Кіріспе

SU(3) Ли алгебрасының негізі Мюррей Гелл-Манн жасаған Гелл-Манн матрицалары – бөлшектер физикасындағы күшті өзара әрекеттесуді зерттеуде қолданылатын, бір-бірінен тәуелсіз сегіз 3×3 нөлдік ізді Гермит матрицаларының жиынтығы. Олар SU(3) тобының Ли алгебрасын негізгі өкілдікте жабатын кеңістік құрайды.

Қасиеттері

Бұл матрицалар ізсіз, гермиттік және қосымша із ортонормальділік қатынасын қанағаттандырады, сондықтан экспоненциация арқылы SU(3) бірлік матрицалық тобының элементтерін тудыра алады. Гелл-Манн осы қасиеттерді таңдады, себебі олар SU(2) үшін Паули матрицаларын SU(3) матрицаларына табиғи түрде жалпылайды, бұл Гелл-Маннның кварк моделінің негізін құрады. Гелл-Маннның жалпылауы жалпы SU(n) үшін де қолданылады. Ли алгебраларының стандартты негізімен байланысы туралы мәліметтер үшін Вейль-Картан негізін қараңыз.

Өкілдік теориясы

Матрицалардың белгілі бір таңдауы топтық өкілдік деп аталады, себебі SU(3) кез келген элементін Эйнштейн нотациясын қолдана отырып, мына түрде жазуға болады, мұнда сегіз нақты сан және j индексі бойынша қосымша ескеріледі. Бір өкілдік берілген болса, кез келген унитарлық ұқсастық түрлендіру арқылы эквивалентті өкілдік алуға болады, себебі ол коммутаторды өзгерте алмайды. Матрицалар SU(3) деп аталатын арнайы унитарлық топтың инфинитезималды генераторларының өкілдігі ретінде жүзеге асырылуы мүмкін. Бұл топтың Ли алгебрасы (нақты Ли алгебрасы) сегіз өлшемді және демек, сегіз сызықтық тәуелсіз генераторлардан тұратын жиынтыққа ие, оны i 1-ден 8-ге дейінгі мәндерді қабылдай отырып, жазуға болады.

Кванттық хромодинамикаға қолдану

Бұл матрицалар кванттық хромодинамиканың түсті кварктарымен байланысты глюондық өрістердің ішкі (түсті) айналымдарын зерттеу үшін қолданылады (глюонның түстеріне қараңыз). Гаудждық түсті айналу – бұл уақыт-кеңістікке тәуелді SU(3) тобының мүшесі, онда сегіз индекстің k бойынша жиынтығы түсініледі.