Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
13 полиэдр; Архимедтік қатты денелердің дуалдары
13 polyhedra; duals of the Archimedean solids
Математикада каталандық қатты дене немесе Архимедтік дуал – Архимедтік қатты денеге дуалды полиэдр. Каталандық қатты денелердің саны 13. Олар 1865 жылы алғаш рет сипаттаған бельгиялық математик Эжен Каталанның есімімен аталған. Каталандық қатты денелердің барлығы дөңгеленген. Олар беттік транзитивті, бірақ төбелік транзитивті емес. Себебі, Архимедтік қатты денелер төбелік транзитивті, ал беттік транзитивті емес. Платондық және Архимедтік қатты денелерден айырмашылығы, каталандық қатты денелердің жақтары тұрақты көпбұрыштар емес. Дегенмен, каталандық қатты денелердің төбелік фигуралары тұрақты және олардың тұрақты диэдрлік бұрыштары бар. Беттік транзитивті болғандықтан, каталандық қатты денелер изоэдра болып табылады. Сонымен қатар, каталандық қатты денелердің екеуі қырлық транзитивті: ромбтық додекаэдр және ромбтық триаконтаэдр. Бұл екі квази-тұрақты Архимедтік қатты денелердің дуалдары. Призмалар мен антипризмалар, әдетте, Архимедтік қатты денелер деп саналмайды, сондай-ақ бипирамидалар мен трапезоэдрлер де беттік транзитивті болғанына қарамастан, каталандық қатты денелер деп саналмайды. Каталандық қатты денелердің екеуі хиралды: бесбұрышты икоситетраэдр және бесбұрышты гексеконтаэдр, олар хиралды снуб куб пен снуб додекаэдрдің дуалдары. Олардың әрқайсысы екі энантиоморф түрінде келеді. Энантиоморфтарды, бипирамидаларды және трапезоэдрлерді есепке алмай, барлығы 13 каталандық қатты дене бар. Каталандық қатты денелердің 11-і Руперт қасиетіне ие: сол пішінде немесе одан үлкен пішіндегі қатты дененің көшірмесі, қатты дененің тесігі арқылы өтуі мүмкін.
In mathematics, a Catalan solid, or Archimedean dual, is a polyhedron that is dual to an Archimedean solid. There are 13 Catalan solids. They are named after the Belgian mathematician Eugène Catalan, who first described them in 1865. The Catalan solids are all convex. They are face transitive but not vertex transitive. This is because the dual Archimedean solids are vertex transitive and not face transitive. Note that unlike Platonic solids and Archimedean solids, the faces of Catalan solids are not regular polygons. However, the vertex figures of Catalan solids are regular, and they have constant dihedral angles. Being face transitive, Catalan solids are isohedra. Additionally, two of the Catalan solids are edge transitive: the rhombic dodecahedron and the rhombic triacontahedron. These are the duals of the two quasi regular Archimedean solids. Just as prisms and antiprisms are generally not considered Archimedean solids, bipyramids and trapezohedra are generally not considered Catalan solids, despite being face transitive. Two of the Catalan solids are chiral: the pentagonal icositetrahedron and the pentagonal hexecontahedron, dual to the chiral snub cube and snub dodecahedron. These each come in two enantiomorphs. Not counting the enantiomorphs, bipyramids, and trapezohedra, there are a total of 13 Catalan solids. Eleven of the 13 Catalan solids have the Rupert property: a copy of the solid, of the same or larger shape, can be passed through a hole in the solid.
Геометрия
Каталондық денелердің барлық диэдрлік бұрыштары тең. Олардың мәнін φ (фи) деп, ал қырлардың түйіскен жеріндегі беттік бұрышты θ (тета) деп белгілейтін болсақ, онда бізде мына қатынас бар: Бұл тек φ және θ, α, β, γ мәндерін есептеу үшін пайдаланылуы мүмкін.
All dihedral angles of a Catalan solid are equal. Denoting their value by , and denoting the face angle at the vertices where faces meet by , we have This can be used to compute and , , , from , only.
Төртбұрышты бет
Каталонияның 13 қатты денесінің 4-і төртбұрышты беттерге ие. Олар Vp. q. p. r түрінде болады, мұнда p, q және r мәндері 3, 4 және 5 аралығында өзгереді. Бұрышты келесі формула арқылы есептеуге болады: Осыдан , және диэдрлік бұрышты оңай есептеуге болады. Әлтернативті түрде, , , деп қойсақ, және үшбұрыштық жағдайға арналған формулаларды қолдану арқылы табуға болады. Бұрышты да осылай есептеуге болады, әрине. Беттер - қысқа пирамидалар, немесе, егер , ромбтар. Мұны, мысалы, дельтоидты икоситетраэдрға (, және ) қолданғанда, нәтижесі .
Of the 13 Catalan solids, 4 have quadrilateral faces. These are of the form Vp. q. p. r, where p, q and r take their values among 3, 4, and 5. The angle can be computed by the following formula: From this, , and the dihedral angle can be easily computed. Alternatively, put , , Then and can be found by applying the formulas for the triangular case. The angle can be computed similarly of course. The faces are kites, or, if , rhombi. Applying this, for example, to the deltoidal icositetrahedron (, and ), we get .
Бесбұрышты беттері
Каталонияның 13 қатты денесінің 2-сі бесбұрышты жақтарына ие. Олар Vp. p. p. p. q түрінде болады, мұнда p=3, ал q=4 немесе 5. Бұрыш үшінші дәрежелі теңдеуді шешу арқылы есептелуі мүмкін: .
Of the 13 Catalan solids, 2 have pentagonal faces. These are of the form Vp. p. p. p. q, where p=3, and q=4 or 5. The angle can be computed by solving a degree three equation:
.
Құрылыс
Кез келген каталондық көпжақтың қабырғасын Дорман Люк құрылысын пайдаланып, қос Архимедтік денелердің төбелік фигурасынан шығаруға болады.
The face of any Catalan polyhedron may be obtained from the vertex figure of the dual Archimedean solid using the Dorman Luke construction.
Басқа қатты денелерге қолдану
Осы бөлімдегі барлық формулалар Платондық денелерге, сондай-ақ тең диэдр бұрыштары бар бипирамидалар мен трапезоэдрлерге де қолданылады, себебі оларды тек тұрақты диэдр бұрышының қасиеті арқылы шығаруға болады. Мысалы, V3.3.5.3 беттері бар бесбұрышты трапезоэдр үшін біз , немесе нәтижесін аламыз. Бұл көңіл көншітпейді: осындай трапезоэдрдің екі төбесін кесіп, тура dodecahedron алуға болады.
All of the formulae of this section apply to the Platonic solids, and bipyramids and trapezohedra with equal dihedral angles as well, because they can be derived from the constant dihedral angle property only. For the pentagonal trapezohedron, for example, with faces V3.3.5.3, we get , or This is not surprising: it is possible to cut off both apexes in such a way as to obtain a regular dodecahedron.