Тұрақты ені бар геометриялық пішіндер

Кіріспе

Геометрияда тұрақты ені бар қисық – жазықтықтағы қарапайым жабық қисық, оның ені (паралель тірек сызықтары арасындағы қашықтық) барлық бағытта бірдей болады. Тұрақты ені бар қисықпен шектелген пішін – тұрақты ені бар дене немесе орбиформ, осы пішіндерге Леонхард Эйлер ат берген. Стандартты мысалдар – шеңбер және Реольон үшбұрышы. Мұндай қисықтарды сызықтардың қиылысында орналасқан шеңбер доғаларын қолдану арқылы, белгілі бір қисықтардың инволюталары ретінде немесе жартылай қисыққа ортасталған шеңберлердің қиылысуы арқылы да құрастыруға болады. Кез келген тұрақты ені бар дене – дөңес жиын, оның шекарасын кез келген түзу ең көп дегенде екі рет кесіп өтеді, ал егер түзу тік бұрышпен кесіп өтсе, ол екі қиылыста да, енімен бөлінеді. Барбиер теоремасы бойынша дененің периметрі оның еніне дәл π (пи) есе артық, бірақ оның ауданы пішініне байланысты, Реольон үшбұрышы ені үшін ең кішкентай мүмкін ауданға, ал шеңбер – ең үлкен ауданға ие. Тұрақты ені бар дененің кез келген үстіңгі жиынында енінен гөрі алыс орналасқан нүктелер жұбы болады, ал тұрақты ені бар әрбір қисықта кем дегенде алты ең қисық нүкте болады. Реольон үшбұрышы тегіс болмаса да, тұрақты ені бар қисықтарды әрқашан бірдей тұрақты ені бар тегіс қисықтармен кез келген дәлдікпен жуықтауға болады. Тұрақты ені бар қимасы бар цилиндрлер тегіс бетті қолдау үшін дөңгелектер ретінде қолданылуы мүмкін. Тұрақты ені бар қисықтардың тағы бір қолданысы – монета пішіндері, онда тұрақты Реольон көпбұрыштары жиі қолданылады. Шеңберден басқа қисықтардың да тұрақты ені болуы мүмкін, бұл объектінің дөңгелектігін тексеруді күрделендіреді. Тұрақты ені бар қисықтар бірнеше жолмен жоғары өлшемдерге және Эвклид емес геометрияға жалпыландырылған.

Анықтамалар

Ені және тұрақты ені қисықтарды қолдайтын түзулер арқылы анықталады; бұл қисыққа кесіп өтпей, жанасатын түзулер. Жазықтықтағы кез келген тығыз қисықтың кез келген бағытта екі қолдайтын түзуі болады, ал қисық олардың арасында орналасады. Бұл екі түзудің арасындағы Евклидтік қашықтық – сол бағыттағы қисықтың ені, ал қисықтың ені тұрақты болса, бұл қашықтық барлық түзу бағыттарында бірдей болады. Шектелген дөңес жиынның ені де қисықтар сияқты, жиынды кесіп өтпей, оған жанасатын параллель түзулер жұбы арасындағы қашықтық арқылы анықталады, ал дөңес жиын қашықтық нөлге тең болмаса және түзулердің бағытына тәуелді болмаса, тұрақты ені бар дене болып табылады. Тұрақты ені бар кез келген дененің шекарасы тұрақты ені бар қисық, ал тұрақты ені бар әрбір қисықтың дөңес қабығы тұрақты ені бар дене болып табылады. Ықшам қисық немесе дөңес жиынның енін анықтаудың тағы бір балама жолы – оның түзуге ортогональды проекциясын қарастыру. Екі жағдайда да проекция – түзу сегменті, оның ұзындығы түзуге перпендикуляр қолдайтын түзулер арасындағы қашықтыққа тең. Демек, қисық немесе дөңес жиынның ені тұрақты, егер оның барлық ортогональді проекцияларының ұзындығы бірдей болса.

Құрылыстар

Кез келген тақ саны бөлшектері бар тұрақты көпбұрыш тұрақты ені бар қисыққа басталады, ол Реуло көпбұрышы, оның төбелерінен ең алыс екі төбе арқылы өтетін шеңбер доғаларынан құралған. Мысалы, бұл құрылым теңқабырлы үшбұрыштан Реуло үшбұрышын жасайды. Кейбір бұрыштас емес көпбұрыштар да Реуло көпбұрыштарын жасайды. Мартин Гарднер «қиылысқан түзулер әдісі» деп атаған ұқсас құрылымда жазықтықтағы түзулердің орналасуы (екі параллель емес, басқаша кездейсоқ) түзулердің бұрыштық коэффициенттері бойынша циклдық ретке келтіріледі. Содан кейін түзулер шеңбер доғаларының тізбегінен құралған қисықпен байланыстырылады; әр доға сұрыпталған тәртіптегі екі түзуді байланыстырады және олардың қиылысуында орталықталады. Бірінші доғаның радиусы келесі қиылысу нүктесінің дұрыс жағында аяқталатын барлық келесі доғалар үшін жеткілікті үлкен болуы керек; алайда, барлық жеткілікті үлкен радиустар жұмыс істейді. Екі түзу үшін бұл шеңбер құрайды; теңқабырлы үшбұрыштың қабырғаларындағы үш түзу үшін, ең аз радиусымен, ол Реуло үшбұрышын құрайды, ал тұрақты жұлдызды көпбұрыштың түзулері үшін ол Реуло көпбұрышын құруы мүмкін. Леонхард Эйлер тақ санымен құйрық ерекшеліктері бар қисықтардың инволюталарынан тұрақты ені бар қисықтарды құрастырды, әр бағытта тек бір жанасу сызығы бар (яғни проекциялық есектер). Инволюта құрылымын сипаттаудың интуитивті жолы - осындай қисық бойымен сызық сегментін домалатып, оны қисыққа жанастырып, оның бойымен сырғанамай, бастапқы жанасу нүктесіне оралғанға дейін ұстап тұру. Сызық сегменті қисықтың құйрық нүктелеріне жете алу үшін жеткілікті ұзын болуы керек, сондықтан ол әр құйрықтың арғы жағына, қисықтың келесі бөлігіне дейін домалай алады, ал оның бастапқы орны мұқият таңдалуы керек, сондықтан домалау процесінің соңында ол бастаған орнында болады. Бұл болған кезде, сызық сегментінің ұштарымен сызылған қисық сызық, берілген қисықты кесіп өтпейтін, сызық сегментінің ұзындығына тең тұрақты ені бар инволюта болып табылады. Егер бастапқы қисық тегіс болса (құйрықтарды қоспағанда), онда тұрақты ені бар қисық та тегіс болады. Бұл құрылым үшін дұрыс қасиеттері бар бастапқы қисықтың мысалы - дельтоидтық қисық, ал оны қоршап тұрған дельтоидтың инволюталары тұрақты ені бар тегіс қисықтарды құрайды, онда шеңбер доғалары жоқ. Басқа құрылым белгілі бір талаптарға сәйкес келетін тұрақты ені бар қисықтың жартысын таңдайды және одан берілген қисықты өзінің шекарасының бөлігі ретінде тұрақты ені бар дене құрайды. Құрылым дөңгелек қисық доғасынан басталады, оның соңғы нүктелері қарастырылған ені бойынша бөлінеді. Екі ұшы бір-бірінен қашықтықтағы параллель тірек сызықтарына тиісуі тиіс. Сонымен қатар, доғаның басқа нүктесіне жанасатын әрбір тірек сызығы сол нүктеде бүкіл доғаны қамтитын радиусы бар шеңберге жанасуы тиіс; бұл талап доғаның қисықтығының шеңберден аз болуына жол бермейді. Тұрақты ені бар толық дене - бұл шеңберлердің шексіз отбасының ішкі бөліктерінің қиылысуы, екі түрі бар: тірек сызықтарына жанасатын және берілген доғаның әр нүктесінде ортақтастырылған бірдей радиустағы шеңберлер. Бұл құрылым әмбебап: тұрақты ені бар барлық қисықтар осылай құрастырылуы мүмкін. XIX ғасырдағы француз математигі Виктор Пузео эллиптикалық доғалар бар тұрақты енді қисықтарды тапты, оларды жартылай эллипстен осылай құрастыруға болады. Бұрылу шартын орындау үшін жартылай эллипс оның жартылай үлкен осімен шектелуі керек, ал эллипстің эксцентриктігі көп дегенде болуы керек. Кез келген екі тұрақты ені бар денені алсақ, олардың Минковский қосындысы тұрақты ені бар басқа дене құрайды. Минковский сомасын тірек функцияларының қосындыларына жалпылау проективті есек пен шеңбердің қосындысынан тұрақты ені бар қисық жасайды, егер нәтиже дөңгелек қисық болса. Тұрақты ені бар барлық қисық сызықтарды осылайша есектер қосындысына бөлуге болады.

Every regular polygon with an odd number of sides gives rise to a curve of constant width, a Reuleaux polygon, formed from circular arcs centered at its vertices that pass through the two vertices farthest from the center. For instance, this construction generates a Reuleaux triangle from an equilateral triangle. Some irregular polygons also generate Reuleaux polygons. In a closely related construction, called by Martin Gardner the "crossed lines method", an arrangement of lines in the plane (no two parallel but otherwise arbitrary) is sorted into cyclic order by the slopes of the lines. The lines are then connected by a curve formed from a sequence of circular arcs; each arc connects two consecutive lines in the sorted order, and is centered at their crossing. The radius of the first arc must be chosen large enough to cause all successive arcs to end on the correct side of the next crossing point; however, all sufficiently large radii work. For two lines, this forms a circle; for three lines on the sides of an equilateral triangle, with the minimum possible radius, it forms a Reuleaux triangle, and for the lines of a regular star polygon it can form a Reuleaux polygon. Leonhard Euler constructed curves of constant width from involutes of curves with an odd number of cusp singularities, having only one tangent line in each direction (that is, projective hedgehogs). An intuitive way to describe the involute construction is to roll a line segment around such a curve, keeping it tangent to the curve without sliding along it, until it returns to its starting point of tangency. The line segment must be long enough to reach the cusp points of the curve, so that it can roll past each cusp to the next part of the curve, and its starting position should be carefully chosen so that at the end of the rolling process it is in the same position it started from. When that happens, the curve traced out by the endpoints of the line segment is an involute that encloses the given curve without crossing it, with constant width equal to the length of the line segment. If the starting curve is smooth (except at the cusps), the resulting curve of constant width will also be smooth. An example of a starting curve with the correct properties for this construction is the deltoid curve, and the involutes of the deltoid that enclose it form smooth curves of constant width, not containing any circular arcs. Another construction chooses half of the curve of constant width, meeting certain requirements, and forms from it a body of constant width having the given curve as part of its boundary. The construction begins with a convex curved arc, whose endpoints are the intended width apart. The two endpoints must touch parallel supporting lines at distance from each other. Additionally, each supporting line that touches another point of the arc must be tangent at that point to a circle of radius containing the entire arc; this requirement prevents the curvature of the arc from being less than that of the circle. The completed body of constant width is then the intersection of the interiors of an infinite family of circles, of two types: the ones tangent to the supporting lines, and more circles of the same radius centered at each point of the given arc. This construction is universal: all curves of constant width may be constructed in this way. Victor Puiseux, a 19th century French mathematician, found curves of constant width containing elliptical arcs that can be constructed in this way from a semi ellipse. To meet the curvature condition, the semi ellipse should be bounded by the semi major axis of its ellipse, and the ellipse should have eccentricity at most Equivalently, the semi major axis should be at most twice the semi minor axis. Given any two bodies of constant width, their Minkowski sum forms another body of constant width. A generalization of Minkowski sums to the sums of support functions of hedgehogs produces a curve of constant width from the sum of a projective hedgehog and a circle, whenever the result is a convex curve. All curves of constant width can be decomposed into a sum of hedgehogs in this way.

Қасиеттері

Тұрақты ені бар қисық екі параллель түзу арасында айналып, әрқашан сол түзулерге жанаса алады, олар айналған қисық үшін тіреу түзулер ретінде әрекет етеді. Сол сияқты, тұрақты ені бар қисық ромб немесе шаршы ішінде айналуы мүмкін, оның қарама-қарсы қабырғалары енімен бөлінеді және параллель тіреу түзулерінде жатыр. Тұрақты ені бар барлық қисық сызықтар тұрақты алтыбұрыштың ішінде бірдей айналуы мүмкін емес, өйткені оның тіреу түзулері әр түрлі айналу үшін әр түрлі алтыбұрыштарды қалыптастыра алады, әрқашан тұрақты емес. Алайда, әрбір тұрақты ені бар қисық кем дегенде бір тұрақты алтыбұрышпен, қарама-қарсы қабырғалары параллель тіреу түзулерінде болуы мүмкін. Ені тұрақты, егер және тек қана егер, әрбір қатарлы тіреу түзулерінің жұбы үшін, ол сол екі түзуді түзулер арасындағы арақашықтыққа тең нүктелерде жанасатын болса. Бұл, атап айтқанда, оның әрбір тіреу түзуін тек бір нүктеде ғана ұстай алатынын білдіреді. Сонымен қатар, қисықты перпендикуляр өтетін әрбір түзу еніне тең қашықтықтағы екі нүктеде қияды. Сондықтан, тұрақты ені бар қисық дөңгелек болуы керек, өйткені әрбір дөңгелек емес жабық қисық екі немесе одан да көп нүктеде оған тиетін тіреу түзуі бар. Тұрақты ені бар қисықтар - өз-өзіне параллель немесе автопараллель қисықтардың мысалы, қисықтар екі ұшы да сызық сегментінің перпендикуляр қозғалуымен қозғалады. Алайда, басқа да өз-өзіне параллель қисықтар бар, мысалы, шеңбердің инволютасымен қалыптасқан шексіз спираль, оның ені тұрақты емес. Барбиер теоремасы бойынша, тұрақты ені бар кез келген қисықтың периметрі енімен көбейтілгенге тең. Арнайы жағдайда бұл формула диаметрі берілген шеңбердің периметріне арналған стандартты формуламен келіседі. Изопериметриялық теңсіздік пен Барбиер теоремасы бойынша шеңбердің берілген тұрақты ені бар кез келген қисықтың ең үлкен ауданы бар. Блашке-Лебесг теоремасы Реоль үшбұрышының берілген тұрақты ені бар кез келген дөңгелек қисықтың ең аз ауданы бар екенін айтады. Тұрақты ені бар дененің әрбір дұрыс үлкен жиынтығы қатаң түрде үлкен диаметрі бар, ал осы қасиетке ие әрбір Евклидтік жиын тұрақты ені бар дене болып табылады. Әсіресе, бір тұрақты ені бар дененің бірдей тұрақты ені бар басқа дененің кіші жиынтығы болуы мүмкін емес. Қисықтың түбегі - оның қисықтығы жергілікті максимум немесе минимум болатын нүкте; дөңгелек доға үшін барлық нүктелер - түбектер, бірақ дөңгелек емес қисықтарда түбектердің шекті дискретті жиынтығы болуы мүмкін. Тегіс емес қисық үшін оның тегіс емес нүктелерін шексіз қисықтықты ұшы ретінде де қарастыруға болады. Тұрақты ені бар қисық үшін жергілікті ең төменгі қисықтықтың әрбір нүктесі қисықтың диаметріне қарама-қарсы орналасқан жергілікті ең жоғары қисықтықтың нүктесімен жұпталады және кем дегенде алты нүкте болуы керек. Бұл төрт түбір теоремасымен қарама-қарсы келеді, оған сәйкес жазықтықтағы әрбір жабық тегіс қисық кем дегенде төрт түбірге ие. Эллипс сияқты кейбір қисықтардың дәл төрт түбегі бар, бірақ бұл тұрақты ені бар қисық үшін мүмкін емес. Жергілікті ең төменгі қисықтық ең жоғары қисықтыққа қарама-қарсы болғандықтан, орталық симметриясы бар тұрақты ені бар жалғыз қисықтар шеңберлер болып табылады, олар үшін қисықтық барлық нүктелерде бірдей. Әр тұрақты ені бар қисық үшін қисықтың ең кіші қоршау шеңбері мен оның ішіндегі ең үлкен шеңбер концентрикалық болып табылады, ал олардың диаметрлерінің орташасы қисықтың ені болып табылады. Бұл екі шеңбер бірге кем дегенде үш жұп қарама-қарсы нүктеде қисық сызыққа тиесілі, бірақ бұл нүктелер міндетті түрде түбектер емес. Дене Минковски қосындысы мен оның 180° айналуы шеңберлік диск болса, ғана дененің ені тұрақты болады; егер солай болса, дененің ені диск радиусы болып табылады.

A curve of constant width can rotate between two parallel lines separated by its width, while at all times touching those lines, which act as supporting lines for the rotated curve. In the same way, a curve of constant width can rotate within a rhombus or square, whose pairs of opposite sides are separated by the width and lie on parallel support lines. Not every curve of constant width can rotate within a regular hexagon in the same way, because its supporting lines may form different irregular hexagons for different rotations rather than always forming a regular one. However, every curve of constant width can be enclosed by at least one regular hexagon with opposite sides on parallel supporting lines. A curve has constant width if and only if, for every pair of parallel supporting lines, it touches those two lines at points whose distance equals the separation between the lines. In particular, this implies that it can only touch each supporting line at a single point. Equivalently, every line that crosses the curve perpendicularly crosses it at exactly two points of distance equal to the width. Therefore, a curve of constant width must be convex, since every non convex simple closed curve has a supporting line that touches it at two or more points. Curves of constant width are examples of self parallel or auto parallel curves, curves traced by both endpoints of a line segment that moves in such a way that both endpoints move perpendicularly to the line segment. However, there exist other self parallel curves, such as the infinite spiral formed by the involute of a circle, that do not have constant width. Barbier's theorem asserts that the perimeter of any curve of constant width is equal to the width multiplied by As a special case, this formula agrees with the standard formula for the perimeter of a circle given its diameter. By the isoperimetric inequality and Barbier's theorem, the circle has the maximum area of any curve of given constant width. The Blaschke–Lebesgue theorem says that the Reuleaux triangle has the least area of any convex curve of given constant width. Every proper superset of a body of constant width has strictly greater diameter, and every Euclidean set with this property is a body of constant width. In particular, it is not possible for one body of constant width to be a subset of a different body with the same constant width. Every curve of constant width can be approximated arbitrarily closely by a piecewise circular curve or by an analytic curve of the same constant width. A vertex of a smooth curve is a point where its curvature is a local maximum or minimum; for a circular arc, all points are vertices, but non circular curves may have a finite discrete set of vertices. For a curve that is not smooth, the points where it is not smooth can also be considered as vertices, of infinite curvature. For a curve of constant width, each vertex of locally minimum curvature is paired with a vertex of locally maximum curvature, opposite it on a diameter of the curve, and there must be at least six vertices. This stands in contrast to the four vertex theorem, according to which every simple closed smooth curve in the plane has at least four vertices. Some curves, such as ellipses, have exactly four vertices, but this is not possible for a curve of constant width. Because local minima of curvature are opposite local maxima of curvature, the only curves of constant width with central symmetry are the circles, for which the curvature is the same at all points. For every curve of constant width, the minimum enclosing circle of the curve and the largest circle that it contains are concentric, and the average of their diameters is the width of the curve. These two circles together touch the curve in at least three pairs of opposite points, but these points are not necessarily vertices. A convex body has constant width if and only if the Minkowski sum of the body and its 180° rotation is a circular disk; if so, the width of the body is the radius of the disk.

Қолданбалар

Тұрақты ені бар қисықтардың параллель сызықтар арасында домалап өту қабілеті болғандықтан, қимасы тұрақты ені бар қисықтан тұратын кез келген цилиндр "доңғалақ" рөлінде әрекет ете алады, тегіс жазықтықты қолдап, ол домалағанда кез келген тегіс бетте тегіс ұстайды. Дегенмен, доңғалақтың центрі домалағанда жоғары да, төмен де қозғалады, сондықтан бұл конструкция осы пішіндегі доңғалақтарды бекітілген осьтерге орнату үшін жарамсыз. Кейбір монеталардың пішіні шеңбер емес, тұрақты ені бар денелер болып табылады. Мысалы, британдық 20 пен 50 пенс монеталары – Реуло гептагон, ал канадалық лони – Реуло 11-гон. Бұл пішіндер автоматтандырылған монета қабылдағыштарына монетаның бағытына қарамастан, оның ені арқылы монетаны тануға мүмкіндік береді. Алайда, енді сынау нысанның дөңгелектігін анықтау үшін жеткіліксіз, себебі мұндай сынақтар шеңберді тұрақты ені бар басқа қисықтардан ажырата алмайды. Осы фактіні ескермеу "Челленджер" ғарыш кемесінің апатына себеп болуы мүмкін, өйткені сол ұшырылымдағы ракета бөліктерінің дөңгелектігі тек енін өлшеу арқылы тексерілді, ал дөңгелек емес пішіндер тым жоғары кернеуге алып келуі мүмкін, бұл апаттың себептерінің бірі болуы мүмкін.

Жалпылау

Тұрақты ені бар қисықтарды белгілі бір дөңес емес қисықтарға, әр бағытта екі жанама сызықты, олардың бағытына қарамастан, осы екі сызық арасындағы бірдей арақашықтықпен жалпылауға болады. Шектеулі жағдай ретінде проекциялық кірпілер (әр бағытта бір жанама сызықты қисықтар) "нөлдік ені бар қисықтар" деп те аталады. Бұл ұғымдарды үш өлшемге жалпылаудың бір жолы – тұрақты ені бар беттер арқылы. Реоль үшбұрышының үш өлшемді аналогы – Реоль тетраэдрі тұрақты енге ие емес, бірақ оған шағын өзгерістер енгізу Мейснер денелерін тудырады, оларға ие. Тұрақты ені бар қисықтар тұрақты жарқылыққа ие денелерге, екі өлшемді проекцияларының барлығы бірдей ауданына ие үш өлшемді пішіндерге де жалпылануы мүмкін; бұл пішіндер Барбиер теоремасының жалпылануына бағынады. Үш өлшемді жалпылаудың тағы бір класы – тұрақты ені бар кеңістіктік қисықтар, олар қисықты перпендикуляр түрде кесіп өтетін әрбір жазықтық оны дәл бір нүктеде қиып өтеді, онда да перпендикуляр болады, және перпендикуляр жазықтықтармен қиылысатын барлық нүктелер жұптары бір-бірінен бірдей қашықтықта орналасқан. Тұрақты ені бар қисықтар мен денелер Евклид емес геометрияда және Евклид емес нормаланған векторлық кеңістіктерде де зерттелді.