Треугольник Рёло: кривая постоянной ширины

Введение

Кривой треугольник с постоянной шириной

Треугольник Рёло — это кривой треугольник с постоянной шириной, простейшая и наиболее известная кривая постоянной ширины, отличная от окружности. Он образуется как пересечение трех круговых дисков, каждый из которых имеет центр на границе двух других. Постоянная ширина означает, что расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми одинаково, независимо от их ориентации. Благодаря постоянной ширине треугольник Рёло является одним из ответов на вопрос: «Какую форму, кроме круглой, можно придать крышке люка, чтобы она не провалилась внутрь?» Он назван в честь Франца Рёло, немецкого инженера XIX века, который был пионером в изучении машин для преобразования одного типа движения в другой и использовал треугольники Рёло в своих конструкциях. Однако эти формы были известны и до его времени, например, дизайнерам готических окон, Леонардо да Винчи, который использовал его для картографических проекций, и Леонарду Эйлеру в его исследованиях фигур постоянной ширины. Другие применения треугольника Рёло включают придание формы медиаторам для гитары, гайкам пожарных гидрантов, карандашам и сверлам для сверления квадратных отверстий со скругленными углами, а также в графическом дизайне для создания некоторых знаков и корпоративных логотипов. Среди фигур постоянной ширины с заданной шириной треугольник Рёло имеет минимальную площадь и наиболее острый (наименьший) угол (120°) в вершинах. По ряду численных показателей он наиболее удален от центральной симметрии. Он обеспечивает наибольшую форму постоянной ширины, избегая точек целочисленной решетки, и тесно связан с формой четырехугольника, максимизирующей отношение периметра к диаметру. Он может совершать полный оборот внутри квадрата, постоянно касаясь всех четырех его сторон, и имеет наименьшую возможную площадь среди фигур с этим свойством. Однако, хотя он покрывает большую часть площади квадрата в процессе вращения, он не покрывает небольшую часть площади вблизи углов. Благодаря этому свойству вращения внутри квадрата треугольник Рёло также иногда называют ротором Рёло. Построение трех окружностей можно выполнить только с помощью циркуля, даже не используя линейку. Согласно теореме Мора — Машерони, то же самое справедливо в более общем случае для любой конструкции, выполняемой с помощью циркуля и линейки, но построение треугольника Рёло особенно простое. Первый шаг — отметить две произвольные точки на плоскости (которые станут вершинами треугольника) и с помощью циркуля нарисовать окружность с центром в одной из отмеченных точек, проходящую через другую отмеченную точку. Затем рисуют вторую окружность того же радиуса с центром в другой отмеченной точке, проходящую через первую отмеченную точку. Наконец, рисуют третью окружность того же радиуса с центром в одной из двух точек пересечения двух предыдущих окружностей, проходящую через обе отмеченные точки. Центральная область в полученной конфигурации трех окружностей будет треугольником Рёло. Первым математиком, обнаружившим существование кривых постоянной ширины и заметившим, что треугольник Рёло имеет постоянную ширину, мог быть Леонард Эйлер. В работе, представленной в 1771 году и опубликованной в 1781 году под названием «De curvis triangularibus», Эйлер изучал криволинейные треугольники, а также кривые постоянной ширины, которые он называл орбиформами.

A Reuleaux triangle ʁœlo is a curved triangle with constant width, the simplest and best known curve of constant width other than the circle. It is formed from the intersection of three circular disks, each having its center on the boundary of the other two. Constant width means that the separation of every two parallel supporting lines is the same, independent of their orientation. Because its width is constant, the Reuleaux triangle is one answer to the question "Other than a circle, what shape can a manhole cover be made so that it cannot fall down through the hole?" They are named after Franz Reuleaux, a 19th century German engineer who pioneered the study of machines for translating one type of motion into another, and who used Reuleaux triangles in his designs. However, these shapes were known before his time, for instance by the designers of Gothic church windows, by Leonardo da Vinci, who used it for a map projection, and by Leonhard Euler in his study of constant width shapes. Other applications of the Reuleaux triangle include giving the shape to guitar picks, fire hydrant nuts, pencils, and drill bits for drilling filleted square holes, as well as in graphic design in the shapes of some signs and corporate logos. Among constant width shapes with a given width, the Reuleaux triangle has the minimum area and the sharpest (smallest) possible angle (120°) at its corners. By several numerical measures it is the farthest from being centrally symmetric. It provides the largest constant width shape avoiding the points of an integer lattice, and is closely related to the shape of the quadrilateral maximizing the ratio of perimeter to diameter. It can perform a complete rotation within a square while at all times touching all four sides of the square, and has the smallest possible area of shapes with this property. However, although it covers most of the square in this rotation process, it fails to cover a small fraction of the square's area, near its corners. Because of this property of rotating within a square, the Reuleaux triangle is also sometimes known as the Reuleaux rotor. The three circle construction may be performed with a compass alone, not even needing a straightedge. By the Mohr–Mascheroni theorem
the same is true more generally of any compass and straightedge construction, but the construction for the Reuleaux triangle is particularly simple. The first step is to mark two arbitrary points of the plane (which will eventually become vertices of the triangle), and use the compass to draw a circle centered at one of the marked points, through the other marked point. Next, one draws a second circle, of the same radius, centered at the other marked point and passing through the first marked point. Finally, one draws a third circle, again of the same radius, with its center at one of the two crossing points of the two previous circles, passing through both marked points. The central region in the resulting arrangement of three circles will be a Reuleaux triangle. The first mathematician to discover the existence of curves of constant width, and to observe that the Reuleaux triangle has constant width, may have been Leonhard Euler. In a paper that he presented in 1771 and published in 1781 entitled De curvis triangularibus, Euler studied curvilinear triangles as well as the curves of constant width, which he called orbiforms.

Экстремальные меры

По многим различным меркам треугольник Рео является одной из самых экстремальных кривых постоянной ширины. Согласно теореме Блашке-Лебёга, треугольник Рео имеет наименьшую возможную площадь среди всех кривых заданной постоянной ширины. Эта площадь равна

где s — постоянная ширина. Один из способов получения формулы для площади состоит в том, чтобы разделить треугольник Рео на внутренний равносторонний треугольник и три криволинейные области между этим внутренним треугольником и дугами, образующими треугольник Рео, а затем сложить площади этих четырех множеств. С другой стороны, кривая постоянной ширины, обладающая максимально возможной площадью, — это круговой диск, площадь которого равна . Углы, образованные каждой парой дуг в вершинах треугольника Рео, равны 120°. Это наиболее острый угол в любой вершине любой кривой постоянной ширины. Наибольший равносторонний треугольник, вписанный в треугольник Рео, соединяет его три вершины, а наименьший — соединяет три средние точки его сторон. Подмножество треугольника Рео, состоящее из точек, принадлежащих трем или более диаметрам, является внутренней частью большего из этих двух треугольников; его площадь больше, чем площадь множества из трех точек диаметра любой другой кривой постоянной ширины. Хотя треугольник Рео обладает шестикратной диэдрической симметрией, как и равносторонний треугольник, он не имеет центральной симметрии. Треугольник Рео является наименее симметричной кривой постоянной ширины согласно двум различным мерам центральной асимметрии: мере Ковнера-Безиковича (отношение площади к наибольшей центрально симметричной фигуре, заключенной внутри кривой) и мере Эстермана (отношение площади к наименьшей центрально симметричной фигуре, заключающей кривую). Для треугольника Рео обе центрально симметричные фигуры, определяющие меры асимметрии, являются шестиугольными, хотя внутренняя имеет изогнутые стороны. Диаметры треугольника Рео делят его площадь более неравномерно, чем диаметры любой другой кривой постоянной ширины. То есть максимальное соотношение площадей по обе стороны диаметра, являющееся еще одной мерой асимметрии, больше для треугольника Рео, чем для других кривых постоянной ширины. Среди всех фигур постоянной ширины, избегающих всех точек целочисленной решетки, наибольшей шириной обладает треугольник Рео. Одна из его осей симметрии параллельна координатным осям на полуцелой прямой. Его ширина, приблизительно равная 1,54, является корнем многочлена 6-й степени с целочисленными коэффициентами. Так же, как можно окружить круг шестью конгруэнтными кругами, касающимися его, можно также расположить семь конгруэнтных треугольников Рео так, чтобы все они соприкасались с центральным треугольником Рео того же размера. Это максимальное число, возможное для любой кривой постоянной ширины. Среди всех четырехугольников фигура с наибольшим отношением периметра к диаметру — равнодиагональный дельтоид, который можно вписать в треугольник Рео.

where s is the constant width. One method for deriving this area formula is to partition the Reuleaux triangle into an inner equilateral triangle and three curvilinear regions between this inner triangle and the arcs forming the Reuleaux triangle, and then add the areas of these four sets. At the other extreme, the curve of constant width that has the maximum possible area is a circular disk, which has area
The angles made by each pair of arcs at the corners of a Reuleaux triangle are all equal to 120°. This is the sharpest possible angle at any vertex of any curve of constant width. The largest equilateral triangle inscribed in a Reuleaux triangle is the one connecting its three corners, and the smallest one is the one connecting the three midpoints of its sides. The subset of the Reuleaux triangle consisting of points belonging to three or more diameters is the interior of the larger of these two triangles; it has a larger area than the set of three diameter points of any other curve of constant width. Although the Reuleaux triangle has sixfold dihedral symmetry, the same as an equilateral triangle, it does not have central symmetry. The Reuleaux triangle is the least symmetric curve of constant width according to two different measures of central asymmetry, the Kovner–Besicovitch measure (ratio of area to the largest centrally symmetric shape enclosed by the curve) and the Estermann measure (ratio of area to the smallest centrally symmetric shape enclosing the curve). For the Reuleaux triangle, the two centrally symmetric shapes that determine the measures of asymmetry are both hexagonal, although the inner one has curved sides. The Reuleaux triangle has diameters that split its area more unevenly than any other curve of constant width. That is, the maximum ratio of areas on either side of a diameter, another measure of asymmetry, is bigger for the Reuleaux triangle than for other curves of constant width. Among all shapes of constant width that avoid all points of an integer lattice, the one with the largest width is a Reuleaux triangle. It has one of its axes of symmetry parallel to the coordinate axes on a half integer line. Its width, approximately 1.54, is the root of a degree 6 polynomial with integer coefficients. Just as it is possible for a circle to be surrounded by six congruent circles that touch it, it is also possible to arrange seven congruent Reuleaux triangles so that they all make contact with a central Reuleaux triangle of the same size. This is the maximum number possible for any curve of constant width. Among all quadrilaterals, the shape that has the greatest ratio of its perimeter to its diameter is an equidiagonal kite that can be inscribed into a Reuleaux triangle.

Повороты внутри квадрата

Любая кривая постоянной ширины может образовывать ротор внутри квадрата – фигуру, способную совершать полный оборот, оставаясь внутри квадрата и постоянно касаясь всех его четырех сторон. Однако треугольник Рёло является ротором с минимальной возможной площадью. Из-за углов в 120° вращающийся треугольник Рёло не может достичь некоторых точек вблизи острых углов в вершинах квадрата, а вместо этого очерчивает фигуру со слегка скругленными углами, также образованную эллиптическими дугами.

В качестве контрпримера

Первоначальная мотивация Реолю для изучения треугольника Реолю заключалась в том, чтобы привести контрпример, демонстрирующий, что трех точечных контактов может быть недостаточно для однозначной фиксации плоской фигуры. Существование треугольников Реолю и других кривых постоянной ширины показывает, что измерение диаметра само по себе не позволяет удостовериться в том, что объект имеет круглое поперечное сечение. В связи с задачей о вписанном квадрате, Реолю отметил, что треугольник Реолю представляет собой пример фигуры постоянной ширины, в которую нельзя вписать правильный многоугольник с более чем четырьмя сторонами, за исключением правильного шестиугольника, и описал небольшое изменение этой фигуры, сохраняющее её постоянную ширину, но при этом препятствующее вписыванию в неё правильных шестиугольников. Он обобщил этот результат на трехмерный случай, используя цилиндр, форма поперечного сечения которого совпадает с формой самого треугольника Реолю.

Достигается в углы

Несколько типов машин имеют форму треугольника Рео, основанную на его способности вращаться внутри квадрата. Квадратное сверло от Watts Brothers Tool Works имеет форму треугольника Рео, модифицированного вогнутостями для формирования режущих поверхностей. При установке в специальный патрон, позволяющий сверлу не иметь фиксированного центра вращения, оно может просверлить отверстие, близкое к квадратной форме. Хотя Генри Уоттс запатентовал его в 1914 году, подобные сверла, изобретенные другими, использовались и ранее.

Валяющиеся цилиндры

Другой класс применений треугольника Рео включает в себя цилиндрические объекты с поперечным сечением в форме треугольника Рео. Некоторые карандаши производятся именно такой формы, а не в более традиционных круглых или шестигранных. Обычно их рекламируют как более удобные в использовании или способствующие правильному захвату, а также как менее склонные к скатыванию со стола (поскольку центр тяжести перемещается вверх и вниз в большей степени, чем у катящегося шестигранника). Треугольник Рео (наряду со всеми другими кривыми постоянной ширины) способен катиться, но является плохим колесом, поскольку не вращается вокруг фиксированной точки. Объект, помещенный на ролики с поперечным сечением в форме треугольника Рео, будет катиться плавно и ровно, но ось, прикрепленная к колесам в форме треугольника Рео, будет подпрыгивать вверх и вниз три раза за один оборот. Эта концепция была использована в научно-фантастическом рассказе Пола Андерсона под названием «Трехгранное колесо». В 2009 году китайский изобретатель Гуан Байхуа построил и продемонстрировал велосипед с плавающими осями и рамой, поддерживаемой ободом колеса в форме треугольника Рео, вдохновившись карандашами той же формы.

Архитектура

В готической архитектуре, начиная с конца XIII или начала XIV века, треугольник Рео стал одной из нескольких криволинейных форм, часто используемых для окон, оконных витражей и других архитектурных украшений. В этом контексте форму иногда называют сферическим треугольником, что не следует путать со сферическим треугольником, подразумевающим треугольник на поверхности сферы. В готической церковной архитектуре трехгранная форма треугольника Рео может рассматриваться как символ Троицы, а также как «противопоставление форме круга». Треугольник Рео также использовался в других стилях архитектуры. Например, Леонардо да Винчи зарисовал эту форму как план для фортификационного сооружения. Современные здания, которым приписывают использование плана этажа в форме треугольника Рео, включают в себя аудиторию MIT Kresge, Кёльнский треугольник (Kölntriangle), Донаутурм (Donauturm), Торре-де-Кольсерола (Torre de Collserola) и Музей Mercedes Benz. Подобные карты, также основанные на треугольнике Рео, были опубликованы Оронсом Фине в 1551 году и Джоном Ди в 1580 году. Треугольник Рео используется в качестве формы поперечного сечения гайки клапана пожарного гидранта. Постоянная ширина этой формы затрудняет открытие гидранта стандартными разводными ключами; вместо этого требуется ключ специальной формы. Это свойство позволяет открывать пожарные гидранты только пожарным (у которых есть специальный ключ), а не другим лицам, пытающимся использовать гидрант в качестве источника воды для иных целей. По предложению, антенны Submillimeter Array, радиоастрономической обсерватории на Мауна-Кеа на Гавайях, расположены на четырех вложенных треугольниках Рео. Размещение антенн на кривой постоянной ширины обеспечивает одинаковое пространственное разрешение обсерватории во всех направлениях и формирует круговой луч наблюдения. Как наиболее асимметричная кривая постоянной ширины, треугольник Рео обеспечивает наиболее равномерное покрытие плоскости при преобразовании Фурье сигнала от массива. Еще один корпоративный логотип, заключенный в треугольник Рео – компас, указывающий на юг, пивоварни Bavaria Brewery – был частью редизайна, выполненного компанией Total Identity, которая получила награду SAN 2010 Advertiser of the Year. Треугольник Рео также используется в логотипе Колорадской школы горного дела (Colorado School of Mines). В Соединенных Штатах Национальная система троп и Национальная система велосипедных маршрутов обозначают маршруты треугольниками Рео на указателях.

In Gothic architecture, beginning in the late 13th century or early 14th century, the Reuleaux triangle became one of several curvilinear forms frequently used for windows, window tracery, and other architectural decorations. In this context, the shape is sometimes called a spherical triangle, which should not be confused with spherical triangle meaning a triangle on the surface of a sphere. In its use in Gothic church architecture, the three cornered shape of the Reuleaux triangle may be seen both as a symbol of the Trinity, and as "an act of opposition to the form of the circle". The Reuleaux triangle has also been used in other styles of architecture. For instance, Leonardo da Vinci sketched this shape as the plan for a fortification. Modern buildings that have been claimed to use a Reuleaux triangle shaped floorplan include the MIT Kresge Auditorium, the Kölntriangle, the Donauturm, the Torre de Collserola, and the Mercedes Benz Museum. Similar maps also based on the Reuleaux triangle were published by Oronce Finé in 1551 and by John Dee in 1580. The Reuleaux triangle has been used as the shape for the cross section of a fire hydrant valve nut. The constant width of this shape makes it difficult to open the fire hydrant using standard parallel jawed wrenches; instead, a wrench with a special shape is needed. This property allows the fire hydrants to be opened only by firefighters (who have the special wrench) and not by other people trying to use the hydrant as a source of water for other activities. Following a suggestion of , the antennae of the Submillimeter Array, a radio wave astronomical observatory on Mauna Kea in Hawaii, are arranged on four nested Reuleaux triangles. Placing the antennae on a curve of constant width causes the observatory to have the same spatial resolution in all directions, and provides a circular observation beam. As the most asymmetric curve of constant width, the Reuleaux triangle leads to the most uniform coverage of the plane for the Fourier transform of the signal from the array. Another corporate logo framed in the Reuleaux triangle, the south pointing compass of Bavaria Brewery, was part of a makeover by design company Total Identity that won the SAN 2010 Advertiser of the Year award. The Reuleaux triangle is also used in the logo of Colorado School of Mines. In the United States, the National Trails System and United States Bicycle Route System both mark routes with Reuleaux triangles on signage.

В природе

Согласно законам Плато, круговые дуги в двухмерных кластерах мыльных пузырей встречаются под углом 120°, таким же, как углы треугольника Рёло. Исходя из этого, возможно создание кластеров, в которых некоторые пузырьки имеют форму треугольника Рёло. Впервые эта форма была получена в кристаллическом виде в 2014 году в виде дисков Рёло. Основные диски нитрата висмута треугольной формы Рёло образовались в результате гидролиза и осаждения нитрата висмута в этанол-водной системе в присутствии 2,3-бис(2-пиридил)пиразина.

Обобщения

Треугольные кривые постоянной ширины с плавными, а не острыми углами могут быть получены как геометрическое место точек, находящихся на фиксированном расстоянии от треугольника Рео. Другие обобщения треугольника Рео включают поверхности в трех измерениях, кривые постоянной ширины с более чем тремя сторонами и множества Янмути, представляющие собой экстремальные примеры неравенства между шириной, диаметром и внутренним радиусом.

Трехмерная версия

Пересечение четырёх шаров радиусом s с центрами в вершинах правильного тетраэдра со стороной s называется тетраэдром Рео и, хотя его поверхность не является поверхностью постоянной ширины, её можно преобразовать в поверхность постоянной ширины, называемую тетраэдром Мейснера, заменив три его рёберные дуги изогнутыми поверхностями – поверхностями вращения круговой дуги. Альтернативно, поверхность вращения треугольника Рео вокруг одной из его осей симметрии образует поверхность постоянной ширины с минимальным объёмом среди всех известных поверхностей вращения заданной постоянной ширины.

Полигоны Реоле

Треугольник Рёло может быть обобщен на правильные или неправильные многоугольники с нечетным числом сторон, что приводит к полигону Рёло – кривой постоянной ширины, образованной круговыми дугами постоянного радиуса. Постоянная ширина этих фигур позволяет использовать их в качестве монет в автоматах. Аналогичные методы могут быть использованы для описания произвольного простого многоугольника кривой постоянной ширины, ширина которой равна диаметру данного многоугольника. Полученная фигура состоит из круговых дуг (в количестве не больше, чем сторон многоугольника), может быть построена алгоритмически за линейное время и может быть начерчена с помощью циркуля и линейки. Хотя полигоны Рёло всегда имеют нечетное число сторон, образованных круговыми дугами, возможно построение фигур постоянной ширины с четным числом сторон, образованных круговыми дугами разного радиуса.

Комплекты Янмути

Набор Янмути определяется как выпуклая оболочка равностороннего треугольника вместе с тремя круговыми дугами, центрированными в вершинах треугольника и охватывающими тот же угол, что и треугольник, с равными радиусами, не превышающими длину стороны треугольника. Таким образом, при достаточно малом радиусе эти множества вырождаются в сам равносторонний треугольник, а при максимально возможном радиусе они равны соответствующему треугольнику Рео. Любая фигура с шириной w, диаметром d и внутренним радиусом r (радиусом наибольшей возможной окружности, содержащейся в фигуре) удовлетворяет неравенству, и это неравенство становится равенством для наборов Янмути, что показывает, что его нельзя улучшить.