Кіріспе
Келеділік жинақталу ұғымдары, бағалау және асимптотикалық талдауқа қолданылады. Келеділік теориясында кездейсоқ шамалар тізбегінің жинақталуының бірнеше түрлі ұғымдары бар, оның ішінде ықтималдық бойынша жинақталу, үлестірім бойынша жинақталу және дерлік нақты жинақталу. Жинақталудың әртүрлі ұғымдары тізбек туралы әртүрлі қасиеттерді қамтиды, кейбір жинақталу ұғымдары басқаларына қарағанда күштірек. Мысалы, үлестірім бойынша жинақталу кездейсоқ шамалар тізбегінің шекті үлестірімі туралы хабарлайды. Бұл ықтималдық бойынша жинақталудан әлсіз ұғым, ол жай ғана үлестірімнен гөрі кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәні туралы хабарлайды. Бұл ұғым келеділік теориясында маңызды және оны статистика мен стохастикалық процестерге қолдануға болады. Осы ұғымдар жалпы математикада стохастикалық жинақталу ретінде белгілі және олар кейде кездейсоқ немесе болжауға болмайтын оқиғалар тізбегінің белгілі бір қасиеттері, егер тізбекке жеткілікті түрде кірген элементтер зерттелсе, өзгермейтін мінез-құлыққа ие болады деп күтілуі мүмкін деген идеяны ресмилендіреді. Жинақталудың әртүрлі мүмкін ұғымдары мұндай мінез-құлықты қалай сипаттауға болады: екі оңай түсінілетін мінез-құлық – бұл тізбек ақырында тұрақты мәнді қабылдайды және тізбектегі мәндер өзгеріп отырады, бірақ өзгермейтін ықтималдық үлестірімімен сипатталуы мүмкін.
In probability theory, there exist several different notions of convergence of sequences of random variables, including convergence in probability, convergence in distribution, and almost sure convergence. The different notions of convergence capture different properties about the sequence, with some notions of convergence being stronger than others. For example, convergence in distribution tells us about the limit distribution of a sequence of random variables. This is a weaker notion than convergence in probability, which tells us about the value a random variable will take, rather than just the distribution. The concept is important in probability theory, and its applications to statistics and stochastic processes. The same concepts are known in more general mathematics as stochastic convergence and they formalize the idea that certain properties of a sequence of essentially random or unpredictable events can sometimes be expected to settle down into a behavior that is essentially unchanging when items far enough into the sequence are studied. The different possible notions of convergence relate to how such a behavior can be characterized: two readily understood behaviors are that the sequence eventually takes a constant value, and that values in the sequence continue to change but can be described by an unchanging probability distribution.
Таратудағы конвергенция
Бұл конвергенция тәсілімен біз кездейсоқ эксперименттер тізбегіндегі келесі нәтиже белгілі бір ықтималдық үлестірімімен үнемі жақсырақ модельдендіріледі деп күтеміз. Нақтырақ айтқанда, тізбектегі кездейсоқ айнымалының үлестірілуі белгіленген, өзгермейтін үлестірілімге кез келген дәлдікпен жақындасады. Үлестірілімдегі конвергенция – әдетте талқыланатын конвергенцияның ең әлсіз түрі, себебі ол осы мақаладағы басқа конвергенция түрлерінің бәрінен де туындайды. Алайда, үлестірілімдегі конвергенция практикада жиі қолданылады; көбінесе ол орталық шек теоремасының қолданылуынан пайда болады.
Ықтималдықтың конвергенциясы
Бұл конвергенцияның негізгі идеясы – тізбек дамыған сайын, "көзге түспейтін" нәтижелердің ықтималдығы азая береді. Ықтималдық бойынша конвергенция ұғымы статистикада кеңінен қолданылады. Мысалы, егер бағалаушы бағаланатын шамаға ықтималдық бойынша конвергенцияланса, онда ол дұрыс бағалаушы деп аталады. Ықтималдық бойынша конвергенция – үлкен сандардың әлсіз заңымен белгіленетін конвергенция түрі болып табылады.
Қасиеттері
Ықтималдық бойынша жинақталу, таралу бойынша жинақталуды білдіреді. [дәлел]
Керісінше, таралу бойынша жинақталу, шектес кездейсоқ айнымалы X тұрақты болған жағдайда ғана, ықтималдық бойынша жинақталуды білдіреді. [дәлел]
Ықтималдық бойынша жинақталу, дерлік нақты жинақталуды білдірмейді. [дәлел]
Үздіксіз бейнелеу теоремасы бойынша, кез келген үздіксіз функция үшін , егер , онда да . Ықтималдық бойынша жинақталу, белгілі бір ықтималдық кеңістігіндегі кездейсоқ айнымалылар кеңістігінде топологияны анықтайды. Бұл топология Ky Fan метрикасымен немесе балама ретінде осы метрикамен өлшендіріледі.
In the opposite direction, convergence in distribution implies convergence in probability when the limiting random variable X is a constant. [proof]
Convergence in probability does not imply almost sure convergence. [proof]
The continuous mapping theorem states that for every continuous function , if , then also Convergence in probability defines a topology on the space of random variables over a fixed probability space. This topology is metrizable by the Ky Fan metric: or alternately by this metric
Қарсы үлгілер
Кездейсоқ шамалардың кез келген тізбегі таралу бойынша басқа кездейсоқ шамаға жуытса, одан әрі ықтималдық бойынша сол кездейсоқ шамаға да жуысады деп айтуға болмайды. Мысал ретінде, стандартты қалыпты кездейсоқ шамалар тізбегін және екінші тізбекті қарастырайық. Аталған тізбектің таралуы барлық үшін тізбегінің таралуымен тең екенін байқаңыз, бірақ:
ол жуытпайды. Сондықтан ықтималдық бойынша жуыту жоқ.
Бiрiншi деңгейi
Бұл элементарлық нақты талдаудан таныс нүктелік жинақталуға ең жақын стохастикалық жинақталу түрі.
Қасиеттері
Дерлік нақты жинақталу ықтималдық бойынша жинақталуды білдіреді (Фату леммасы бойынша), демек, үлестірім бойынша жинақталуды да білдіреді. Бұл үлкен сандардың берік заңында қолданылатын жинақталу түсінігі. Дерлік нақты жинақталу тұжырымы кездейсоқ айнымалылар кеңістігіндегі топологиядан туындамайды. Яғни, кездейсоқ айнымалылар кеңістігінде мұндай топология жоқ, онда дерлік нақты жинақталатын тізбектер дәл сол топология бойынша жинақталатын тізбектерге сәйкес келеді. Атап айтқанда, дерлік нақты жинақталу метрикасы жоқ.
Қауіпсіз конвергенция немесе нүктелік конвергенция
Бірдей ықтималдық кеңістігінде (яғни кездейсоқ процесс) анықталған кездейсоқ айнымалылардың (Xn) тізбегі X-ке міндетті түрде немесе барлық жерде немесе нүктелі түрде жақындайды деп айту,
мұнда Ω – кездейсоқ айнымалылар анықталған негізгі ықтималдық кеңістігінің үлгі кеңістігі. Бұл, кездейсоқ айнымалылар тізбегіне кеңейтілген функциялар тізбегінің нүктелік жақындасуының түсінігі. (Кездейсоқ айнымалылардың өзі функциялар екенін ескеріңіз). Кездейсоқ айнымалының міндетті жақындасуы жоғарыда аталған жақындасудың барлық басқа түрлерін білдіреді, бірақ міндетті жақындасуды пайдалануға қарағанда дерлік міндетті жақындасуды пайдалану ықтималдық теориясында артықша пайда бермейді. Екі жақындасудың арасындағы айырмашылық тек нөлдік ықтималдығы бар жиындарда ғана кездеседі. Сондықтан кездейсоқ айнымалылардың міндетті жақындасуы туралы ұғым өте сирек қолданылады.
Қарсы үлгілер
Тәуелсіз кездейсоқ айнымалылар тізбесін қарастырайық, мұнда және бар. үшін бізде , бұл ықтималдық бойынша -ға жиналады, демек . және оқиғалар тәуелсіз болғандықтан, Борелдің екінші Кантелли леммасы осы тізбек дерлік барлық жерде -ға жиналмайтынын қамтамасыз етеді (іс жүзінде, бұл тізбек жиналмайтын жиынның ықтималдығы бар).