Кіріспе
8 үшбұрышты және 6 шаршы беті бар көпбұрыш
Кубоктаэдр – 8 үшбұрышты және 6 шаршы беті бар көпбұрыш. Кубоктаэдрдің 12 бірдей төбесі бар, әрқайсысында 2 үшбұрыш және 2 шаршы түйіседі, ал 24 бірдей қабырғасы әрқайсысы үшбұрышты шаршыдан бөліп тұрады. Осыған байланысты, ол квазиреттік көпбұрыш, яғни Архимедтік дене, бұл тек төбелік транзитивті ғана емес, сонымен қатар қабырғалық транзитивті. Ол радиалды түрде теңқабырғалы. Оның қос көпбұрышы – ромбтық додекаэдр. Кубоктаэдр Платонға белгілі болған: Геронның «Definitiones» еңбегінде Архимед Платонның 8 үшбұрыштан және 6 шаршыдан тұратын дене туралы білгені айтылған.
Түбір векторлары
Кубоктаэдрдің 12 төбесі қарапайым Лай тобының A3 түбірлік векторларын көрсете алады. Октаэдрдің 6 төбесі қосылғанда, бұл төбелер қарапайым Лай тобының B3 түбірлік векторларының 18-ін көрсетеді.
Тетраэдрлер мен октаэдрлер
Кубоктаэдрді 6 шаршы пирамидаға және 8 тетраэдрге бөлуге болады, олардың барлығы орталық нүктеде түйіседі. Бұл дисекция төртбұрышты-сегізбұрышты ұяшық құрылымында көрініс табады, онда шаршы пирамидалар жұптары октаэдрлерге біріктіріледі.
Қалыпсыз көпбұрыштар
Кубоктаэдрді ортасынан өтетін жалпы алтыбұрыш арқылы екі үшбұрышты куполаға бөлуге болады. Егер осы екі үшбұрышты куполалар бұрылып, үшбұрыштар мен төртбұрыштар тік сызықта келсе, Джонсон денесі J27 – үшбұрышты ортобикупола пайда болады.
Радиалды тең жақты симметрия
Кубоктаэдрде ұзын радиус (орталықтан төбесіне дейін) жиек ұзындығымен бірдей; демек, оның ұзын диаметрі (төбесінен қарама-қарсы төбесіне дейін) 2 жиек ұзындығына тең. Оның ортасы канондық пирамиданың апоексі сияқты: барлық басқа төбелерден бір жиек ұзындығы қашықтықта. (Кубоктаэдр жағдайында орталық шындығында 6 шаршы және 8 үшбұрышты пирамиданың апоексі болып табылады). Бұл радиалды теңқабырлы симметрия – екі өлшемді алтыбұрыш, үш өлшемді кубоктаэдр және төрт өлшемді 24 жасуша және 8 жасуша (тессеракт) сияқты бірнеше біркелкі политоптарға ғана тән қасиет. Радиалды теңқабырлы политоптар – бұл олардың ұзын радиустарымен, политоптың ортасында кездесетін теңқабырлы үшбұрыштардан құрастырылатын политоптар, олардың әрқайсысы екі радиус пен бір жиекті ұсынады. Сондықтан, осы политоптардың ортасында кездесетін барлық ішкі элементтерде, кубоктаэдрдің 6 шаршы пирамида мен 8 тетраэдрге бөлінуі сияқты, теңқабырлы үшбұрышты ішкі жақтары болады. Бұл радиалды теңқабырлы политоптардың әрқайсысы кеңістікті толтыруға арналған ерекше теселяциялардың жасушалары ретінде де кездеседі: тұрақты алтыбұрыштардың мозаикасы, түзетілген кубтық ұяшық (кубоктаэдрлер мен октаэдрлердің кезектесетін тізбегі), 24 жасушалы ұяшық және тессерактік ұяшық. Әрбір теселяцияның қос теселяциясы бар; теселяциядағы жасуша орталықтары оның қос теселяциясындағы жасуша төбелері болып табылады. Екі, үш және төрт өлшемдегі ең тығыз белгілі тұрақты шарлар жиынтығы осы теселяциялардың біреуінің жасуша орталықтарын шарлардың орталықтары ретінде пайдаланады. Кубоктаэдрдің октаэдрлік симметриясы бар. Оның бірінші жұлдыздауы – бұл куб пен оның қос октаэдрінің қосындысы, кубоктаэдрдің төбелері олардың жиектерінің ортасында орналасқан.
Құрылыстар
Кубоктаэдрді төрт өлшемді 24 жасушаның немесе 16 жасушаның экваторлық қимасын алу арқылы алуға болады. Алтыбұрыш немесе төртбұрыш кубоктаэдрдің экваторлық қимасын алу арқылы алынуы мүмкін. Кубоктаэдр – түзетілген куб және түзетілген октаэдр. Сонымен қатар, ол – кантеллендік тетраэдр. Осы құрылым арқылы оған Уитхофф символы беріледі: тетраэдрдің қисық кантелляциясы кубоктаэдрдің жақтарына параллель дене жасайды, атап айтқанда, екі түрлі сегіз үшбұрыш және алты тіктөртбұрыш. Оның қабырғалары тең болмаса да, бұл дене төбелік біртектілігін сақтайды: денеде толық тетраэдрлік симметрия тобы бар және оның төбелері сол топ бойынша эквивалентті. Кубоктаэдрдің қабырғалары төрт дұрыс алтыбұрыш құрайды. Егер кубоктаэдр осы алтыбұрыштардың бірінің жазықтығында кесілсе, әр бөлігі үшбұрышты купола болады, бұл Джонсон денелерінің бірі; сондықтан кубоктаэдрдің өзі үшбұрышты гиробикупола деп аталуы мүмкін, бұл серияның ең қарапайым түрі (гиробифастигиумнан немесе "дигональді гиробикуполадан" басқа). Егер екі бөлік бұралып біріктірілсе, үшбұрыштар үшбұрыштармен, ал төртбұрыштар төртбұрыштармен беттессе, нәтижесінде тағы бір Джонсон денесі пайда болады – үшбұрышты ортобикупола, сонымен қатар антикубоктаэдр деп те аталады. Екі үшбұрышты бикупола да шарларды жинауда маңызды рөл атқарады. Дене ортасынан оның төбелеріне дейінгі қашықтық оның қабырғасының ұзындығына тең. Әрбір орталық сфераның он екіге дейін көршілері болуы мүмкін, ал бетке орталастырылған кубтық торда олар кубоктаэдрдің төбелерінің орнында орналасады. Алтыбұрышты тығыз жиналған торда олар үшбұрышты ортобикуполаның бұрыштарына сәйкес келеді. Екі жағдайда да орталық сфера дене ортасының орнын иеленеді. Кубоктаэдрлер үш дөңгелек біртекті бал араларының және тоғыз дөңгелек біртекті 4-политоптардың жасушалары ретінде кездеседі. Кубоктаэдрдің көлемі оны қоршаған кубтың көлемінің және оны қоршаған октаэдрдің көлемінің бөлігін құрайды.
A skew cantellation of the tetrahedron produces a solid with faces parallel to those of the cuboctahedron, namely eight triangles of two sizes, and six rectangles. While its edges are unequal, this solid remains vertex uniform: the solid has the full tetrahedral symmetry group and its vertices are equivalent under that group. The edges of a cuboctahedron form four regular hexagons. If the cuboctahedron is cut in the plane of one of these hexagons, each half is a triangular cupola, one of the Johnson solids; the cuboctahedron itself thus can also be called a triangular gyrobicupola, the simplest of a series (other than the gyrobifastigium or "digonal gyrobicupola"). If the halves are put back together with a twist, so that triangles meet triangles and squares meet squares, the result is another Johnson solid, the triangular orthobicupola, also called an anticuboctahedron. Both triangular bicupolae are important in sphere packing. The distance from the solid's center to its vertices is equal to its edge length. Each central sphere can have up to twelve neighbors, and in a face centered cubic lattice these take the positions of a cuboctahedron's vertices. In a hexagonal close packed lattice they correspond to the corners of the triangular orthobicupola. In both cases the central sphere takes the position of the solid's center. Cuboctahedra appear as cells in three of the convex uniform honeycombs and in nine of the convex uniform 4 polytopes. The volume of the cuboctahedron is of that of the enclosing cube and of that of the enclosing octahedron.
Кинематика
Қимақпен жиектермен жалғастырылған қатаң, жазық беттердің құрылымы ретінде қарастырылғанда, кубоктаэдр – Коши теоремасы бойынша, барлық дөңес көпжақтар сияқты қатаң құрылым болып табылады. Дегенмен, беттері алынып тасталғанда, тек қана қатаң жиектер қалады, олар төбелерінде икемді буындармен байланысқан. Бұл жағдайда, нәтижесінде қатаң жүйе туындамайды (беттерінің бәрі үшбұрыштардан тұратын көпжақтардан өзгеше, оларға Коши теоремасы беттері жоқ болса да қолданылады). Барлық төбелеріне қатаң жиектермен қосылған орталық төбе қосылғанда, кубоктаэдр орталық төбеде түйісетін шаршы пирамидалар мен тетраэдрлерге бөлінеді. Кубоктаэдрдің өзінен айырмашылығы, пайда болған жиектер мен буындар жүйесі қатаң болып, шексіз октетті фермалық құрылымның бір бөлігін құрайды.
(unlike polyhedra whose faces are all triangles, to which Cauchy's theorem applies despite the missing faces). Adding a central vertex, connected by rigid edges to all the other vertices, subdivides the cuboctahedron into square pyramids and tetrahedra, meeting at the central vertex. Unlike the cuboctahedron itself, the resulting system of edges and joints is rigid, and forms part of the infinite octet truss structure.
Тұрақты көпбұрыштар
Кубоктаэдр — текше мен дұрыс октаэдрге қатысты бірыңғай полиэдрлер отбасының бірі. Кубоктаэдр екі түсті үшбұрыштармен тетраэдрлік симметрияға да ие.
Квазирегулярлы көпбұрыштар мен плиткалар
Кубоктаэдр квазиреттеулі полиэдрлер мен төбелік конфигурациялары (3. n)2 болатын мозаикалардың симметрия қатарында кездеседі, сфера мозаикаларынан бастап Эвклид жазықтығына және гиперболалық жазықтыққа қарай дамиды. *n32 орбиталық белгісі бар барлық мозаикалар симметрияның негізгі доменіндегі Уитхофф құрылысы болып табылады, олардың генераторлық нүктелері доменнің тік бұрышында орналасқан. Бұл көпжақ топологиялық тұрғыдан (3.4. n.4) төбелік фигурасы бар канталаған полиэдрлер қатарының бір бөлігі ретінде байланысты және гиперболалық жазықтықтың мозаикалары ретінде жалғасады. Бұл төбелік транзитивті фигуралар (*n32) көрістік симметрияға ие.
Төрт өлшемді политоптар
Кубоктаэдрді тұрақты октаэдрге және екі қарама-қарсы төбелері алынып тасталған текше қабығының дөңгелек қабығы пішіндес сегіз теңсіз, бірақ бірдей октаэдрге бөлуге болады. Кубоктаэдрдің осы бөлінуі 24 ұяшықтың үш өлшемге жасалған бірінші параллель проекциясына сәйкес келеді. Бұл проекцияда кубоктаэдр проекциялық контурды құрайды, оны алты шаршы жақ, тұрақты октаэдр және сегіз теңсіз октаэдрге бөлуге болады. Бұл элементтер 24 ұяшықтағы октаэдрлік ұяшықтардың алтысының, 4D көзқарасынан ең жақын және ең алыс ұяшықтардың, сондай-ақ қалған сегіз жұп ұяшықтардың бейнелерімен сәйкес келеді.