Кіріспе
Функционалдық талдауда, математиканың бір саласында, тығыз оператор – нормаланған векторлық кеңістіктер арасындағы сызықтық оператор, онда шектелген жиындарды салыстырмалы түрде тығыз жиындарға (жабық қабаттары тығыз болатын жиындар) бейнелейтін қасиеті бар. Мұндай оператор міндетті түрде шектелген, демек үздіксіз болады. Кейбір авторлар кеңістіктердің Банах кеңістіктері болуын талап етеді, бірақ анықтаманы жалпырақ кеңістіктерге кеңейтуге болады. Кез келген шектелген және ақырлы рангі бар оператор тығыз оператор болып табылады; іс жүзінде, тығыз операторлар класы – шексіз өлшемді жағдайда ақырлы рангі операторлар класының табиғи жалғасы болып табылады. Егер кеңістік Хилберт кеңістігі болса, кез келген тығыз оператор ақырлы рангі операторлардың лимиті екені рас.
In functional analysis, a branch of mathematics, a compact operator is a linear operator , where are normed vector spaces, with the property that maps bounded subsets of to relatively compact subsets of (subsets with compact closure in ). Such an operator is necessarily a bounded operator, and so continuous. Some authors require that are Banach, but the definition can be extended to more general spaces. Any bounded operator that has finite rank is a compact operator; indeed, the class of compact operators is a natural generalization of the class of finite rank operators in an infinite dimensional setting. When is a Hilbert space, it is true that any compact operator is a limit of finite rank operators,
Тығыз операторлар теориясының бастауы интеграл теңдеулер теориясында жатыр, онда интеграл операторлар мұндай операторлардың нақты мысалдарын ұсынады. Типтік Фредгольм интеграл теңдеуі функциялық кеңістіктерде K тығыз операторын тудырады; тығыздық қасиеті эквиконтинуитет арқылы көрсетіледі. Ақырлы рангі операторлар арқылы жуықтау әдісі мұндай теңдеулерді сандық түрде шешуде маңызды рөл атқарады. Фредгольм операторының абстрактілі идеясы осы байланыс арқылы туындайды.
Толық үздіксіз операторлар
X және Y Банах кеңістіктері болсын. Шегілген сызықтық оператор T: X → Y егер X кеңістігінен кез келген әлсіз жуысатын тізбегі үшін, сол тізбек Y кеңістігінде норма бойынша жуысса, толық үздіксіз деп аталады. Банах кеңістігіндегі компакт операторлар әрқашан толық үздіксіз болады. Егер X рефлексивті Банах кеңістігі болса, онда кез келген толық үздіксіз оператор T: X → Y компактты болады. Кейде компакт операторларды ескі әдебиеттерде "толық үздіксіз" деп те атайды, бірақ олар қазіргі терминологияда осы сөз тіркесінің анықтамасымен міндетті түрде толық үздіксіз болмайды.
Мысалдар
Әрбір шекті рангты оператор компактты. 0-ге жақындайтын (tn) тізбегі үшін көбейту операторы (Tx)n = tn xn компактты болады. Кейбір белгілі бір g ∈ C([0, 1]; R) үшін, сызықтық оператор T-ны C([0, 1]; R) -дан C([0, 1]; R) -ға былай анықтаймыз. T операторының шынында компактты екендігі Асколи теоремасынан шығады. Көбірек айтқанда, егер Ω – Rn-дегі кез келген домен болса және интегралдық ядро k: Ω × Ω → R – Гильберт-Шмидт ядросы болса, онда L2(Ω; R) кеңістігіндегі T операторы компактты оператор болады. Риес леммасына сәйкес, толық оператор кеңістік шекті өлшемді болса және тек сонда ғана компактты оператор болады.