Введение

Функция для интегрального преобразования, подобного преобразованию Фурье.
Концепция в физике.

Вейвлет – это колебание, подобное волне, с амплитудой, которая начинается с нуля, увеличивается или уменьшается, а затем возвращается к нулю один или несколько раз. Вейвлеты называют «кратковременными колебаниями». Установлена таксономия вейвлетов, основанная на количестве и направлении их импульсов. Вейвлеты обладают специфическими свойствами, которые делают их полезными для обработки сигналов. Например, можно создать вейвлет с частотой ноты «до» средней октавы и короткой длительностью примерно в одну десятую секунды. Если этот вейвлет свернуть с сигналом, полученным при записи мелодии, то результирующий сигнал будет полезен для определения момента появления ноты «до» средней октавы в песне. Математически, вейвлет коррелирует с сигналом, если его часть схожа с сигналом. Корреляция лежит в основе многих практических применений вейвлетов. Вейвлеты, как математический инструмент, можно использовать для извлечения информации из различных типов данных, включая аудиосигналы и изображения. Для полного анализа данных необходимы наборы вейвлетов. «Дополнительные» вейвлеты раскладывают сигнал без пробелов или перекрытий, так что процесс разложения математически обратим. Таким образом, наборы дополнительных вейвлетов полезны в алгоритмах сжатия/декомпрессии на основе вейвлетов, где желательно восстановить исходную информацию с минимальными потерями. В формальном выражении это представление является вейвлет-рядом квадратной интегрируемой функции относительно либо полного, ортонормального множества базисных функций, либо сверхполного множества или фрейма векторного пространства для пространства Гильберта квадратных интегрируемых функций. Это достигается посредством когерентных состояний. В классической физике явление дифракции описывается принципом Гюйгенса-Френеля, который рассматривает каждую точку в распространяющемся волновом фронте как совокупность отдельных сферических вейвлетов. Характерная картина дифракции наиболее выражена, когда волна от когерентного источника (например, лазера) встречает щель/апертуру, размер которой сопоставим с длиной волны. Это связано с суммированием, или интерференцией, различных точек на волновом фронте (или, эквивалентно, каждого вейвлета), которые проходят по путям разной длины до регистрирующей поверхности. Множественные, близко расположенные отверстия (например, дифракционная решетка) могут привести к сложной картине с переменной интенсивностью.

Этимология

Слово "вейвлет" используется на протяжении десятилетий в цифровой обработке сигналов и геофизических исследованиях. Французский эквивалент, слово "ondelette", означающее "маленькая волна", было использовано Морле и Гросманном в начале 1980-х годов.

Теория волновых сетей

Теория вейвлетов применима к различным областям. Все вейвлет-преобразования можно рассматривать как формы представления "время-частота" для непрерывных (аналоговых) сигналов и, следовательно, связаны с гармоническим анализом. Дискретное вейвлет-преобразование (непрерывное во времени) дискретного во времени (дискретизированного) сигнала с использованием дискретных фильтробанков диадической (октавной) конфигурации является вейвлет-аппроксимацией этого сигнала. Коэффициенты такого фильтра называются коэффициентами сдвига и масштабирования в терминологии вейвлетов. Эти фильтробанки могут содержать фильтры с конечным импульсным откликом (FIR) или с бесконечным импульсным откликом (IIR). Вейвлеты, формирующие непрерывное вейвлет-преобразование (CWT), подчиняются принципу неопределенности анализа Фурье и соответствующей теории дискретизации: для сигнала, содержащего некоторое событие, невозможно одновременно точно определить время и масштаб частоты этого события. Произведение неопределенностей времени и масштаба частоты имеет нижнюю границу. Таким образом, в скалеграмме непрерывного вейвлет-преобразования этого сигнала такое событие обозначает целую область на плоскости "время-масштаб", а не только одну точку. Кроме того, дискретные вейвлет-базисы могут рассматриваться в контексте других форм принципа неопределенности. Вейвлет-преобразования широко делятся на три класса: непрерывные, дискретные и мультиразрешающие.

Временно-причинные волновые частицы

Для обработки временных сигналов в реальном времени необходимо, чтобы вейвлет-фильтры не использовали значения сигнала из будущего и чтобы можно было добиться минимальных временных задержек. Временные причинные вейвлет-представления были разработаны Сзу и др. и Линдебергом, причем последний метод также предусматривает эффективную рекурсивную реализацию с использованием памяти.

Фильтр масштабирования

Ортогональный вейвлет полностью определяется масштабирующим фильтром – фильтром нижних частот с конечным импульсным откликом (FIR) длиной 2N и суммой 1. В биортогональных вейвлетах определяются отдельные фильтры разложения и восстановления. Для анализа с использованием ортогональных вейвлетов фильтр высоких частот вычисляется как квадратурный зеркальный фильтр фильтра нижних частот, а фильтры восстановления являются обратными по времени фильтрам разложения. Вейвлеты Добеши и Симлет могут быть определены масштабирующим фильтром.

Функция вовлечения

Вейвлет имеет только представление во временной области в виде волновой функции ψ(t). Например, вейвлеты типа "мексиканская шляпа" могут быть определены волновой функцией. См. список нескольких непрерывных вейвлетов.

История

Развитие вейвлетов можно связать с несколькими отдельными направлениями мысли, начиная с работы Хаара в начале 20-го века. Позднее работа Дениса Габора привела к созданию атомов Габора (1946), которые построены аналогично вейвлетам и применяются для аналогичных целей. Заметный вклад в теорию вейвлетов с тех пор можно отнести к открытию Цвайга в 1975 году непрерывного вейвлет-преобразования (CWT) (первоначально называемого кохлеарным преобразованием и обнаруженному при изучении реакции уха на звук), формулировке Пьера Гупийо, Гроссмана и Морле того, что теперь известно как CWT (1982), ранней работе Яна Олова Стромберга по дискретным вейвлетам (1983), фильтру банка Le Gall–Tabatabai (LGT) 5/3 с линейной фазой (1988), ортогональным вейвлетам Ингрид Даубеши с компактным носителем (1988), неортогональному многоразрешенному представлению Маллата (1989), биномиальному QMF Али Акансу (1990), временной частотной интерпретации CWT Натали Дельпра (1991), гармоническому вейвлет-преобразованию Ньюланда (1993) и алгоритму секционирования множеств в иерархических деревьях (SPIHT), разработанному Амиром Саидом и Уильямом А. Перлменом в 1996 году. Стандарт JPEG 2000 был разработан с 1997 по 2000 год комитетом Joint Photographic Experts Group (JPEG) под председательством Тураджа Эбрахими (впоследствии президента JPEG). В отличие от алгоритма DCT, используемого в оригинальном формате JPEG, JPEG 2000 вместо этого использует алгоритмы дискретного вейвлет-преобразования (DWT). Он использует вейвлет-преобразование CDF 9/7 (разработанное Ингрид Даубеши в 1992 году) для своего алгоритма сжатия с потерями и фильтр банк Le Gall–Tabatabai (LGT) 5/3 дискретного времени (разработанный Дидье Ле Галлом и Али Дж. Табатабаи в 1988 году) для своего алгоритма сжатия без потерь. Технология JPEG 2000, включающая расширение Motion JPEG 2000, была выбрана в качестве стандарта кодирования видео для цифрового кино в 2004 году.

Обобщенные преобразования

Существует ряд обобщенных преобразований, волновое преобразование является одним из частных случаев. Например, Йозеф Джозеф ввел понятие масштаба в группу Гейзенберга, что привело к созданию непрерывного пространства преобразований, являющегося функцией времени, масштаба и частоты. Непрерывное вейвлет-преобразование (CWT) представляет собой двумерный срез полученного трехмерного объема "время-масштаб-частота". Другим примером обобщенного преобразования является преобразование чирплетов, в котором CWT также является двумерным срезом преобразования чирплетов. Важной областью применения обобщенных преобразований являются системы, где критически важно высокое частотное разрешение. Например, оптические преобразования электронов в темном поле, занимающие промежуточное положение между прямым и обратным пространством, широко используются в гармоническом анализе атомной кластеризации, то есть в изучении кристаллов и кристаллических дефектов. Теперь, когда просвечивающие электронные микроскопы способны предоставлять цифровые изображения с информацией о пикометровой точности об атомной периодичности в наноструктурах различного типа, область применения распознавания образов и измерений деформаций/метрологии для промежуточных преобразований с высоким частотным разрешением (таких как брашлеты и риджлеты) быстро расширяется. Фракционное волновое преобразование (FRWT) является обобщением классического волнового преобразования в областях дробного преобразования Фурье. Это преобразование способно одновременно предоставлять информацию о времени и дробной области и представлять сигналы в плоскости временной дробной частоты.

Приложения

Как правило, для сжатия данных используется приближение к DWT, если сигнал уже дискретизирован, а CWT – для анализа сигнала. Таким образом, DWT-приближение обычно используется в инженерии и компьютерных науках, а CWT – в научных исследованиях. Как и некоторые другие преобразования, волновые преобразования могут использоваться для преобразования данных, а затем кодирования преобразованных данных, что приводит к эффективному сжатию. Например, JPEG 2000 – это стандарт сжатия изображений, использующий биортогональные вейвлеты. Это означает, что хотя фрейм является избыточным, он является плотным фреймом (см. типы фреймов векторного пространства), и одни и те же фреймовые функции (за исключением комплексно сопряжённых в случае комплексных вейвлетов) используются как для анализа, так и для синтеза, то есть как при прямом, так и при обратном преобразовании. Подробности см. в разделе «Волновое сжатие». Связанное применение – сглаживание/шумоподавление данных на основе пороговой обработки волновых коэффициентов, также называемой вейвлет-сжатием. Адаптивно устанавливая порог для волновых коэффициентов, соответствующих нежелательным частотным компонентам, можно выполнять операции сглаживания и/или шумоподавления. Волновые преобразования также начинают использоваться в коммуникационных приложениях. Wavelet OFDM – это базовая схема модуляции, используемая в HD PLC (технологии связи по линиям электропередач, разработанной Panasonic), и в одном из дополнительных режимов, включенных в стандарт IEEE 1901. Wavelet OFDM может обеспечивать более глубокие вырезы, чем традиционная FFT OFDM, и Wavelet OFDM не требует защитного интервала (который обычно создает значительные накладные расходы в системах FFT OFDM).

Как представление сигнала

Часто сигналы можно хорошо представить в виде суммы синусоид. Однако, рассмотрим не непрерывный сигнал с резким разрывом; этот сигнал все еще можно представить в виде суммы синусоид, но для этого потребуется бесконечное их число, что является наблюдением, известным как феномен Гиббса. Это, в свою очередь, требует бесконечного числа коэффициентов Фурье, что непрактично для многих приложений, таких как сжатие данных. Вейвлеты более полезны для описания таких сигналов с разрывами благодаря их локализации во времени (как преобразования Фурье, так и вейвлет-преобразования локализованы по частоте, но вейвлеты обладают дополнительным свойством локализации во времени). В связи с этим, многие типы сигналов на практике могут быть не разреженными в частотной области, но очень разреженными в вейвлет-области. Это особенно полезно при реконструкции сигналов, особенно в недавно получившей широкое распространение области компрессионного зондирования. (Следует отметить, что кратковременное преобразование Фурье (STFT) также локализовано во времени и частоте, но часто возникают проблемы с компромиссом между разрешением по времени и частоте. Вейвлеты обеспечивают лучшее представление сигналов благодаря многомасштабному анализу.) Это объясняет, почему вейвлет-преобразования все чаще используются в огромном количестве приложений, часто заменяя традиционное преобразование Фурье. Этот сдвиг парадигмы произошел во многих областях физики, включая молекулярную динамику, теорию хаоса, расчеты ab initio, астрофизику, анализ переходных данных гравитационных волн, локализацию матрицы плотности, сейсмологию, оптику, турбулентность и квантовую механику. Это изменение также коснулось обработки изображений, ЭЭГ, ЭМГ, ЭКГ, анализа мозговых ритмов, анализа ДНК, анализа белков, климатологии, анализа сексуальной реакции человека, общей обработки сигналов, распознавания речи, акустики, анализа вибрационных сигналов, компьютерной графики, многофрактального анализа и разреженного кодирования. В компьютерном зрении и обработке изображений понятие представления в пространстве масштабов и операторы гауссовских производных рассматриваются как каноническое многомасштабное представление.

Многомасштабная климатическая сеть

Агарвал и др. предложили усовершенствованные линейные и нелинейные методы, основанные на вейвлетах, для построения и исследования климата как сложных сетей в различных временных масштабах. Климатические сети, построенные на основе данных о температуре поверхности моря (SST) в разных временных масштабах, показали, что многомасштабный волновой анализ климатических процессов позволяет лучше понять динамику системы, которая может быть упущена при анализе процессов только в одном временном масштабе.