Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
13 полиэдров; дуальные Архимедовым телам
13 polyhedra; duals of the Archimedean solids
В математике, каталонское тело, или Архимедов дуал, — это полиэдр, являющийся дуальным Архимедову телу. Существует 13 каталонских тел. Они названы в честь бельгийского математика Эжена Катала́на, который впервые описал их в 1865 году. Все каталонские тела выпуклые. Они обладают лицевой транзитивностью, но не вершинной. Это происходит потому, что дуальные Архимедовы тела обладают вершинной транзитивностью, но не лицевой. Следует отметить, что в отличие от платонических и Архимедовых тел, грани каталонских тел не являются правильными многоугольниками. Однако, вершинные фигуры каталонских тел правильные, и они имеют постоянные двугранные углы. Обладая лицевой транзитивностью, каталонские тела являются изоэдрами. Кроме того, два каталонских тела обладают транзитивностью рёбер: ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр. Они являются дуальными к двум квазиправильным Архимедовым телам. Подобно тому, как призмы и антипризмы обычно не рассматриваются как Архимедовы тела, бипирамиды и трапецоэдры обычно не рассматриваются как каталонские тела, несмотря на их лицевую транзитивность. Два каталонских тела являются хиральными: пятиугольный икоситетраэдр и пятиугольный гексеконтаэдр, дуальные хиральному кубу и додекаэдру. Каждое из них имеет два энантиоморфа. Не учитывая энантиоморфы, бипирамиды и трапецоэдры, всего существует 13 каталонских тел. Одиннадцать из этих 13 каталонских тел обладают свойством Руперта: копию тела, той же или большей формы, можно пронести через отверстие в теле.
In mathematics, a Catalan solid, or Archimedean dual, is a polyhedron that is dual to an Archimedean solid. There are 13 Catalan solids. They are named after the Belgian mathematician Eugène Catalan, who first described them in 1865. The Catalan solids are all convex. They are face transitive but not vertex transitive. This is because the dual Archimedean solids are vertex transitive and not face transitive. Note that unlike Platonic solids and Archimedean solids, the faces of Catalan solids are not regular polygons. However, the vertex figures of Catalan solids are regular, and they have constant dihedral angles. Being face transitive, Catalan solids are isohedra. Additionally, two of the Catalan solids are edge transitive: the rhombic dodecahedron and the rhombic triacontahedron. These are the duals of the two quasi regular Archimedean solids. Just as prisms and antiprisms are generally not considered Archimedean solids, bipyramids and trapezohedra are generally not considered Catalan solids, despite being face transitive. Two of the Catalan solids are chiral: the pentagonal icositetrahedron and the pentagonal hexecontahedron, dual to the chiral snub cube and snub dodecahedron. These each come in two enantiomorphs. Not counting the enantiomorphs, bipyramids, and trapezohedra, there are a total of 13 Catalan solids. Eleven of the 13 Catalan solids have the Rupert property: a copy of the solid, of the same or larger shape, can be passed through a hole in the solid.
Геометрия
Все двугранные углы каталонского тела равны. Обозначим их величину через φ, а угол при вершине, где сходятся n граней, через α. Тогда выполняется соотношение: Это позволяет вычислить α, n, а также φ только по значениям φ и n.
All dihedral angles of a Catalan solid are equal. Denoting their value by , and denoting the face angle at the vertices where faces meet by , we have This can be used to compute and , , , from , only.
Четырехсторонние поверхности
Из 13 каталонских тел 4 имеют четырехсторонние грани. Они имеют вид Vp.q.p.r, где p, q и r принимают значения 3, 4 или 5. Угол можно вычислить по следующей формуле: из чего следует , и двугранный угол можно легко вычислить. В качестве альтернативы, положим , , тогда и можно найти, применив формулы для треугольного случая. Угол также можно вычислить аналогичным образом. Грани являются дельтоидами, или, если , ромбами. Применяя это, например, к дельтоидальному икоситетраэдру (, и ), получаем .
Of the 13 Catalan solids, 4 have quadrilateral faces. These are of the form Vp. q. p. r, where p, q and r take their values among 3, 4, and 5. The angle can be computed by the following formula: From this, , and the dihedral angle can be easily computed. Alternatively, put , , Then and can be found by applying the formulas for the triangular case. The angle can be computed similarly of course. The faces are kites, or, if , rhombi. Applying this, for example, to the deltoidal icositetrahedron (, and ), we get .
Пятиугольные листья
Из 13 каталонских тел 2 имеют пятиугольные грани. Они имеют вид Vp.p.p.p.q, где p=3, а q=4 или 5. Угол можно вычислить, решив кубическое уравнение: .
Of the 13 Catalan solids, 2 have pentagonal faces. These are of the form Vp. p. p. p. q, where p=3, and q=4 or 5. The angle can be computed by solving a degree three equation:
.
Строительство
Лицо любого каталонского многогранника может быть получено из вершинной фигуры двойственного архимедова тела с помощью построения Дормана Люка.
The face of any Catalan polyhedron may be obtained from the vertex figure of the dual Archimedean solid using the Dorman Luke construction.
Применение к другим твердым веществам
Все формулы этого раздела применимы к платоновым телам, а также к бипирамидам и трапезоэдрам с равными двугранными углами, поскольку они выводятся исключительно из свойства постоянного двугранного угла. Для пентагонального трапезоэдра, например, с гранями V3.3.5.3, мы получаем , или Это не удивительно: такой трапезоэдр можно усечь, отрезав обе вершины, чтобы получить правильный додекаэдр.
All of the formulae of this section apply to the Platonic solids, and bipyramids and trapezohedra with equal dihedral angles as well, because they can be derived from the constant dihedral angle property only. For the pentagonal trapezohedron, for example, with faces V3.3.5.3, we get , or This is not surprising: it is possible to cut off both apexes in such a way as to obtain a regular dodecahedron.