Кіріспе
Абстракт алгебрадағы теория
Абстракт алгебра және сандар теориясында Кумер теориясы базалық өрістің элементтерінің n-ші түбірлерін қосу арқылы алынатын өріс кеңейтулерінің белгілі бір түрлерін сипаттайды. Бұл теорияны алғаш рет Эрнст Эдуард Кумер 1840 жылдары Ферманың соңғы теоремасы бойынша жасаған новаторлық жұмысында жасаған. Басты тұжырымдар өрістің табиғатына байланысты емес – оның сипаттамасынан басқа, ол n бүтін санын бөлуі керек емес – сондықтан олар абстракт алгебра саласына жатады. Егер K өрісінің сипаттамасы n-ді бөлсе, онда K өрісінің циклдік кеңейтулер теориясы Артин-Шрайер теориясы деп аталады. Кумер теориясы, мысалы, сыныптық өріс теориясында және жалпы алғанда абельдік кеңейтулерді түсінуде маңызды рөл атқарады; ол жеткілікті бірлік түбірлері болған жағдайда циклдік кеңейтулерді түбірлерді шығару арқылы түсінуге болады дейді. Сыныптық өріс теориясындағы басты қиындық – бірліктің артық түбірлерінен бас тарту ("кішірек өрістерге" кері оралу); бұл әлдеқайда күрделі мәселе.
In abstract algebra and number theory, Kummer theory provides a description of certain types of field extensions involving the adjunction of nth roots of elements of the base field. The theory was originally developed by Ernst Eduard Kummer around the 1840s in his pioneering work on Fermat's Last Theorem. The main statements do not depend on the nature of the field – apart from its characteristic, which should not divide the integer n – and therefore belong to abstract algebra. The theory of cyclic extensions of the field K when the characteristic of K does divide n is called Artin–Schreier theory. Kummer theory is basic, for example, in class field theory and in general in understanding abelian extensions; it says that in the presence of enough roots of unity, cyclic extensions can be understood in terms of extracting roots. The main burden in class field theory is to dispense with extra roots of unity ('descending' back to smaller fields); which is something much more serious.
Жалпылау
Болжамдайық, G – модуль A-ға әсер ететін шексіз топ, және G модуліне қатысты π сюръективті гомоморфизм бар. Сондай-ақ, G π ядросы C-ге тривиалды әсер етеді және бірінші когомология тобы H¹(G,A) тривиалды деп есептейік. Топтық когомологияның дәл тізбегі AG/π(AG) пен Hom(G,C) арасында изоморфизм бар екенін көрсетеді. Куммер теориясы – бұл ерекше жағдай, онда A – k өрісінің ажыратылатын жабылуының көбейту тобы, G – Галуа тобы, π – n-ші дәреже картасы, ал C – n-ші бірлік түбірлерінің тобы. Артин-Шрайер теориясы – бұл A – оң мінездемелі p өрісінің k ажыратылатын жабылуының қосу тобы, G – Галуа тобы, π – Frobenius картасы мен бірлікке қатысты айырмасы, ал C – p ретімен шекті өріс. A-ны қысқартылған Витт векторларының сақинасы деп есептесек, Витт Артин-Шрайер теориясын pn экспонентасын бөлетін кеңейтулерге жалпылайды.