Кіріспе
Алгебралық өрістің кеңейтілуі
Математикада, әсіресе абстрактілік алгебрада, K өрісінің алгебралық жабылуы – K өрісінің алгебралық жабық өріс ретіндегі кеңейтілуі. Бұл математикадағы көптеген жабылулардың бірі. Зорн леммасы немесе одан әлсіз ультрафильтр леммасы арқылы кез келген өрістің алгебралық жабылуы бар екені және K өрісінің алгебралық жабылуы K-нің барлық элементтерін сақтайтын изоморфизмге дейін бірегей екені көрсетіледі. Осы маңызды бірегейлігіне байланысты, біз көбінесе K өрісінің алгебралық жабылуы туралы айтамыз, K өрісінің алгебралық жабылуы емес.
K өрісінің алгебралық жабылуын K өрісінің ең үлкен алгебралық кеңейтілуі деп қарастыруға болады. Мұны мысалы, егер L – K өрісінің кез келген алгебралық кеңейтілуі болса, онда L өрісінің алгебралық жабылуы K өрісінің алгебралық жабылуы болады, демек L өрісі K өрісінің алгебралық жабылуына кіреді. K өрісінің алгебралық жабылуы сонымен қатар K өрісін қамтитын ең кіші алгебралық жабық өріс болып табылады, себебі егер M – K өрісін қамтитын кез келген алгебралық жабық өріс болса, онда M өрісінің K өрісіне қатысты алгебралық элементтері K өрісінің алгебралық жабылуын құрайды.
To see this, note that if L is any algebraic extension of K, then the algebraic closure of L is also an algebraic closure of K, and so L is contained within the algebraic closure of K.
The algebraic closure of K is also the smallest algebraically closed field containing K,
because if M is any algebraically closed field containing K, then the elements of M that are algebraic over K form an algebraic closure of K.
K өрісінің алгебралық жабылуы K өрісінің кардиналдығымен бірдей, егер K өрісі шексіз болса, ал K өрісі шекті болса, онда алгебралық жабылу санаулы шексіз болады.
Алгебралық жабылудың және бөлу өрістерінің болуы
K[x] -дегі барлық монологиялық ирредуктивті көптіктер жиыны болсын. Әрбір үшін жаңа айнымалыларды енгіземіз, мұнда R – барлық және барлық үшін K-ға полиномдық сақина болсын. I – R-дегі көптіктермен туындаған идеал болсын. I, R-ден қатаң кіші болғандықтан, Зорн леммасы бойынша I-ды қамтитын R-де максималды идеал M бар. K1=R/M өрісінің қасиеті бойынша, K коэффициенттері бар кез келген полином көбейтіндісі ретінде бөлінеді, демек, оның барлық түбірлері K1-де жатады. Сол сияқты, K1-дің K2 кеңейтімін құрастыруға болады, т.с.с. Осы кеңейтімдердің бірігуі K-нің алгебралық жабылуы болып табылады, себебі осы жаңа өрісте коэффициенттері бар кез келген полиномның коэффициенттері жеткілікті үлкен n үшін кейбір Kn-де болады, содан кейін оның түбірлері Kn+1-де, демек, өзінің бірігуінде жатады. Осыған ұқсас жолмен, K[x] кез келген S жиыны үшін S-тің K үстінде бөліну өрісінің бар екенін көрсетуге болады.
with Let I be the ideal in R generated by the Since I is strictly smaller than R,
Zorn's lemma implies that there exists a maximal ideal M in R that contains I. The field K1=R/M has the property that every polynomial with coefficients in K splits as the product of and hence has all roots in K1. In the same way, an extension K2 of K1 can be constructed, etc. The union of all these extensions is the algebraic closure of K, because any polynomial with coefficients in this new field has its coefficients in some Kn with sufficiently large n, and then its roots are in Kn+1, and hence in the union itself. It can be shown along the same lines that for any subset S of K[x], there exists a splitting field of S over K.
Ажырастырылатын жабу
K-нің алгебралық жабылуы Kalg, K-нің барлық (алгебралық) ажыратылатын кеңейтулерін қамтитын K-нің бірегей ажыратылатын кеңейтуін Ksep қамтиды. Бұл кіші кеңейту K-нің ажыратылатын жабылуы деп аталады. Ажыратылатын кеңейтудің тағы бір ажыратылатын кеңейтуі қайтадан ажыратылатындықтан, Ksep-тің > 1 дәрежелі шекті ажыратылатын кеңейтулері жоқ. Басқаша айтқанда, K ажыратылатын жабық алгебралық кеңейту өрісінде орналасқан. Ол бірегей (изоморфизмге дейін). Ажыратылатын жабылу толық алгебралық жабылумен сәйкес келеді, егер және тек қана K кемелді өріс болса. Мысалы, егер K р сипаттамасының өрісі болса және X K-ге трансцендентті болса, онда ол ажыратылмайтын алгебралық өріс кеңейтілуі болып табылады. Жалпы, K-нің абсолютті Галуа тобы – Ksep-тің K үстіндегі Галуа тобы.