудың мақсаты – ең жоғары артқы ықтималдығы бар модельді таңдау болғандықтан, бұл әдістеме ең жоғары артқы ықтималдық (MAP) таңдау ережесі немесе MAP ықтималдылық ережесі деп те аталады.

Ықтималдық бағдарламалау

Байес әдістері тұжырымдамалық тұрғыдан қарапайым болғанымен, математикалық және сандық жағынан күрделі болуы мүмкін. Ықтималдық бағдарламалау тілдері (PPL) тиімді автоматты қорытындылау әдістерімен қатар, Бейес модельдерін оңай құруға арналған функцияларды жүзеге асырады. Бұл модельді құру процесін қорытындылаудан бөлуге көмектеседі, соның арқасында мамандар нақты проблемаларына назар аудара алады, ал PPL есептеу мәліметтерін өңдеуді өз мойнына алады.

Статистикалық деректерді талдау

Байес статистикасы туралы жеке Википедия бетін, әсіресе сол беттегі статистикалық модельдеу бөлімін қараңыз.

Компьютерлік қолданбалар

Байестік тұжырымдама жасанды интеллект және сарапшы жүйелерде қолданылады. Байестік тұжырымдамалық әдістер 1950 жылдардың соңынан бері компьютерлік үлгілерді тану әдістерінің негізгі бөлігі болып табылады. Байес әдістері мен модельдеуге негізделген Монте-Карло әдістері арасындағы байланыс үнемі артып келеді, себебі күрделі модельдерді Байес талдауымен жабық түрде өңдеу мүмкін емес, ал графикалық модель құрылымы Гиббс сынамасы және басқа Метрополис-Хестингс алгоритмдері сияқты тиімді модельдеу алгоритмдерін жасауға мүмкіндік береді. Соңғы кезде Байестік тұжырым филогенетикалық қауымдастықта осы себептерге байланысты кең танымал болып келеді; көптеген қолданбалар демографиялық және эволюциялық параметрлерді бір уақытта бағалауға мүмкіндік береді. Статистикалық жіктеуге қолданғанда, Байестік тұжырымдама спам электрондық поштаны анықтау алгоритмдерін жасау үшін қолданылды. Спамды сүзгілеу үшін Байестік тұжырымдаманы пайдаланатын қолданбаларға CRM114, DSPAM, Bogofilter, SpamAssassin, SpamBayes, Mozilla, XEAMS және тағы да басқалары кіреді. Спам жіктеуі туралы толық мәліметтер бейес классификаторы туралы мақалада келтірілген. Соломоновтың индуктивті тұжырымдамасы – байқауларға негізделген болжау теориясы; мысалы, берілген символдар тізбегіне сүйене отырып, келесі символды болжау. Бір ғана болжам бар – орта белгілі бір, бірақ есептеуге болатын ықтималдық таралымын ұстанады. Бұл индуктивті қорытындының екі жақсы зерттелген қағидасын біріктіретін формалды индуктивті негіз: Байес статистикасы және Оккамның қылышы. Соломоновтың есептеулі x тізбегінің кез келген префиксі p үшін әмбебап алдын ала ықтималдығы – p-ден басталатын нәрсені есептейтін барлық бағдарламалардың (әмбебап компьютер үшін) ықтималдықтарының қосындысы. Белгілі бір p және x үлгісі алынған кез келген есептеуге болатын, бірақ белгісіз ықтималдық таралымын ескере отырып, әмбебап алдын ала және Байес теоремасын x-тің әлі көрінбеген бөліктерін оңтайлы түрде болжау үшін пайдалануға болады.

Биоинформатика және денсаулық сақтау саласы

Бейестік қорытынды әр түрлі биоинформатикалық қолданыстарда қолданылған, соның ішінде гендік экспрессияның айырмашылықтарын талдауда. Бейестік қорытынды сондай-ақ, CIRI (Үздіксіз жекелендірілген тәуекел индексі) деп аталатын жалпы қатерлі ісік тәуекелі моделінде де қолданылады, онда сериялық өлшемдер бұрынғы білімге негізделген Бейестік модельді жаңарту үшін пайдаланылады.

Сот залында

Байестік тұжырымдауды қазылар алқасы айыпталушыны қолдауға және оған қарсы дәлелдерді дәйекті түрде жинауға, сондай-ақ олардың «әділетті күмәннен тыс» деген жеке шегіне сәйкес келе ме екенін тексеруге пайдалана алады. Байес теоремасы барлық ұсынылған дәлелдерге бірінен соң бірі қолданылады, ал бір кезеңнен алынған нәтиже келесі кезең үшін бастапқы мәнге айналады. Байес әдісінің артықшылығы – ол қазыларға дәлелдерді біріктіру үшін бейтарап, рационалды механизм ұсынады. Байес теоремасын қазылар алқасына тікелей ставкалар түрінде түсіндіру ыңғайлы болуы мүмкін, себебі ықтималдықтарға қарағанда ставкалар түсініктірек. Көбейтуді қосумен алмастыратын логарифмдік тәсіл қазылар алқасына оңайырақ болуы мүмкін. Егер қылмыстың фактісі даусыз болса, тек қылмыскердің кім екендігі белгісіз болса, бастапқы ықтималдық білікті тұрғындардың арасында тең болуы керек деп ұсынылады. Мысалы, егер 1000 адам қылмысты жасауға мүмкіндігі болса, кінәлі болу ықтималдығы 1/1000-ға тең болады. Байес теоремасын қазылар алқасы қолдануы даулы мәселе. Ұлыбританияда қорғаушы сарапшы куәгері R v Adams ісінде Байес теоремасын қазылар алқасына түсіндірді. Қазылар алқасы кінәлі деп тапты, бірақ Байес теоремасын қолданғысы келмеген қазылар алқасына дәлелдерді жинақтаудың ешқандай тәсілі ұсынылмағандықтан, іс апелляцияға берілді. Апелляциялық сот үкімді күшінде қалдырды, бірақ сонымен қатар «Байес теоремасын немесе осыған ұқсас әдісті қылмыстық сот процесіне енгізу қазылар алқасын тиісті емес және қажетсіз теория мен күрделілікке батырып, оларды олардың негізгі міндетінен аластатады» деген пікір білдірді. Гарднер Медвин қылмыстық сот процесінде үкім шығаруға негіз болатын критерий кінәлі болу ықтималдығы емес, айыпталушының кінәсіз екендігі ескерілгендегі дәлелдердің ықтималдығы (жиіліктік p-мәніне ұқсас) екенін айтады. Оның пікірінше, егер кінәліліктің ықтималдығы Байес теоремасы бойынша есептелсе, кінәліліктің бастапқы ықтималдығы белгілі болуы керек. Бұл қылмыстың таралу жиілігіне байланысты, бұл қылмыстық сот процесінде қарастырылатын ерекше дәлел. Келесі үш тұжырымды қарастырыңыз: А – белгілі фактілер мен куәліктер айыпталушы кінәлі болса пайда болуы мүмкін. Б – егер айыпталушы кінәсіз болса, белгілі фактілер мен куәліктер туындауы мүмкін еді. С – айыпталушы кінәлі. Гарднер Медвин қазылар алқасы айыптау үшін А-ға да, В-ға да сенуі керек дейді. А және В емес, С шындықты білдіреді, бірақ керісінше дұрыс емес. Б және С екеуінің де дұрыс болуы мүмкін, бірақ бұл жағдайда ол кейбір кінәлі адамдарды босатып жіберетінін білгенімен, қазылар алқасы ақтауға тиіс дейді. Сондай-ақ Линдлидің парадоксын қараңыз.

Bayesian inference can be used by jurors to coherently accumulate the evidence for and against a defendant, and to see whether, in totality, it meets their personal threshold for "beyond a reasonable doubt". Bayes' theorem is applied successively to all evidence presented, with the posterior from one stage becoming the prior for the next. The benefit of a Bayesian approach is that it gives the juror an unbiased, rational mechanism for combining evidence. It may be appropriate to explain Bayes' theorem to jurors in odds form, as betting odds are more widely understood than probabilities. Alternatively, a logarithmic approach, replacing multiplication with addition, might be easier for a jury to handle. If the existence of the crime is not in doubt, only the identity of the culprit, it has been suggested that the prior should be uniform over the qualifying population. For example, if 1,000 people could have committed the crime, the prior probability of guilt would be 1/1000. The use of Bayes' theorem by jurors is controversial. In the United Kingdom, a defence expert witness explained Bayes' theorem to the jury in R v Adams. The jury convicted, but the case went to appeal on the basis that no means of accumulating evidence had been provided for jurors who did not wish to use Bayes' theorem. The Court of Appeal upheld the conviction, but it also gave the opinion that "To introduce Bayes' Theorem, or any similar method, into a criminal trial plunges the jury into inappropriate and unnecessary realms of theory and complexity, deflecting them from their proper task." Gardner Medwin argues that the criterion on which a verdict in a criminal trial should be based is not the probability of guilt, but rather the probability of the evidence, given that the defendant is innocent (akin to a frequentist p value). He argues that if the posterior probability of guilt is to be computed by Bayes' theorem, the prior probability of guilt must be known. This will depend on the incidence of the crime, which is an unusual piece of evidence to consider in a criminal trial. Consider the following three propositions:
A – the known facts and testimony could have arisen if the defendant is guilty. B – the known facts and testimony could have arisen if the defendant is innocent. C – the defendant is guilty. Gardner Medwin argues that the jury should believe both A and not B in order to convict. A and not B implies the truth of C, but the reverse is not true. It is possible that B and C are both true, but in this case he argues that a jury should acquit, even though they know that they will be letting some guilty people go free. See also Lindley's paradox.

Бейестің эпистемологиясы

Байестің эпистемологиясы – индуктивті логика ережелерін негіздеу құралы ретінде Байестік тұжырымдаманы қолдайтын бағыт. Карл Поппер мен Дэвид Миллер Байес рационализмі идеясын, яғни Байес ережесін эпистемологиялық тұжырымдар жасау үшін пайдалануды қабылдамады: ол кез келген ақтаушы эпистемология сияқты бірқатар кемшіліктерге алып келеді, себебі ол дәлелдеуге тырысатын нәрсені алдын ала болжайды. Осы көзқарас бойынша, Байестік тұжырымдаманың рационалды түсіндірілуі оны жалғандылықтың ғана ықтималдық түрі ретінде қарастырады, соның салдарынан Байестердің көптегендері ұстанатын, Байес жаңартуларының тізбегі арқылы қол жеткізілген жоғары ықтималдықтың гипотезаны кез келген орынды күмәндан тыс дәлелдейтіні, тіпті 0-ден артық ықтималдығымен дәлелдейтіні деген сенімді жоққа шығарады.

Бейс және Бейс тұжырымдары

Байз өзінің "Шанс доктринасындағы мәселені шешуге қатысты эссе" атты еңбегіндегі 9-шы теоремасында қарастырған мәселе – биномдық үлестірудің a параметрінің (сәттілік деңгейінің) кейіннен алынатын үлестіруі.

Тарих

Байес термині Томас Байеске (1701–1761) қатысты, ол белгісіз оқиғаға ықтималдық шектеулер қоюға болатынын дәлелдеді. Дегенмен, Пьер Симон Лаплас (1749–1827) қазір Байес теоремасы деп аталатын нәрсені (VI принцип ретінде) енгізіп, оны аспан механикасы, медициналық статистика, сенімділік және құқықтану салаларындағы мәселелерді шешу үшін пайдаланды.

Орта немесе жоғары

ДеГруот, Моррис Х., Оптималды статистикалық шешімдер. Уайлидің классикалық кітапханасы. 2004 жыл. (Тұңғыш рет 1970 жылы МакГроу Хилл баспасында жарық көрген.) Jaynes, E. T. (1998). Ықтималдық теориясы: Ғылымның логикасы. О'Хаган, А. және Форстер, Дж. (2003). Кендалдың статистиканың жоғары теориясы, 2B том: Байестік қорытынды. Арнольд, Нью-Йорк. Перл, Яһудея. (1988). Ақылды жүйелердегі ықтималдық ойлау: Ықтимал қорытынды желілері. Сан-Матео, Калифорния: Морган Кауфман. Пьер Бессьер және авторлар тобы. (2013). "Бейзиандық бағдарламалау". CRC Press. Франсиско Ж. Саманиего (2010). "Бейес және жиілеткіштік бағалау тәсілдерінің салыстыруы". Спрингер. Нью-Йорк.