Кіріспе

Функцияның мәні белгілі бір есептеу әдісіне тең болатын функция доменінің ішкі жиыны.

Математикада, n нақты айнымалылардың f нақты мәнді функциясының деңгейлік жиыны – функцияның берілген тұрақты мән c-ге тең болатын жиын, яғни:

Егер тәуелсіз айнымалылардың саны екі болса, онда деңгейлік жиын деңгейлік қисық деп аталады, сондай-ақ контур сызығы немесе изолин деп те аталады; демек, деңгейлік қисық – екі айнымалыдағы теңдеудің барлық нақты мәнді шешімдерінің жиыны, ал егер n = 3 болса, деңгейлік жиын деңгейлік бет (немесе изожер) деп аталады; демек, деңгейлік бет – үш айнымалыдағы теңдеудің барлық нақты мәнді түбірлерінің жиыны. n-нің жоғары мәндері үшін деңгейлік жиын – n > 3 айнымалыдағы теңдеудің барлық нақты мәнді түбірлерінің жиыны, деңгейлік гипербет деп аталады. Деңгейлік жиын – талшықтың ерекше жағдайы.

Басқа атаулар

Деңгей жиынтықтары көптеген қолданыстарда кездеседі, көбінесе әртүрлі атаулармен. Мысалы, имплицитті қисық – бұл деңгейлі қисық, ол көршілес қисықтардан тәуелсіз қарастырылады, бұл қисықтың имплицитті теңдеумен анықталатынын көрсетеді. Сол сияқты, деңгей беті кейде имплицитті бет немесе изобет деп аталады. Изоконтур деген атау да қолданылады, ол бірдей биіктіктегі контурді білдіреді. Әртүрлі салаларда изоконтурлар нақты атауларға ие болған, олар көбінесе қарастырылып отырған функцияның мәндерінің сипатын көрсетеді, мысалы, изобар, изотерма, изогон, изохрон, изоквант және айырмашылық қисығы.

Мысалдар

2 өлшемді Евклид қашықтығын қарастырайық: Бұл функцияның деңгейлік жиыны түптесінен қашықтықта жатқан нүктелерден тұрады, олар шеңбер құрайды. Мысалы, , себебі геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл нүкте бастапқы нүктесінде орталанған 5 радиусты шеңберде жатыр дегенді білдіреді. Көбінесе, радиусы орталық нүктесінде орналасқан метрикалық кеңістіктегі сфераны деңгейлік жиын ретінде анықтауға болады. Екінші мысал – оң жақтағы суретте көрсетілген Химмельблау функциясының графигі. Суреттегі әр қисық функцияның деңгейлік қисығы болып табылады және олар логарифмдік аралықпен орналасқан: егер бір қисық белгілі бір мәнді көрсететін болса, одан ішкі жатқан қисық одан кіші мәнді, ал сыртқы қисық одан үлкен мәнді көрсетеді.

Градиентке қарсы деңгейдің орнатуы

Теорема: Егер f функциясы дифференциалданатын болса, f-тің градиенті бір нүктеде нөлге тең болады немесе сол нүктедегі f-тің деңгейлік жиынына перпендикуляр болады. Бұл нені білдіретінін түсіну үшін, бір тауда екі туристтің бірдей жерде тұрғанын көзге елестетіңіз. Олардың біреуі батыл, ең тік бауға қарай жүруге шешім қабылдайды. Екіншісі сақтықпен, көтерілуге де, түсуге де ниеттемейді, бірдей биіктікте қалатын жолды таңдайды. Біздің мысалымызда, аталған теорема екі туристің бір-біріне перпендикуляр бағыттармен кететінін көрсетеді. Бұл теореманың (және оның дәлелінің) салдары: егер f дифференциалданатын болса, деңгейлік жиынтық – гипербет және f-тің сындық нүктелерінен тыс жердегі көптеуіш. Сындық нүктеде деңгейлік жиынтық нүкеге дейін қысқаруы мүмкін (мысалы, f-тің жергілікті экстремумында) немесе өзімен-өзі қиылысатын нүкте немесе ұш сияқты ерекшеліктері болуы мүмкін.