Кіріспе

12 беті бар көпбұрыш

+ Көбінесе он екібұрыш, реті 120Тәуесқой Кішкентай жұлдызды Үлкен Үлкен жұлдызды T, реті 24T, реті 12O, реті 48Джонсон (J) Пиритоэдр Тетартоид Ромбтық үшбұрышты D, реті 16D, реті 12Ромбоалтыбұрышты Ромбтық төртбұрышты Трапециялық ромбтық Ромбтық үшбұрышты

Геометрияда додекаэдр (; ) немесе он екібұрыш – он екі жазық беті бар кез келген көпбұрыш. Ең танымал додекаэдр – бесбұрыштардан тұратын тұрақты додекаэдр, ол Платон денесі. Конвекс пішіннің жұлдыздануы арқылы құрылған үш тұрақты жұлдызды додекаэдр де бар. Олардың барлығы 120-қа тең икосаэдрлік симметрияға ие. Кейбір додекаэдрлердің комбинаторлық құрылымы тұрақты додекаэдрмен бірдей (оның төбелері мен қабырғаларынан құрылған граф бойынша), бірақ олардың бесбұрыш беттері тұрақты емес: Пиритоэдр, пиритте кездесетін әдеттегі кристалл түрі, пиритоэдрлік симметрияға ие, ал тетартоид тетраэдрлік симметрияға ие. Ромбтық додекаэдр пиритоэдрдің шектік жағдайы ретінде қарастырылуы мүмкін және ол октаэдрлік симметрияға ие. Ұзартылған додекаэдр және трапециялық ромбтық додекаэдр түрлері, сондай-ақ ромбтық додекаэдрлер кеңістікті толтырады. Тағы да көптеген додекаэдрлер бар. Тұрақты додекаэдр басқа Платон денелерімен көптеген қасиеттерін бөліссе де, оның бірегей қасиеті – бетінің бір бұрышынан бастап, басқа бұрыштардан өтпей, фигураның бастапқы нүктесіне қайта оралатын шексіз көптік түзу сызықтар салу мүмкіндігі.

Пиритоэдр

Пиритоэдр (айналмалы модельді мұнда қараңыз.) Бет көпбұрышы – теңқабырғалы бесбұрыш Коксетер диаграммасы Беттер 12 Қырлар 30 (6 + 24) Төбелер 20 (8 + 12) Симметрия тобы Th, [4,3+], (3*2), реті 24 Айналу тобы T, [3,3]+, (332), реті 12 Қос полиэдр Псевдоикосаэдр Қасиеттері беттік транзитивті, торлы

Пиритоэдр – пиритоэдрлік (Th) симметриясы бар додекаэдр. Тұрақты додекаэдр сияқты, оның он екі бірдей бесбұрышты беті бар, әрбір төбеде үш беттен кездеседі (суретті қараңыз). Алайда, бесбұрыштар міндетті түрде тұрақты болуы керек емес, ал негізгі атомдық құрылымда нақты бес еселі симметрия осі жоқ. Оның 30 қыры екі жиынға бөлінеді – 24 және 6 бірдей ұзындықтағы қырдан тұрады. Айналу симметриясының жалғыз осьтері – өзара перпендикуляр үш екі еселі ось және төрт үш еселі ось. Тұрақты додекаэдрлер кристалдарда кездеспесе де, пиритоэдр пішіні пирит минералының кристалдарында кездеседі және бұл тұрақты Платондық дене пішінін табуға түрткі болған болуы мүмкін. Нағыз тұрақты додекаэдр квазикристалдар (мысалы, гольмий-магний-мырыш квазикристалы) икосаэдрлік симметриямен, соның ішінде нағыз бес еселі айналу осьтерімен пішін ретінде кездесуі мүмкін.

Кристалды пирит

Кристалл пириті атауы пириттің екі кең таралған кристалдық пішінінің бірінен (екіншісі куб) шыққан. Пиритоэдрлі пиритте жақтарының Миллер индексі (210) болады, яғни диэдрлік бұрыш 2·arctan(2) ≈ 126.87° құрайды, ал әрбір бесбұрышты жақта екі шамамен 106.6° бұрыш арасында шамамен 121.6° бұрыш және қарама-қарсы екі шамамен 102.6° бұрыш болады. Төмендегі формулалар идеалды кристалл жағының өлшемдерін көрсетеді (табиғатта сирек кездеседі).

Геометриялық еркіндік

Пиритоэдрдің геометриялық еркіндік дәрежесі бар, оның бір шегінде коллинеар жиектері бар текшелік дөңес қабықшасы, ал екінші шегінде ромбтық додекаэдр орналасқан, себебі 6 жиегінің ұзындығы нөлге дейін дегенерацияланады. Тұрақты додекаэдр барлық жиектері мен бұрыштары тең болатын ерекше аралық жағдайды білдіреді. Бұл шектеулі жағдайларды басып өтіп, ойыс немесе дөңес емес пиритоэдрлерді жасауға болады. Эндододекаэдр ойыс және теңқабырлы; ол дөңес тұрақты додекаэдрмен кеңістікті мозаикалай алады. Одан әрі сол бағытта жылжу арқылы біз он екі төбесі ортада тұспа-тұс келетін дегенеративті жағдайдан өтеміз, содан кейін барлық жиектері мен бұрыштары қайтадан тең болатын, ал жақтары тұрақты пентаграммаларға бұрмаланған тұрақты үлкен жұлдызды додекаэдрге жетеміз. Екінші жағынан, ромбтық додекаэдрден өткеннен кейін, біз балық пішіндес, өзара қиылысатын теңқабырлы бесбұрышты жақтары бар дөңес емес теңқабырлы додекаэдрге ие боламыз. Пиритоэдрдің ерекше жағдайлары, бірдей абсолюттік мәндері мен қарама-қарсы таңбалары бар нұсқалары бірге бал ұясын құрайды. (Бұл анимацияны салыстырып қараңыз.) Көрсетілген қатынас – жиек ұзындықтарының арақатынасы, атап айтқанда, 24 (куб төбелеріне жанасатын) жиектерге және 6 (куб жақтарына сәйкес келетін) жиектерге қатысты. Қатынас 1 : 10 : 11 : 12 : 11 : 10 : 11 : 1 h −1 0 1 −1.618 −0.618 0.618 1.618 Сурет: Тәуелді жұлдыз, үлкен жұлдызды додекаэдр, тұрақты пентаграмма жақтарымен. Дегенеративті, ортасында 12 төбесі бар. Ойыс теңқабырлы додекаэдр, эндододекаэдр деп аталады. Кубты барлық жиектерін және жақтарын кезектесіп бағыттарда екіге бөлу арқылы пиритоэдрге бөлуге болады. Тұрақты додекаэдр – тең жиек ұзындығы бар аралық жағдай. Ромбтық додекаэдр – 6 қиылысқан жиегі нөлге дейін азайтылған дегенеративті жағдай. Өзін-өзі қиып өтетін теңқабырлы додекаэдр.

Тетртоид

Тетартоид
Тетрагональді бесбұрышты додекаэдр (Бұл жерде айналу моделі үшін қараңыз.)
Беттің көпбұрышы дұрыс емес бесбұрыш
Конвей белгісі gT
Беттер 12
Қырлар 30 (6+12+12)
Төбелер 20 (4+4+12)
Симметрия тобы T, [3,3]+, (332), тәртібі 12
Қасиеттері дөңес, беттік транзитивті

Тетартоид (сонымен қатар, тетрагональді бесбұрышты додекаэдр, бесбұрыш тритетраэдр және тетраэдрлік бесбұрыш додекаэдр) – хиральды тетраэдрлік симметриясы (T) бар додекаэдр. Тәртіптік додекаэдр сияқты, оның он екі бірдей бесбұрышты беті бар, әрқайсысында 20 төбе бар. Алайда, бесбұрыштар дұрыс емес және фигурада бес еселенген симметрия осі жоқ. Тәртіптік додекаэдрлер кристалдарда болмаса да, тетартоид формасы бар. Тетартоид атауы грек тіліндегі «төрттен бірі» деген сөзден шыққан, өйткені оның толық октаэдрлік симметрияның төрттен бірі, ал пиритоэдрлік симметрияның жартысы бар. Кобальтит минералы осындай симметрия формасына ие болуы мүмкін. Қатты дененің топологиясы мен симметриясын бөлісетін абстракциялар текшеден және тетраэдрден жасалуы мүмкін. Текшеде әр бет қисық жиекпен екіге бөлінген. Тетраэдрде әр жиегі үшке бөлінген, ал әр жаңа төбелер бет ортасына қосылған. (Конвейдің көпбұрышты жазуы бойынша бұл гиротетраэдр.) Диакис додекаэдрімен байланысы Тетартоид диакис додекаэдрінің 24 бетінің 12-сін ұлғайту арқылы жасалуы мүмкін. (Бұл жерде көрсетілген тетартоид дисдиакис додекаэдрінің 48 бетінің 24-ін ұлғайту арқылы жасалған тетартоидқа негізделген.) Оң жақтағы кристалл моделі диакис додекаэдр ядросының көк беттерін ұлғайту арқылы жасалған тетартоидты көрсетеді. Сондықтан көк беттер арасындағы жиектерді қызыл скелет жиектері жабады.

Үшбұрышты гиробиантикуполаның қос

Түземді додекаэдрдің төменгі симметриялы түрі, екі үшбұрышты антикуполаның негіздері біріктіріліп жасалған полиэдрдің дуалы ретінде құрастырылуы мүмкін, бұл полиэдр үшбұрышты гиробиантикупола деп аталады. Оның D3d симметриясы, 12-ші реттік. Онда жоғарғы және төменгі жағында 3 бірдей бесбұрыштан тұратын екі жиын, ал бүйір жағында жоғары және төмен қарай кезектесетін 6 бесбұрыштан тұратын байланыс бар. Бұл нысан алтыбұрышты қимаға ие, және оның бірдей көшірмелерін жартылай алтыбұрышты ұялы құрылым ретінде біріктіруге болады, бірақ барлық төбелері сәйкес келмейді.

Ромбтық он екіге бөлінген

Ромбтық додекаэдр – он екі ромбтық жағы және октаэдрлік симметриясы бар зонаэдрон. Ол квазиреттік кубоктаэдрмен (Архимедтік дене) жұптасқан және табиғатта кристалдық форма ретінде кездеседі. Ромбтық додекаэдр кеңістікті толтыру үшін бірігеді. Ромбтық додекаэдрді 6 ерекше қабырғалары нөлдік ұзындыққа дейін қысқартылып, бесбұрыштар ромбтық жақтарға дейін азайтылған пиритоэдронның дегенеративті түрі деп қарастыруға болады. Ромбтық додекаэдрде бірнеше стелляциялар бар, олардың біріншісі параллелоэдрлік кеңістік толтырғыш болып табылады. Тағы бір маңызды ромбтық додекаэдр – Билинский додекаэдрі, ол ромбтық триаконтаэдрдің он екі жағымен конгруэнтті, яғни диагональдары алтын қатынаста. Ол сондай-ақ зонаэдрон және 1960 жылы Билинский сипаттаған. Бұл фигура басқа кеңістік толтырғыш болып табылады және ромбтық триаконтаэдр, ромбтық икосаэдр және ромбтық гексаэдрмен бірге периодты емес кеңістік толтыруда да кездеседі.

Практикалық қолдану

Арманд Шпиц Альберт Эйнштейннің ұсынысы бойынша өзінің Digital Dome планетариум проекторында "глобусқа" балама ретінде додекаэдрді пайдаланды.