Введение
Тип непрерывного линейного оператора
In functional analysis, a branch of mathematics, a compact operator is a linear operator , where are normed vector spaces, with the property that maps bounded subsets of to relatively compact subsets of (subsets with compact closure in ). Such an operator is necessarily a bounded operator, and so continuous. Some authors require that are Banach, but the definition can be extended to more general spaces. Any bounded operator that has finite rank is a compact operator; indeed, the class of compact operators is a natural generalization of the class of finite rank operators in an infinite dimensional setting. When is a Hilbert space, it is true that any compact operator is a limit of finite rank operators,
The origin of the theory of compact operators is in the theory of integral equations, where integral operators supply concrete examples of such operators. A typical Fredholm integral equation gives rise to a compact operator K on function spaces; the compactness property is shown by equicontinuity. The method of approximation by finite rank operators is basic in the numerical solution of such equations. The abstract idea of Fredholm operator is derived from this connection.
В функциональном анализе, ветви математики, компактный оператор — это линейный оператор, где — нормированные векторные пространства, обладающий свойством отображать ограниченные подмножества из в относительно компактные подмножества (подмножества с компактным замыканием в ). Такой оператор обязательно является ограниченным оператором, а следовательно, непрерывным. Некоторые авторы требуют, чтобы были пространствами Банаха, но определение можно расширить на более общие пространства. Любой ограниченный оператор, имеющий конечный ранг, является компактным оператором; фактически, класс компактных операторов является естественным обобщением класса операторов конечного ранга в бесконечномерном случае. Если — пространство Гильберта, то верно, что любой компактный оператор является пределом операторов конечного ранга.
In functional analysis, a branch of mathematics, a compact operator is a linear operator , where are normed vector spaces, with the property that maps bounded subsets of to relatively compact subsets of (subsets with compact closure in ). Such an operator is necessarily a bounded operator, and so continuous. Some authors require that are Banach, but the definition can be extended to more general spaces. Any bounded operator that has finite rank is a compact operator; indeed, the class of compact operators is a natural generalization of the class of finite rank operators in an infinite dimensional setting. When is a Hilbert space, it is true that any compact operator is a limit of finite rank operators,
The origin of the theory of compact operators is in the theory of integral equations, where integral operators supply concrete examples of such operators. A typical Fredholm integral equation gives rise to a compact operator K on function spaces; the compactness property is shown by equicontinuity. The method of approximation by finite rank operators is basic in the numerical solution of such equations. The abstract idea of Fredholm operator is derived from this connection.
Истоки теории компактных операторов лежат в теории интегральных уравнений, где интегральные операторы предоставляют конкретные примеры таких операторов. Типичное интегральное уравнение Фредгольма порождает компактный оператор K на пространствах функций; компактность этого оператора демонстрируется равномерной непрерывностью. Метод приближения операторами конечного ранга является базовым в численном решении таких уравнений. Абстрактная идея оператора Фредгольма вытекает из этой связи.
In functional analysis, a branch of mathematics, a compact operator is a linear operator , where are normed vector spaces, with the property that maps bounded subsets of to relatively compact subsets of (subsets with compact closure in ). Such an operator is necessarily a bounded operator, and so continuous. Some authors require that are Banach, but the definition can be extended to more general spaces. Any bounded operator that has finite rank is a compact operator; indeed, the class of compact operators is a natural generalization of the class of finite rank operators in an infinite dimensional setting. When is a Hilbert space, it is true that any compact operator is a limit of finite rank operators,
The origin of the theory of compact operators is in the theory of integral equations, where integral operators supply concrete examples of such operators. A typical Fredholm integral equation gives rise to a compact operator K on function spaces; the compactness property is shown by equicontinuity. The method of approximation by finite rank operators is basic in the numerical solution of such equations. The abstract idea of Fredholm operator is derived from this connection.
Операторы с полным непрерывностью
Пусть X и Y – пространства Банаха. Ограниченный линейный оператор T : X → Y называется полностью непрерывным, если для любой слабо сходящейся последовательности в X, последовательность {T(x_n)} сходится по норме в Y. Компактные операторы на пространстве Банаха всегда полностью непрерывны. Если X – рефлексивное пространство Банаха, то любой полностью непрерывный оператор T : X → Y является компактным. Стоит отметить, что в более старой литературе компактные операторы иногда называют "полностью непрерывными", хотя они не обязательно удовлетворяют определению полностью непрерывного оператора в современной терминологии.
Примеры
Каждый оператор конечного ранга компактен. Для последовательности (tn), сходящейся к нулю, оператор умножения (Tx)n = tn xn является компактным. Для некоторой фиксированной функции g ∈ C([0, 1]; R) определим линейный оператор T из C([0, 1]; R) в C([0, 1]; R) следующим образом: Тот факт, что оператор T действительно компактен, следует из теоремы Асколи. В более общем случае, если Ω – любая область в Rn и интегральное ядро k: Ω × Ω → R является ядром Гильберта — Шмидта, то оператор T на L2(Ω; R), заданный формулой , является компактным оператором. По лемме Рисса, оператор тождества является компактным оператором тогда и только тогда, когда пространство конечномерно.