Тұрақты ені бар қисық үшбұрыш (Reuleaux үшбұрышы)

Кіріспе

Тұрақты ені бар қисық үшбұрыш Реоль үшбұрышы — тұрақты ені бар қисық үшбұрыш, шеңберден басқа тұрақты ені бар ең қарапайым және ең танымал қисық. Ол үш шеңбердің қиылысынан пайда болады, олардың әрқайсысының центрі екінші екеуінің шекарасында орналасқан. Тұрақты ен дегеніміз — әр екі параллель тірек сызығының арақашықтығы олардың бағытына қарамастан бірдей. Ені тұрақты болғандықтан, Реоль үшбұрышы "Шеңбердің тесігінен түсіп кетпеу үшін, люк қақпағын қандай пішінде жасауға болады?" деген сұраққа жауап береді. Олар 19 ғасырдағы неміс инженері Франц Реулоның есімімен аталады, ол бір типті қозғалысты екіншісіне айналдыратын машиналарды зерттеудің негізін қалады және өзінің жобаларында Реоль үшбұрыштарын қолданды. Дегенмен, бұл пішіндер оның заманынан бұрын белгілі болған, мысалы, готикалық шіркеулердің терезелерін жобалаушылар, Леонардо да Винчи, ол оны карта проекциясында қолданды, және Леонард Эйлер тұрақты ендік пішіндерді зерттеуде қолданды. Реоль үшбұрышының басқа да қолданылуларына гитара тілшелерінің, өрт сөндіру гидрантының гайкаларының, қарындаштардың және дөңгелек ойықтары бар квадрат ойықтарды бұрғылауға арналған бұрғылау биттерінің пішінін беру кіреді, сондай-ақ кейбір таңбалар мен корпоративтік логотиптердің графикалық дизайнында қолданылады. Белгілі бір ені бар тұрақты ендік пішіндердің ішінде Реоль үшбұрышы ең аз ауданына және бұрыштарында ең өткір (ең кіші) бұрышына (120°) ие. Бірнеше сандық өлшемдер бойынша ол орталық симметриядан ең алыс. Ол бүтін сан тор нүктелерін болдырмайтын ең үлкен тұрақты ендік пішінді қамтамасыз етеді және периметрі мен диаметрінің арақатынасын барынша арттыратын төртбұрыштың пішінімен тығыз байланысты. Ол төртбұрыштың барлық төрт жағына үнемі жанасып, төртбұрыштың ішінде толық айналуды орындай алады және осы қасиетке ие пішіндердің ең кіші ауданына ие. Алайда, бұл айналу процесінде квадраттың көп бөлігін жабатын болса да, ол квадраттың бұрыштарына жақын кішкентай бөлігін жаба алмайды. Квадрат ішінде айналу қасиетіне байланысты Реоль үшбұрышы кейде Реоль роторы деп те аталады. Үш шеңберлі құрылымды тік сызықтарды қажет етпей, тек компаспен орындауға болады. Мохр-Машерони теоремасы бойынша, бұл кез келген компас пен тік сызық құрылысына қатысты, бірақ Реоль үшбұрышының құрылымы ерекше қарапайым. Бірінші қадам — жазықтықтағы екі кездейсоқ нүктені белгілеу (олар үшбұрыштың төбелері болады) және компасты белгіленген нүктенің бірінде орталап, екінші белгіленген нүкте арқылы шеңбер салу үшін пайдалану. Содан кейін дәл осындай радиуста екінші шеңберді салу керек. Соңында, екінші шеңбердің центрі алдыңғы екі шеңбердің қиылысқан нүктесінің біріне орналасқан, екі белгіленген нүктеден өтетін, дәл осындай радиуспен үшінші шеңберді салады. Нәтижесінде пайда болған үш шеңбердің орталық аймағы Реоль үшбұрышы болады. Тұрақты ені бар қисықтардың бар екенін және Реоль үшбұрышының тұрақты ені бар екенін бірінші болып тапқан математик Леонхард Эйлер болуы мүмкін. Ол 1771 жылы ұсынған және 1781 жылы жарық көрген «De curvis triangularibus» атты еңбегінде Эйлер қисық үшбұрыштарды және орбиформалар деп аталатын тұрақты ені бар қисықтарды зерттеді.

Curved triangle with constant width

A Reuleaux triangle ʁœlo is a curved triangle with constant width, the simplest and best known curve of constant width other than the circle. It is formed from the intersection of three circular disks, each having its center on the boundary of the other two. Constant width means that the separation of every two parallel supporting lines is the same, independent of their orientation. Because its width is constant, the Reuleaux triangle is one answer to the question "Other than a circle, what shape can a manhole cover be made so that it cannot fall down through the hole?" They are named after Franz Reuleaux, a 19th century German engineer who pioneered the study of machines for translating one type of motion into another, and who used Reuleaux triangles in his designs. However, these shapes were known before his time, for instance by the designers of Gothic church windows, by Leonardo da Vinci, who used it for a map projection, and by Leonhard Euler in his study of constant width shapes. Other applications of the Reuleaux triangle include giving the shape to guitar picks, fire hydrant nuts, pencils, and drill bits for drilling filleted square holes, as well as in graphic design in the shapes of some signs and corporate logos. Among constant width shapes with a given width, the Reuleaux triangle has the minimum area and the sharpest (smallest) possible angle (120°) at its corners. By several numerical measures it is the farthest from being centrally symmetric. It provides the largest constant width shape avoiding the points of an integer lattice, and is closely related to the shape of the quadrilateral maximizing the ratio of perimeter to diameter. It can perform a complete rotation within a square while at all times touching all four sides of the square, and has the smallest possible area of shapes with this property. However, although it covers most of the square in this rotation process, it fails to cover a small fraction of the square's area, near its corners. Because of this property of rotating within a square, the Reuleaux triangle is also sometimes known as the Reuleaux rotor. The three circle construction may be performed with a compass alone, not even needing a straightedge. By the Mohr–Mascheroni theorem
the same is true more generally of any compass and straightedge construction, but the construction for the Reuleaux triangle is particularly simple. The first step is to mark two arbitrary points of the plane (which will eventually become vertices of the triangle), and use the compass to draw a circle centered at one of the marked points, through the other marked point. Next, one draws a second circle, of the same radius, centered at the other marked point and passing through the first marked point. Finally, one draws a third circle, again of the same radius, with its center at one of the two crossing points of the two previous circles, passing through both marked points. The central region in the resulting arrangement of three circles will be a Reuleaux triangle. The first mathematician to discover the existence of curves of constant width, and to observe that the Reuleaux triangle has constant width, may have been Leonhard Euler. In a paper that he presented in 1771 and published in 1781 entitled De curvis triangularibus, Euler studied curvilinear triangles as well as the curves of constant width, which he called orbiforms.

Төтенше шаралар

Көптеген түрлі өлшемдер бойынша Реоль үшбұрышы тұрақты ені бар ең экстремалды қисықтардың бірі болып табылады. Бласке-Лебеск теоремасы бойынша Реоль үшбұрышының берілген тұрақты ені бар кез келген қисықтың мүмкін болатын ең кіші ауданы бар. Бұл аумақ:

мұнда s – тұрақты ені. Ең үлкен мүмкін ауданы бар тұрақты ені бар қисық – шеңберлі диск, оның ауданы . Реоль үшбұрышының бұрыштарындағы әр жұп доғалар жасаған бұрыштардың барлығы 120° тең. Бұл – тұрақты ені бар кез келген қисықтың кез келген нүктесіндегі ең өткір бұрыш. Реоль үшбұрышына сызылған ең үлкен теңқабырлы үшбұрыш – оның үш төбесін жалғастыратын үшбұрыш, ал ең кішісі – оның үш қабырғасының орта нүктелерін жалғастыратын үшбұрыш. Реоль үшбұрышының үш немесе одан да көп диаметрге жататын нүктелерден тұратын қосалқы жиынтығы – осы екі үшбұрыштың ішіндегі үлкені, ол тұрақты ені бар кез келген басқа қисықтың үш диаметрлік нүктелер жиынтығынан үлкен аумаққа ие. Реоль үшбұрышының алты еселенген диэдрлік симметриясы бар, ол теңқабырлы үшбұрыш сияқты, бірақ орталық симметриясы жоқ. Реоль үшбұрышы – орталық асимметрияның екі түрлі өлшемдері бойынша тұрақты ені бар ең аз симметриялық қисық: Ковнер-Бесикович өлшемі (қисықтың ең үлкен орталық симметриялық пішініне ауданының қатынасы) және Эстерманн өлшемі (қисықты қоршап тұрған ең кішкентай орталық симметриялық пішініне ауданының қатынасы). Реоль үшбұрышы үшін асимметрияның өлшемдерін анықтайтын екі орталық симметриялық пішін де алтыбұрышты, бірақ ішкі пішінінің қисық жақтары бар. Реоль үшбұрышының диаметрлері оның аумағын тұрақты ені бар кез келген басқа қисықтан гөрі біркелкі емес бөледі. Яғни, диаметрдің екі жағындағы аудандардың ең үлкен қатынасы, асимметрияның тағы бір өлшемі, Реоль үшбұрышы үшін тұрақты ені бар басқа қисықтардан үлкен. Тұрақты ені бар барлық пішіндердің ішінде бүтін сан тордың барлық нүктелерін болдырмайтын ең үлкен ені бар – Реоль үшбұрышы. Оның симметрия осьтерінің бірі жарты бүтін сызықтағы координаттар осьтеріне параллель. Оның ені шамамен 1,54, бұл бүтін сан коэффициенттері бар 6-даражалы полиномның түбірі. Бір шеңберді онымен жанасатын алты конгруэнтті шеңбермен қоршау мүмкін болғандай, жеті конгруэнтті Реоль үшбұрышты олардың барлығы бірдей өлшемді орталық Реоль үшбұрышымен жанасатын етіп орналастыруға болады. Бұл тұрақты ені бар кез келген қисық үшін мүмкін болатын ең үлкен сан. Барлық төртбұрыштардың ішінде периметрінің диаметріне ең үлкен арақатынасы бар пішін – Реоль үшбұрышына сыйып кіретін теңқималы желкен.

where s is the constant width. One method for deriving this area formula is to partition the Reuleaux triangle into an inner equilateral triangle and three curvilinear regions between this inner triangle and the arcs forming the Reuleaux triangle, and then add the areas of these four sets. At the other extreme, the curve of constant width that has the maximum possible area is a circular disk, which has area
The angles made by each pair of arcs at the corners of a Reuleaux triangle are all equal to 120°. This is the sharpest possible angle at any vertex of any curve of constant width. The largest equilateral triangle inscribed in a Reuleaux triangle is the one connecting its three corners, and the smallest one is the one connecting the three midpoints of its sides. The subset of the Reuleaux triangle consisting of points belonging to three or more diameters is the interior of the larger of these two triangles; it has a larger area than the set of three diameter points of any other curve of constant width. Although the Reuleaux triangle has sixfold dihedral symmetry, the same as an equilateral triangle, it does not have central symmetry. The Reuleaux triangle is the least symmetric curve of constant width according to two different measures of central asymmetry, the Kovner–Besicovitch measure (ratio of area to the largest centrally symmetric shape enclosed by the curve) and the Estermann measure (ratio of area to the smallest centrally symmetric shape enclosing the curve). For the Reuleaux triangle, the two centrally symmetric shapes that determine the measures of asymmetry are both hexagonal, although the inner one has curved sides. The Reuleaux triangle has diameters that split its area more unevenly than any other curve of constant width. That is, the maximum ratio of areas on either side of a diameter, another measure of asymmetry, is bigger for the Reuleaux triangle than for other curves of constant width. Among all shapes of constant width that avoid all points of an integer lattice, the one with the largest width is a Reuleaux triangle. It has one of its axes of symmetry parallel to the coordinate axes on a half integer line. Its width, approximately 1.54, is the root of a degree 6 polynomial with integer coefficients. Just as it is possible for a circle to be surrounded by six congruent circles that touch it, it is also possible to arrange seven congruent Reuleaux triangles so that they all make contact with a central Reuleaux triangle of the same size. This is the maximum number possible for any curve of constant width. Among all quadrilaterals, the shape that has the greatest ratio of its perimeter to its diameter is an equidiagonal kite that can be inscribed into a Reuleaux triangle.

Квадрат ішінде айналу

Тұрақты ені бар кез келген қисық, шаршының ішінде ротор болып қалуға және шаршының барлық төрт жағына үнемі тиіп отырып, толық айналуды орындай алатын пішін құра алады. Дегенмен, Реоль үшбұрышы – мүмкін болатын ең кішкентай ауданға ие ротор. 120° бұрыштарының салдарынан, айналатын Реоль үшбұрышы шаршының бұрыштарындағы тік бұрыштарға жақын кейбір нүктелерге жете алмайды, оның орнына эллипстік доғалармен жасалған сәл дөңгелектелген бұрыштары бар пішінмен жабады.

Қарсы мысал ретінде

Реольонның үшбұрышты зерттеуге деген бастапқы себебі, үш нүктелік тірек жазық нысанды бір жағдайда бекіту үшін жеткіліксіз болуы мүмкін екенін көрсету үшін қарсы мысал болды. Реоль үшбұрыштарының және тұрақты ені бар өзге де қисықтардың болуы, диаметр өлшеулер ғана заттың дөңгелек көлденең қимасы бар екенін растай алмайтынын көрсетеді. Ішкі квадрат мәселесіне қатысты, Реоль үшбұрышы төрт жағынан артық қабырғасы жоқ ешқандай дұрыс көпбұрыштың (дұрыс алтыбұрыштан басқа) ішінде сыйып қоймайтын тұрақты ені бар пішіннің мысалы екенін атап өтті, сондай-ақ ол осы пішінге оның тұрақты енін сақтайтын, бірақ сонымен қатар дұрыс алтыбұрыштардың ішінде сыйып қоймауын қамтамасыз ететін шағын өзгерісті сипаттады. Ол осы нәтижені үш өлшемге, оның қимасымен бірдей пішіндегі цилиндрді қолдана отырып, кеңейтті.

Бұрыштарға қол жеткізу

Машиналардың бірнеше түрі Реоль үшбұрышының пішінін алады, оның квадраттың ішінде айналу қасиетіне негізделген. Уоттс Браузерс Құралдар зауытының төртбұрышты бұрғысы Реоль үшбұрышының пішінінде жасалған, кесу беттерін құру үшін ойыстармен өңделген. Бұл бұрғыны, айналу центрі бекітілмеген арнайы патронға орнатқанда, төртбұрыштың жуық пішіндес тесік бұрғылауға болады. Генри Уоттс 1914 жылы патент алғанмен, одан бұрын басқалар да ұқсас бұрғыларды ойлап тапқан және қолданған.

Дөңгелек цилиндрлер

Реоль үшбұрышының қолданылуының тағы бір класы – Реоль үшбұрышы қимасы бар цилиндрлікті нысандарды қамтиды. Көптеген қарындаштар дәстүрлі дөңгелек немесе алтыбұрышты корпустардың орнына осы пішінде жасалады. Олар көбінесе ыңғайлырақ немесе дұрыс ұстауға көмектеседі деп жарнамаланады, сондай-ақ үстелден құлау мүмкіндігі де азырақ (өйткені ауырлық центрі дөңгелейтін алтыбұрышқа қарағанда көтеріліп-түседі). Реоль үшбұрышы (басқа тұрақты ені бар қисық сызықтар сияқты) дөңгелей алады, бірақ нашар дөңгелек болады, себебі ол белгілі бір айналу центрінен дөңгелей алмайды. Реоль үшбұрышы қимасы бар дөңгелектердің үстіндегі нысан тегіс және жазық қозғалады, бірақ Реоль үшбұрышы дөңгелектеріне бекітілген ось бір айналымда үш рет секіріп тұрады. Бұл идеяны Пол Андерсонның "Үш бұрышты дөңгелек" атты ғылыми-фантастикалық әңгімесінде қолданған. 2009 жылы қытайлық өнертапқыш Гуан Байхуа осы пішіндегі қарындаштардан шабыт алып, жүзбелі осьтері және Реоль үшбұрышы пішіндес дөңгелегінің шетімен тіреліп тұратын қаңқасы бар велосипед жасап көрсетті.

Сәулет

Готикалық сәулетте, 13 ғасырдың соңында немесе 14 ғасырдың басында Реоль үшбұрышы терезелер, терезелердің ою-өрнектері және басқа да сәулеттік безендірулер үшін жиі қолданылатын бірнеше қисық сызықты пішіндердің бірі болды. Осы контексте бұл пішін кейде шар тәрізді үшбұрыш деп аталады, оны шар бетіндегі үшбұрышпен шатастыруға болмайды. Готикалық шіркеулер сәулетінде Реоль үшбұрышының үш бұрышты пішіні Құдайдың үш бірлігінің символы ретінде де, «шеңбер пішініне қарсылықтың белгісі» ретінде де қарастырылуы мүмкін. Реоль үшбұрышы басқа сәулеттік стильдерде де қолданылған. Мысалы, Леонардо да Винчи осы пішінді бекініс жоспары ретінде суреттеген. Реоль үшбұрышы пішіндес еден жоспарына ие заманауи ғимараттардың қатарында MIT Kresge аудиториясы, Кёльн үшбұрышы, Донатурм, Торре де Коллсерола және Мерседес-Бенц мұражайы бар. Оронс Фине 1551 жылы және Джон Ди 1580 жылы Реоль үшбұрышына негізделген ұқсас карталарды жариялаған. Реоль үшбұрышы өрт сөндіру гидранты клапанының гайкасының көлденең қимасы ретінде пайдаланылған. Бұл пішіннің тұрақты ені стандартты параллель жақтары бар кілттермен гидрантты ашуды қиындатады, сондықтан арнайы пішінді кілт қажет. Бұл қасиет гидрантты тек өрт сөндірушілердің (арнайы кілттері бар) ғана ашуына мүмкіндік береді, ал оны су көзі ретінде пайдалануға тырысатын басқа адамдарға емес. Гавайидегі Мауна-Кеа тауындағы радиотолқындық астрономиялық обсерваториясы Submillimeter Array антенналарын төрт қабатталған Реоль үшбұрышы бойынша орналастырған. Антенналарды тұрақты ені бар қисық сызыққа орналастыру обсерваторияның барлық бағытта бірдей кеңістіктік ажыратымдылығына және дөңгелек бақылау шоғына әкеледі. Тұрақты ені бар ең асимметриялық қисық ретінде Реоль үшбұрышы массивтен алынған сигналдың Фурье түрлендірілуі үшін жазықтықтың ең біркелкі жабылуын қамтамасыз етеді. Реоль үшбұрышына енгізілген тағы бір корпоративтік логотип – Бавария сыра зауытының оңтүстікке қарай бағытталған компасы, Total Identity дизайн компаниясы жасаған жаңа стильдің бөлігі болды және бұл компания SAN 2010 жылдың жарнамашысы сыйлығын жеңіп алды. Реоль үшбұрышы Колорадо кен-металлургия институтының логотипінде де қолданылады. АҚШ-та Ұлттық жолдар жүйесі және АҚШ велосипедтік жолдар жүйесі жолдарды белгілердегі Реоль үшбұрыштарымен көрсетеді.

In Gothic architecture, beginning in the late 13th century or early 14th century, the Reuleaux triangle became one of several curvilinear forms frequently used for windows, window tracery, and other architectural decorations. In this context, the shape is sometimes called a spherical triangle, which should not be confused with spherical triangle meaning a triangle on the surface of a sphere. In its use in Gothic church architecture, the three cornered shape of the Reuleaux triangle may be seen both as a symbol of the Trinity, and as "an act of opposition to the form of the circle". The Reuleaux triangle has also been used in other styles of architecture. For instance, Leonardo da Vinci sketched this shape as the plan for a fortification. Modern buildings that have been claimed to use a Reuleaux triangle shaped floorplan include the MIT Kresge Auditorium, the Kölntriangle, the Donauturm, the Torre de Collserola, and the Mercedes Benz Museum. Similar maps also based on the Reuleaux triangle were published by Oronce Finé in 1551 and by John Dee in 1580. The Reuleaux triangle has been used as the shape for the cross section of a fire hydrant valve nut. The constant width of this shape makes it difficult to open the fire hydrant using standard parallel jawed wrenches; instead, a wrench with a special shape is needed. This property allows the fire hydrants to be opened only by firefighters (who have the special wrench) and not by other people trying to use the hydrant as a source of water for other activities. Following a suggestion of , the antennae of the Submillimeter Array, a radio wave astronomical observatory on Mauna Kea in Hawaii, are arranged on four nested Reuleaux triangles. Placing the antennae on a curve of constant width causes the observatory to have the same spatial resolution in all directions, and provides a circular observation beam. As the most asymmetric curve of constant width, the Reuleaux triangle leads to the most uniform coverage of the plane for the Fourier transform of the signal from the array. Another corporate logo framed in the Reuleaux triangle, the south pointing compass of Bavaria Brewery, was part of a makeover by design company Total Identity that won the SAN 2010 Advertiser of the Year award. The Reuleaux triangle is also used in the logo of Colorado School of Mines. In the United States, the National Trails System and United States Bicycle Route System both mark routes with Reuleaux triangles on signage.

Табиғатта

Платоның заңдарына сәйкес, екі өлшемді сабынды көпіршік кластерлеріндегі дөңгелек доғалар 120° бұрышта түйіседі, бұл Реоль үшбұрышының төбелеріндегі бұрышқа тең. Осы фактіге негізделген, кейбір көпіршіктер Реоль үшбұрышы пішіндес кластерлерді құру мүмкін. Бұл пішін алғаш рет 2014 жылы кристалл түрінде Реоль үшбұрышы дискілері ретінде бөлініп алынды. Негізгі висмут нитраты дискілері, Реоль үшбұрышы пішіндес, 2,3-бис(2-пиридил)пиразиннің қатысуымен этанол-су жүйесінде висмут нитратының гидролизі және тұнбалануы арқылы пайда болды.

Жалпылау

Тұрақты ені бар және өткір бұрыштардың орнына тегіс бұрыштары бар үшбұрышты қисықтарды Реоль үшбұрышынан белгілі бір қашықтықтағы нүктелердің траекториясы ретінде алуға болады. Реоль үшбұрышының басқа да жалпыламаларына үш өлшемдегі беттер, үштен көп қабырғасы бар тұрақты ені бар қисықтар және ені, диаметрі мен ішкі радиусы арасындағы теңсіздіктің ең шекті мысалдарын ұсынатын Янмути жиындары кіреді.

Үш өлшемді нұсқа

Реуло тетраэдрі деп аталатын, радиусы s, ортасы s қабырғасы бар дұрыс тетраэдрдің төбелерінде орналасқан төрт шардың қиылысы, бірақ оның бетінің ені тұрақты емес. Дегенмен, оны Мейснер тетраэдрі деп аталатын, тұрақты ені бар бетке айналдыруға болады, оның үшінші қабырға доғаларын иілген беттермен, яғни шеңбер доғасының айналу беттерімен алмастыру арқылы. Балама ретінде, Реоль үшбұрышының симметрия осьтерінің бірі арқылы айналу беті тұрақты ені бар бетті құрайды, және берілген тұрақты ені бар барлық белгілі айналу беттерінің арасында ең аз көлемге ие.

Рео полигондары

Реоль үшбұрышы тұрақты немесе ретсіз көпбұрыштарға, қабырғаларының саны тақ болса, жалпыланады, нәтижесінде Реоль көпбұрышы пайда болады – тұрақты радиусты шеңбер доғаларынан құралған тұрақты ені бар қисық. Бұл пішіндердің тұрақты ені оларды монета қабылдайтын автоматтарында қолданылатын монета ретінде пайдалануға мүмкіндік береді. Ұқсас әдістерді кез келген қарапайым көпбұрышты, оның диаметріне тең тұрақты ені бар қисық ішінде сызу үшін де қолдануға болады. Соның салдарынан пайда болатын пішін шеңбер доғаларынан тұрады (көпбұрыштың қабырғаларының санынан көп емес), алгоритмдік түрде сызықтық уақытта құрастырылуы мүмкін және циркуль мен түзу сызықпен салынуы мүмкін. Реоль көпбұрыштарының барлығы тақ санға ие шеңбер доғалы қабырғалары болғанымен, әртүрлі радиустағы жұп санға ие шеңбер доғалы қабырғалары бар тұрақты енді пішіндерді құруға болады.

Янмути жиынтығы

Янмути жиынтықтары теңқабырғалы үшбұрыштың дөңес қабығы ретінде, үшбұрыштың төбелерінде ортасы орналасқан және үшбұрыштың бұрыштарымен тең бұрышпен жабатын үш шеңбер доғасымен анықталады, олардың радиустары үшбұрыштың қабырғасынан артық емес. Осылайша, радиус жеткілікті кішкентай болғанда, бұл жиынтықтар теңқабырғалы үшбұрыштың өзіне дейін кеміп, бірақ радиус ең үлкен болғанда сәйкес Реоль үшбұрышымен тең болады. W ені, d диаметрі және r ішкі радиусы (пішінге сыйымды ең үлкен шеңбердің радиусы) бар кез келген пішін мына теңсіздікке бағынады және бұл теңсіздік Янмути жиынтықтары үшін теңдікке айналады, бұл оны жақсарту мүмкін емес екенін көрсетеді.