Кривые постоянной ширины и тела постоянной ширины

Введение

Форма с шириной, не зависящей от ориентации

В геометрии кривая постоянной ширины — это простая замкнутая кривая на плоскости, ширина которой (расстояние между параллельными опорными прямыми) одинакова во всех направлениях. Форма, ограниченная кривой постоянной ширины, является телом постоянной ширины или орбиформой, название, данное этим формам Леонардом Эйлером. Стандартными примерами являются круг и треугольник Рео. Эти кривые также могут быть построены с использованием круговых дуг, центры которых расположены в точках пересечения набора линий, как инволюты определенных кривых, или путем пересечения окружностей, центры которых лежат на частичной кривой. Каждое тело постоянной ширины является выпуклым множеством, его граница пересекается любой прямой не более двух раз, и если прямая пересекает ее перпендикулярно, то она пересекает ее в обеих точках пересечения, разделённых шириной. Согласно теореме Барбье, периметр тела равен ровно π умноженному на его ширину, но его площадь зависит от формы: треугольник Рео имеет наименьшую возможную площадь для заданной ширины, а круг — наибольшую. Любое надмножество тела постоянной ширины содержит пары точек, расстояние между которыми больше ширины, и каждая кривая постоянной ширины содержит как минимум шесть точек экстремальной кривизны. Хотя треугольник Рео не является гладким, кривые постоянной ширины всегда можно произвольно точно аппроксимировать гладкими кривыми той же постоянной ширины. Цилиндры с поперечным сечением постоянной ширины могут использоваться в качестве роликов для поддержания ровной поверхности. Другое применение кривых постоянной ширины — формы монет, где обычными являются правильные многоугольники Рео. Возможность существования кривых постоянной ширины, отличных от окружностей, усложняет проверку круглости объекта. Кривые постоянной ширины были обобщены различными способами для более высоких размерностей и неевклидовой геометрии.

Определения

Ширина и постоянная ширина определяются через поддерживающие линии кривых – это линии, касающиеся кривой, но не пересекающие её. Каждая компактная кривая на плоскости имеет две поддерживающие линии в любом заданном направлении, при этом кривая находится между ними. Евклидово расстояние между этими двумя линиями является шириной кривой в этом направлении, а кривая обладает постоянной шириной, если это расстояние одинаково для всех направлений линий. Ширину ограниченного выпуклого множества можно определить аналогично кривым – как расстояние между парами параллельных линий, касающихся множества, не пересекая его, и выпуклое множество является телом постоянной ширины, когда это расстояние ненулевое и не зависит от направления линий. Каждое тело постоянной ширины имеет кривую постоянной ширины в качестве своей границы, и каждая кривая постоянной ширины имеет тело постоянной ширины в качестве своей выпуклой оболочки. Другой эквивалентный способ определения ширины компактной кривой или выпуклого множества – рассмотреть её ортогональную проекцию на прямую. В обоих случаях проекция представляет собой отрезок прямой, длина которого равна расстоянию между поддерживающими линиями, перпендикулярными этой прямой. Следовательно, кривая или выпуклое множество обладает постоянной шириной, когда все его ортогональные проекции имеют одинаковую длину.

Строительство

Каждый правильный многоугольник с нечетным числом сторон порождает кривую постоянной ширины, многоугольник Рёло, образованный круговыми дугами, центры которых находятся в его вершинах и проходящими через две наиболее удаленные от центра вершины. Например, эта конструкция генерирует треугольник Рёло из равностороннего треугольника. Некоторые неправильные многоугольники также генерируют многоугольники Рёло. В тесно связанной конструкции, названной Мартином Гарднером "методом пересекающихся линий", расположение линий на плоскости (не две параллельные, но в остальном произвольные) упорядочивается по углу наклона в циклическом порядке. Затем линии соединяются кривой, образованной последовательностью круговых дуг; каждая дуга соединяет две последовательные линии в упорядоченном порядке и центрирована в их точке пересечения. Радиус первой дуги должен быть выбран достаточно большим, чтобы все последующие дуги заканчивались на правильной стороне следующей точки пересечения; однако, все достаточно большие радиусы подходят. Для двух линий это образует круг; для трех линий, расположенных по сторонам равностороннего треугольника, с минимально возможным радиусом, это образует треугольник Рёло, а для линий правильного звездного многоугольника это может сформировать многоугольник Рёло. Леонард Эйлер построил кривые постоянной ширины из инволют кривых с нечетным числом точечных сингулярностей, имеющих только одну касательную линию в каждом направлении (то есть, проективных ежей). Интуитивно понятным способом описать инволютную конструкцию является прокатка отрезка прямой вдоль такой кривой, сохраняя его касательным к кривой без скольжения, пока он не вернется в начальную точку касания. Отрезок прямой должен быть достаточно длинным, чтобы достичь вершин кривой, чтобы он мог перекатиться мимо каждой вершины к следующей части кривой, а его начальное положение должно быть тщательно выбрано, чтобы в конце процесса прокатки он находился в том же положении, в котором он начал. Когда это происходит, кривая, очерченная конечными точками отрезка, является инволютой, которая охватывает данную кривую, не пересекая ее, с постоянной шириной, равной длине отрезка. Если исходная кривая гладкая (за исключением вершин), то полученная кривая постоянной ширины также будет гладкой. Примером исходной кривой с подходящими свойствами для этой конструкции является дельтоидная кривая, а инволюты дельтоиды, которые ее охватывают, образуют гладкие кривые постоянной ширины, не содержащие круговых дуг. Другая конструкция выбирает половину кривой постоянной ширины, удовлетворяющую определенным требованиям, и формирует из нее тело постоянной ширины, имеющее данную кривую в качестве части своей границы. Конструкция начинается с выпуклой дуги, конечные точки которой находятся на расстоянии, равном предполагаемой ширине. Две конечные точки должны касаться параллельных опорных прямых на расстоянии друг от друга. Кроме того, каждая опорная прямая, касающаяся другой точки дуги, должна быть касательной в этой точке к окружности радиуса, содержащей всю дугу; это требование предотвращает уменьшение кривизны дуги по сравнению с кривизной окружности. Завершенное тело постоянной ширины является затем пересечением внутренних частей бесконечного семейства окружностей двух типов: касающихся опорных прямых и дополнительных окружностей того же радиуса, центры которых находятся в каждой точке данной дуги. Эта конструкция универсальна: все кривые постоянной ширины могут быть построены таким образом. Виктор Пузо, французский математик XIX века, обнаружил кривые постоянной ширины, содержащие эллиптические дуги, которые могут быть построены таким образом из полуэллипса. Для выполнения условия кривизны полуэллипс должен быть ограничен большой осью своей эллипса, а эллипс должен иметь эксцентриситет не более. Эквивалентно, большая ось должна быть не более чем в два раза больше малой оси. Для любых двух тел постоянной ширины их сумма Минковского образует другое тело постоянной ширины. Обобщение сумм Минковского до сумм опорных функций ежей производит кривую постоянной ширины из суммы проективного ежа и окружности, когда результат является выпуклой кривой. Все кривые постоянной ширины могут быть разложены в сумму ежей таким образом.

Every regular polygon with an odd number of sides gives rise to a curve of constant width, a Reuleaux polygon, formed from circular arcs centered at its vertices that pass through the two vertices farthest from the center. For instance, this construction generates a Reuleaux triangle from an equilateral triangle. Some irregular polygons also generate Reuleaux polygons. In a closely related construction, called by Martin Gardner the "crossed lines method", an arrangement of lines in the plane (no two parallel but otherwise arbitrary) is sorted into cyclic order by the slopes of the lines. The lines are then connected by a curve formed from a sequence of circular arcs; each arc connects two consecutive lines in the sorted order, and is centered at their crossing. The radius of the first arc must be chosen large enough to cause all successive arcs to end on the correct side of the next crossing point; however, all sufficiently large radii work. For two lines, this forms a circle; for three lines on the sides of an equilateral triangle, with the minimum possible radius, it forms a Reuleaux triangle, and for the lines of a regular star polygon it can form a Reuleaux polygon. Leonhard Euler constructed curves of constant width from involutes of curves with an odd number of cusp singularities, having only one tangent line in each direction (that is, projective hedgehogs). An intuitive way to describe the involute construction is to roll a line segment around such a curve, keeping it tangent to the curve without sliding along it, until it returns to its starting point of tangency. The line segment must be long enough to reach the cusp points of the curve, so that it can roll past each cusp to the next part of the curve, and its starting position should be carefully chosen so that at the end of the rolling process it is in the same position it started from. When that happens, the curve traced out by the endpoints of the line segment is an involute that encloses the given curve without crossing it, with constant width equal to the length of the line segment. If the starting curve is smooth (except at the cusps), the resulting curve of constant width will also be smooth. An example of a starting curve with the correct properties for this construction is the deltoid curve, and the involutes of the deltoid that enclose it form smooth curves of constant width, not containing any circular arcs. Another construction chooses half of the curve of constant width, meeting certain requirements, and forms from it a body of constant width having the given curve as part of its boundary. The construction begins with a convex curved arc, whose endpoints are the intended width apart. The two endpoints must touch parallel supporting lines at distance from each other. Additionally, each supporting line that touches another point of the arc must be tangent at that point to a circle of radius containing the entire arc; this requirement prevents the curvature of the arc from being less than that of the circle. The completed body of constant width is then the intersection of the interiors of an infinite family of circles, of two types: the ones tangent to the supporting lines, and more circles of the same radius centered at each point of the given arc. This construction is universal: all curves of constant width may be constructed in this way. Victor Puiseux, a 19th century French mathematician, found curves of constant width containing elliptical arcs that can be constructed in this way from a semi ellipse. To meet the curvature condition, the semi ellipse should be bounded by the semi major axis of its ellipse, and the ellipse should have eccentricity at most Equivalently, the semi major axis should be at most twice the semi minor axis. Given any two bodies of constant width, their Minkowski sum forms another body of constant width. A generalization of Minkowski sums to the sums of support functions of hedgehogs produces a curve of constant width from the sum of a projective hedgehog and a circle, whenever the result is a convex curve. All curves of constant width can be decomposed into a sum of hedgehogs in this way.

Свойства

Кривая постоянной ширины может вращаться между двумя параллельными прямыми, разделенными ее шириной, при этом постоянно касаясь этих прямых, которые служат поддерживающими прямыми для вращающейся кривой. Аналогичным образом, кривая постоянной ширины может вращаться внутри ромба или квадрата, чьи пары противоположных сторон разделены шириной и лежат на параллельных поддерживающих прямых. Не каждая кривая постоянной ширины может вращаться внутри правильного шестиугольника таким же образом, поскольку ее поддерживающие прямые могут образовывать различные неправильные шестиугольники для разных вращений, а не всегда формировать правильный. Однако каждая кривая постоянной ширины может быть заключена по крайней мере в один правильный шестиугольник с противоположными сторонами на параллельных поддерживающих прямых. Кривая имеет постоянную ширину, если и только если для каждой пары параллельных поддерживающих прямых она касается этих двух прямых в точках, расстояние между которыми равно расстоянию между прямыми. В частности, это означает, что она может касаться каждой поддерживающей прямой только в одной точке. Эквивалентно, каждая прямая, пересекающая кривую перпендикулярно, пересекает ее ровно в двух точках на расстоянии, равном ширине. Следовательно, кривая постоянной ширины должна быть выпуклой, поскольку каждая невыпуклая простая замкнутая кривая имеет поддерживающую прямую, касающуюся ее в двух или более точках. Кривые постоянной ширины являются примерами самопараллельных или автопараллельных кривых, кривых, описываемых обеими конечными точками отрезка, который движется таким образом, что обе конечные точки движутся перпендикулярно отрезку. Однако существуют и другие самопараллельные кривые, такие как бесконечная спираль, образованная эволютой окружности, которые не имеют постоянной ширины. Теорема Барбье утверждает, что периметр любой кривой постоянной ширины равен ширине, умноженной на… В качестве частного случая эта формула согласуется со стандартной формулой для периметра окружности, заданной ее диаметром. В силу изопериметрического неравенства и теоремы Барбье, окружность обладает максимальной площадью среди всех кривых заданной постоянной ширины. Теорема Блашке-Лебега утверждает, что треугольник Рёло имеет наименьшую площадь среди всех выпуклых кривых заданной постоянной ширины. Любое надмножество тела постоянной ширины имеет строго больший диаметр, и любое евклидово множество с этим свойством является телом постоянной ширины. В частности, невозможно, чтобы одно тело постоянной ширины было подмножеством другого тела с той же постоянной шириной. Каждую кривую постоянной ширины можно произвольно точно аппроксимировать кусочно-круговой кривой или аналитической кривой той же постоянной ширины. Вершина гладкой кривой — это точка, в которой ее кривизна является локальным максимумом или минимумом; для круговой дуги все точки являются вершинами, но некруговые кривые могут иметь конечное дискретное множество вершин. Для кривой, которая не является гладкой, точки, в которых она не является гладкой, также можно рассматривать как вершины с бесконечной кривизной. Для кривой постоянной ширины каждая вершина с минимальной локальной кривизной соединена с вершиной с максимальной локальной кривизной, расположенной напротив нее на диаметре кривой, и должно быть по крайней мере шесть вершин. Это противоречит теореме о четырех вершинах, согласно которой каждая простая замкнутая гладкая кривая на плоскости имеет по крайней мере четыре вершины. Некоторые кривые, такие как эллипсы, имеют ровно четыре вершины, но это невозможно для кривой постоянной ширины. Поскольку локальные минимумы кривизны противоположны локальным максимумам кривизны, единственными кривыми постоянной ширины с центральной симметрией являются окружности, для которых кривизна одинакова во всех точках. Для каждой кривой постоянной ширины минимальная охватывающая окружность кривой и наибольшая содержащаяся в ней окружность концентричны, а среднее их диаметров равно ширине кривой. Эти две окружности вместе касаются кривой по крайней мере в трех парах противоположных точек, но эти точки не обязательно являются вершинами. Выпуклое тело имеет постоянную ширину, если и только если сумма Минковского тела и его вращения на 180° является круговым диском; если это так, то ширина тела равна радиусу диска.

A curve of constant width can rotate between two parallel lines separated by its width, while at all times touching those lines, which act as supporting lines for the rotated curve. In the same way, a curve of constant width can rotate within a rhombus or square, whose pairs of opposite sides are separated by the width and lie on parallel support lines. Not every curve of constant width can rotate within a regular hexagon in the same way, because its supporting lines may form different irregular hexagons for different rotations rather than always forming a regular one. However, every curve of constant width can be enclosed by at least one regular hexagon with opposite sides on parallel supporting lines. A curve has constant width if and only if, for every pair of parallel supporting lines, it touches those two lines at points whose distance equals the separation between the lines. In particular, this implies that it can only touch each supporting line at a single point. Equivalently, every line that crosses the curve perpendicularly crosses it at exactly two points of distance equal to the width. Therefore, a curve of constant width must be convex, since every non convex simple closed curve has a supporting line that touches it at two or more points. Curves of constant width are examples of self parallel or auto parallel curves, curves traced by both endpoints of a line segment that moves in such a way that both endpoints move perpendicularly to the line segment. However, there exist other self parallel curves, such as the infinite spiral formed by the involute of a circle, that do not have constant width. Barbier's theorem asserts that the perimeter of any curve of constant width is equal to the width multiplied by As a special case, this formula agrees with the standard formula for the perimeter of a circle given its diameter. By the isoperimetric inequality and Barbier's theorem, the circle has the maximum area of any curve of given constant width. The Blaschke–Lebesgue theorem says that the Reuleaux triangle has the least area of any convex curve of given constant width. Every proper superset of a body of constant width has strictly greater diameter, and every Euclidean set with this property is a body of constant width. In particular, it is not possible for one body of constant width to be a subset of a different body with the same constant width. Every curve of constant width can be approximated arbitrarily closely by a piecewise circular curve or by an analytic curve of the same constant width. A vertex of a smooth curve is a point where its curvature is a local maximum or minimum; for a circular arc, all points are vertices, but non circular curves may have a finite discrete set of vertices. For a curve that is not smooth, the points where it is not smooth can also be considered as vertices, of infinite curvature. For a curve of constant width, each vertex of locally minimum curvature is paired with a vertex of locally maximum curvature, opposite it on a diameter of the curve, and there must be at least six vertices. This stands in contrast to the four vertex theorem, according to which every simple closed smooth curve in the plane has at least four vertices. Some curves, such as ellipses, have exactly four vertices, but this is not possible for a curve of constant width. Because local minima of curvature are opposite local maxima of curvature, the only curves of constant width with central symmetry are the circles, for which the curvature is the same at all points. For every curve of constant width, the minimum enclosing circle of the curve and the largest circle that it contains are concentric, and the average of their diameters is the width of the curve. These two circles together touch the curve in at least three pairs of opposite points, but these points are not necessarily vertices. A convex body has constant width if and only if the Minkowski sum of the body and its 180° rotation is a circular disk; if so, the width of the body is the radius of the disk.

Приложения

Из-за способности кривых постоянной ширины катиться между параллельными линиями, любой цилиндр с кривой постоянной ширины в качестве поперечного сечения может служить "роликом", поддерживая горизонтальную плоскость и сохраняя её ровной при движении по любой ровной поверхности. Однако центр ролика при этом перемещается вверх и вниз, поэтому такая конструкция не подходит для колёс подобной формы, закреплённых на неподвижных осях. Некоторые формы монет представляют собой неколышные тела постоянной ширины. Например, британские монеты номиналом 20 и 50 пенсов имеют форму семиугольников Реуло, а канадский доллар – одиннадцатиугольников Реуло. Эти формы позволяют автоматическим устройствам для обработки монет распознавать их по ширине, независимо от ориентации монеты в устройстве. С другой стороны, измерение ширины недостаточно для определения округлости объекта, поскольку такой тест не позволяет отличить окружность от других кривых постоянной ширины. Игнорирование этого факта, возможно, сыграло роль в катастрофе космического шаттла "Челленджер", так как округлость секций ракеты в том запуске проверялась только измерением ширины, а отклонения от идеальной округлости могли создавать аномально высокие напряжения, которые могли быть одной из причин катастрофы.

Обобщения

Кривые постоянной ширины могут быть обобщены на определенные невыпуклые кривые, имеющие две касательные в каждом направлении, с одинаковым расстоянием между этими касательными, независимо от направления. В качестве предельного случая, проективные ежи (кривые с одной касательной в каждом направлении) также называют "кривыми нулевой ширины". Один из способов обобщения этих понятий на три измерения – через поверхности постоянной ширины. Трехмерный аналог треугольника Рео, тетраэдр Рео, не обладает постоянной шириной, однако незначительные изменения в его форме приводят к телам Мейснера, которые обладают этим свойством. Кривые постоянной ширины также могут быть обобщены на тела постоянной яркости – трехмерные объекты, все двумерные проекции которых имеют одинаковую площадь; эти объекты подчиняются обобщению теоремы Барбье. Другой класс трехмерных обобщений, пространственные кривые постоянной ширины, определяется тем, что каждая плоскость, пересекающая кривую перпендикулярно, пересекает ее ровно в одной другой точке, где также перпендикулярна, и что все пары точек, пересекаемых перпендикулярными плоскостями, находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Кривые и тела постоянной ширины также изучались в неевклидовой геометрии и для неевклидовых нормированных векторных пространств.