Введение

Подмножество области определения функции, на котором её значение постоянно, соответствует вычислительному методу.

В математике, множество уровней функции f от n вещественных переменных – это множество точек, в которых функция принимает заданное постоянное значение c, то есть:

Когда число независимых переменных равно двум, множество уровней называется линией уровня, также известной как контурная линия или изолина; таким образом, линия уровня – это множество всех вещественных решений уравнения с двумя переменными и . Когда n = 3, множество уровней называется поверхностью уровня (или изоповерхностью); таким образом, поверхность уровня – это множество всех вещественных корней уравнения с тремя переменными , и . Для значений n, больших 3, множество уровней называется гиперповерхностью уровня, это множество всех вещественных корней уравнения с n > 3 переменными. Множество уровней является частным случаем волокна.

Альтернативные названия

Наборы уровней встречаются во многих приложениях, часто под разными названиями. Например, неявная кривая является кривой уровня, рассматриваемой независимо от соседних кривых, что подчеркивает, что такая кривая задается неявным уравнением. Аналогично, поверхность уровня иногда называют неявной поверхностью или изоповерхностью. Также используется термин изоконтур, обозначающий линию равных значений. В различных областях применения изоконтуры получили специфические названия, отражающие природу значений рассматриваемой функции, такие как изобара, изотерма, изогона, изохрона, изокванта и кривая безразличия.

Примеры

Рассмотрим двумерное евклидово расстояние: набор уровней этой функции состоит из точек, находящихся на расстоянии от начала координат, образующих окружность. Например, , поскольку геометрически это означает, что точка лежит на окружности радиуса 5 с центром в начале координат. В более общем случае, сфера в метрическом пространстве с радиусом, центрированная в точке , может быть определена как набор уровней . Вторым примером является график функции Химмельблау, показанный на рисунке справа. Каждая из изображенных кривых является линией уровня функции, и они расположены логарифмически: если кривая представляет , то кривая непосредственно "внутри" представляет , а кривая непосредственно "снаружи" представляет .

Уровни по отношению к градиенту

Теорема: Если функция f дифференцируема, градиент f в точке либо равен нулю, либо перпендикулярен уровню множеству f в этой точке. Чтобы понять, что это означает, представьте себе двух туристов, находящихся в одном и том же месте на горе. Один из них смел и решает двигаться в направлении, где уклон самый крутой. Другой более осторожен и не хочет ни подниматься, ни спускаться, выбирая путь, который остается на одной и той же высоте. В нашей аналогии, вышеуказанная теорема утверждает, что эти два туриста будут удаляться в направлениях, перпендикулярных друг другу. Следствием этой теоремы (и ее доказательства) является то, что если f дифференцируема, то уровень множества является гиперповерхностью и многообразием вне критических точек f. В критической точке уровень множества может быть сведен к точке (например, в точке локального экстремума f) или может иметь сингулярность, такую как точка самопересечения или острие.