Введение

Основа для алгебры Ли SU(3)
Матрицы Гелл-Манна, разработанные Мюрреем Гелл-Манном, — это набор из восьми линейно независимых 3×3 матриц, не имеющих следа и являющихся эрмитовыми, используемых при изучении сильного взаимодействия в физике частиц. Они образуют алгебру Ли группы SU(3) в фундаментальном представлении.

Свойства

Эти матрицы являются бесследными, эрмитовыми и удовлетворяют дополнительному отношению ортонормальности по следу, поэтому они могут порождать элементы унитарной матрицы группы SU(3) посредством экспоненцирования. Эти свойства были выбраны Гелл-Манном, поскольку они естественным образом обобщают матрицы Паули для SU(2) на SU(3), что послужило основой для кварковой модели Гелл-Манна. Обобщение Гелл-Манна в дальнейшем распространяется на общий случай SU(n). О связи с основным базисом алгебр Ли см. базис Вейля — Картана.

Теория представления

Определенный выбор матриц называется групповым представлением, поскольку любой элемент SU(3) может быть записан в виде, используя обозначение Эйнштейна, где восемь чисел являются действительными, и подразумевается суммирование по индексу j. Для заданного представления эквивалентное представление может быть получено с помощью произвольного унитарного преобразования подобия, так как это сохраняет коммутатор. Матрицы могут быть реализованы как представление бесконечно малых генераторов специальной унитарной группы SU(3). Алгебра Ли этой группы (фактически вещественная алгебра Ли) имеет размерность восемь и, следовательно, содержит набор из восьми линейно независимых генераторов, которые могут быть записаны как , где i принимает значения от 1 до 8.

Применение к квантовой хромодинамике

Эти матрицы используются для изучения внутренних (цветовых) вращений глюонных полей, связанных с кварками с цветом в квантовой хромодинамике (см. цвета глюона). Вращение цветовой калибровки — это элемент группы SU(3), зависящий от пространственно-временной точки, где подразумевается суммирование по восьми индексам k.