Кіріспе

Кішірек өріске "элементтер қосу" арқылы үлкен алгебралық өріс құрастыру. Математикада, әсіресе алгебрада, өріс кеңейтілуі (белгісімен ) – өрістер жұбы, мұнда K-ның амалдары L-ға шектелгендегі амалдармен сәйкес келеді. Бұл жағдайда L – K өрісінің кеңейтілуі, ал K – L өрісінің ішкі өрісі. Мысалы, әдеттегі қосу және көбейту ұғымдары бойынша, кешенді сандар нақты сандардың кеңейтілуі болып табылады; нақты сандар кешенді сандардың ішкі өрісі болып табылады. Өріс кеңейтілулері алгебралық сандар теориясында және Галуа теориясы арқылы полином түбірлерін зерттеуде маңызды рөл атқарады, сондай-ақ алгебралық геометрияда кеңінен қолданылады.

Қосалқы өріс

Өрістің кіші өрісі – өріс операциялары мұрагерлікпен алынғанда өріс болатын жиынның ішкі жиыны. Басқаша айтқанда, кіші өріс – қосымша, азайту, көбейту және нөлдік емес элементтің кері шамасын алу операциялары бойынша жабық болатын және кіріктіретін жиын. 1=1 – 1 = 0 болғандықтан, екінші анықтама бойынша және бірдей нөлдік элементке ие. Мысалы, рационал сандар өрісі – нақты сандардың кіші өрісі, ал ол өзі кешенді сандардың кіші өрісі. Көбінесе, рационал сандар өрісі – кез келген сипаттамасы бар өрістің кіші өрісі (немесе оған изоморфты). Кіші өрістің сипаттамасы үлкен өрістің сипаттамасына тең.

Кеңейту өрісі

Егер K, L-дің ішкі өрісі болса, онда L – кеңейтім өріс немесе жай ғана K-нің кеңейтілуі, ал осы өрістер жұбы – өрістің кеңейтілуі болып табылады. Мұндай өрістің кеңейтілуі (оқылатыны "L over K") деп белгіленеді. Егер L, F-тің кеңейтілуі болса, ал F өз кезегінде K-нің кеңейтілуі болса, онда F – аралық өріс (немесе аралық кеңейтім немесе ішкі кеңейтім) деп аталады. кеңейтімді қарастыра отырып, үлкен өріс L, K векторлық кеңістігі болып табылады. Бұл векторлық кеңістіктің өлшемі кеңейтімнің дәрежесі деп аталады және деп белгіленеді.

Кеңейтімнің дәрежесі 1-ге тең, егер және тек қана екі өріс тең болса. Бұл жағдайда кеңейтім – . 2-дәрежелі және 3-дәрежелі кеңейтімдер тиісінше квадраттық және кубтық кеңейтімдер деп аталады. Шектелген кеңейтім – шекті дәрежесі бар кеңейтім. Екі кеңейтім және берілгенде, кеңейтімі шектелген болады, егер және тек қана және екі кеңейтім де шектелген болса. Бұл жағдайда, біз аламыз.

кеңейтімді және L-дің S ішкі жиыны берілгенде, K және S-ті қамтитын L-дің ең кіші ішкі өрісі бар. Бұл K және S-ті қамтитын L-дің барлық ішкі өрістерінің қиылысы болып табылады және K(S) (оқылатыны "K S") деп белгіленеді. K(S) – S-тің K үстінен туындаған өрісі және S – K(S)-тің K үстінен туындаған жиыны деп айтылады. Егер шектелген болса, онда орнына жазылады және K(S) – K үстінен деп айтылады. Егер S бір элементтен – s-тен тұрса, онда K(s)/K кеңейтімі қарапайым кеңейтім деп аталады және s – кеңейтімнің түпнұсқалық элементі деп аталады. K(S) түріндегі кеңейтім өрісі көбінесе S-тің K-ға қосылуынан туындайды.

Сипаттамасы 0 болғанда, әрбір шектелген кеңейтім қарапайым кеңейтім болып табылады. Бұл – түпнұсқалық элемент теоремасы, ол нөлдік емес сипаттамасы бар өрістер үшін дұрыс емес. Егер K(s)/K қарапайым кеңейтімі шектелмесе, онда K(s) өрісі s үстінен K-дағы рационалды бөлшектер өрісіне изоморфты болады.

Қақпақтар

L / K белгісі тек формалды және ол үлестік сақина, үлестік топ немесе басқа да бөліністерді білдірмейді. Оның орнына, сызықша "үстінен" дегенді білдіреді. Кейбір әдебиеттерде L:K белгісі қолданылады. Кіші өріс үлкен өрісте міндетті түрде қамтылмаған, бірақ табиғи түрде енгізілген жағдайларда өріс кеңейту туралы сөйлеу жиі қажет болады. Осы мақсатта, өріс кеңейтуі екі өріс арасындағы инъективті сақина гомоморфизмі ретінде абстрактілі түрде анықталады. Өрістер арасындағы нөлдік емес кез келген сақина гомоморфизмі инъективті болады, себебі өрістерде тривиалды емес дұрыс идеалдар жоқ. Сондықтан, өріс кеңейтулері – өрістер санатындағы морфизмдердің өзі. Енді бұдан былай инъективті гомоморфизмді ескермейміз және біз нақты кіші өрістермен жұмыс істеп жатырмыз деп қабылдаймыз.

Алгебралық кеңейту

Егер өріс кеңейтуінің x элементі K-де коэффициенттері бар нөлдік емес полиномның түбірі болса, онда ол K-ге алгебралық болады. Мысалы, √2 рационалдық сандарға қатысты алгебралық болады, себебі ол x² - 2 полиномының түбірі. Егер L элементі x, K-ге алгебралық болса, онда x түбірін қамтитын ең төменгі дәрежелі мономиалды полином x-тің минималды полиномы деп аталады. Бұл минималды полином K-ге қатысты ирредуктивті болады.

L элементі s, K-ге алгебралық болады, егер және тек қана K(s)/K қарапайым кеңейтуі шекті кеңейту болса. Бұл жағдайда кеңейту дәрежесі минималды полиномның дәрежесіне тең, ал K векторлық кеңістігінің негізі K(s)-та d-ге дейін, мұнда d – минималды полиномның дәрежесі. L элементтерінің K-ге алгебралық болатын жиынтығы субкеңейту құрайды, ол L-дегі K-нің алгебралық жабылуы деп аталады. Бұл алдыңғы сипаттамадан туындайды: егер s және t алгебралық болса, онда K(s)/K және K(s)(t)/K(s) кеңейтулері шекті болады. Осылайша K(s, t)/K, сондай-ақ K(s ± t)/K, K(st)/K және K(1/s)/K (егер s ≠ 0) субкеңейтулері де шекті. Осыдан s ± t, st және 1/s – барлығы алгебралық екені шығады. Алгебралық кеңейту – бұл L-дің әрбір элементі K-ге алгебралық болатын кеңейту. Басқаша айтқанда, алгебралық кеңейту – алгебралық элементтермен туындаған кеңейту. Мысалы, ℂ өрісі ℝ өрісінің алгебралық кеңейтуі болып табылады, себебі i және √2 алгебралық болып табылады.

Қарапайым кеңейту алгебралық болады, егер және тек қана шекті болса. Бұл кеңейту алгебралық екенін, егер және тек қана ол өзінің шекті субкеңейтулерінің бірігімі болса, және әрбір шекті кеңейту алгебралық екенін білдіреді. Кез келген өріс K алгебралық жабылуға ие, ол изоморфизмге дейін K-ге алгебралық болатын K-нің ең үлкен кеңейту өрісі, сонымен қатар K-дегі коэффициенттері бар кез келген полиномның түбірі болатын ең кіші кеңейту өрісі. Мысалы, ℂ өрісі ℝ өрісінің алгебралық жабылуы болып табылады, бірақ ℚ өрісінің алгебралық жабылуы емес, себебі ол ℚ өрісіне қатысты алгебралық емес (мысалы, e саны ℚ өрісіне қатысты алгебралық емес).

Трансценденталды кеңейту

Өрістің кеңейтуін ескере отырып, L-дің S жиыны K-ға алгебралық тәуелсіз деп аталады, егер S элементтері арасында K коэффициенттері бар тривиальды емес полиномдық қатынас болмаса. Алгебралық тәуелсіз жиынның ең үлкен кардиналдығы L/K-ның трансценденттік дәрежесі деп аталады. K-ға алгебралық тәуелсіз S жиынын табу әрқашан мүмкін, сонда L/K(S) алгебралық болады. Мұндай S жиыны L/K-ның трансценденттік негізі деп аталады. Барлық трансценденттік негіздердің бірдей кардиналдылығы бар, ол кеңейтудің трансценденттік дәрежесіне тең. Егер және тек қана L = K(S) болатындей трансценденттік негіз S болса, онда кеңейту таза трансценденттік деп аталады. Мұндай кеңейтудің қасиеті бар: L-дің барлық элементтері, K-ның элементтерінен басқасы, K-ға трансценденттік, бірақ, осы қасиетке ие болса да, таза трансценденттік емес кеңейтулер де бар – мұндай кеңейтулердің класы L/K түрінде болады, мұнда L және K екеуі де алгебралық жабық. Егер L/K таза трансценденттік болса және S кеңейтудің трансценденттік негізі болса, онда міндетті түрде L = K(S) бола бермейді. Керісінше, тіпті трансценденттік негіз белгілі болғанда да, кеңейтудің таза ажыратылатынын анықтау қиын болуы мүмкін, және егер ажыратылатын болса, L = K(S) болатын трансценденттік негізді S табу қиын болуы мүмкін. Мысалы, кеңейтуді қарастырайық, мұнда x, y-ға трансценденттік және y теңдеудің түбірі болып табылады. Мұндай кеңейтуді x және y эквиваленттік кластары ретінде анықтауға болады. Әрине, {x} жиыны y-ға трансценденттік және кеңейту алгебралық; сондықтан, кеңейтуді тудырмайтын трансценденттік негіз. Сол сияқты, {y} да кеңейтудің барлығын тудырмайтын трансценденттік негіз. Алайда, кеңейту таза трансценденттік, себебі егер бір жиын {x, y} болса, онда x және y бар, және осылайша кеңейтудің барлығы туындайды. Алгебралық жабық өрістің таза трансценденттік кеңейтулері рационалдық сорттардың функциялық өрістері ретінде пайда болады. Рационалды сорттың рационалды параметрленуін табу мәселесі, кеңейтудің барлығын тудыратын трансценденттік негізді табу мәселесімен эквивалентті.

Қалыпты, ажыратылатын және Галуа ұзартулары

Алгебралық кеңейту норма деп аталады, егер K[X]-дегі L-де түбірі бар әрбір ирредуктивті көпмүше L-де сызықтық факторларға толықтай жіктелсе. Кез келген F/K алгебралық кеңейту L нормалық жабылуға ие, ол F-тің кеңейту өрісі болып табылады, бұл кеңейту норма болып табылады және осы қасиет бойынша минималды. Алгебралық кеңейту бөлінетін деп аталады, егер L / K әрбір элементінің ең төменгі дәрежелі көпмүшесі бөлінетін болса, яғни K-ге алгебралық жабылуда қайталанбайтын түбірлері болмаса. Галуа кеңейтуі – бұл норма және бөлінетін өріс кеңейтуі. Бастапқы элемент теоремасының салдары ретінде, кез келген шекті бөлінетін кеңейтуде бастапқы элемент болады (яғни қарапайым). Кез келген өріс кеңейтуі үшін, оның автоморфизмдер тобын қарастыруға болады, ол α: L → L түріндегі барлық өріс автоморфизмдерінен тұрады, мұнда α(x) = x барлық x ∈ K үшін. Егер кеңейту Галуа болса, онда бұл автоморфизмдер тобы кеңейтудің Галуа тобы деп аталады. Галуа тобы абельдік болатын кеңейтулер абельдік кеңейтулер деп аталады. Берілген өріс кеңейтуі үшін, көбінесе аралық өрістерге (K-ні қамтитын L-нің кіші өрістері) қызығушылық танытады. Галуа кеңейтулері мен Галуа топтарының маңыздылығы – олар аралық өрістерді толық сипаттауға мүмкіндік береді: аралық өрістер мен Галуа тобының кіші топтары арасында, Галуа теориясының негізгі теоремасымен сипатталған, бір-бірге сәйкестік бар.

Жалпылау

Өріс кеңейтулерін сақина кеңейтулеріне жалпылауға болады, олар сақинадан және оның біршеші сақинасынан тұрады. Оған жақын коммутативті емес аналог – орталық қарапайым алгебралар (ОҚА) – өріс үстіндегі сақина кеңейтулері, олар қарапайым алгебра (тривиалды емес екі жақты идеалдар жоқ, өріс сияқты) және сақинаның орталығы дәл өріс болады. Мысалы, нақты сандардың жалғыз шекті өріс кеңейтуі – кешенді сандар, ал кватерниондар – нақты сандар үстіндегі орталық қарапайым алгебра, ал нақты сандар үстіндегі барлық ОҚА – Брауэр эквиваленттілігі бойынша нақты сандарға немесе кватерниондарға тең. ОҚА-ны Azumaya алгебраларына одан әрі жалпылауға болады, онда базалық өрістің орнына коммутативті жергілікті сақина қолданылады.

Скалярлардың кеңейтілуі

Өріс кеңейтуін ескере отырып, байланысты алгебралық объектілердің скалярларын кеңейтуге болады. Мысалы, нақты векторлық кеңістік берілген жағдайда, кешенділеу арқылы кешенді векторлық кеңістік құруға болады. Векторлық кеңістіктерден басқа, өрісте анықталған ассоциативтік алгебралар үшін де скалярларды кеңейтуді орындауға болады, мысалы, полиномдар немесе топтық алгебралар және олармен байланысты топтық өкілдіктер. Полиномдардың скалярларын кеңейту көбінесе коэффициенттерді үлкен өрістің элементтері ретінде қарастыру арқылы ашық түрде қолданылады, бірақ оны формалдырақ қарастыруға да болады. Скалярларды кеңейтудің көптеген қолданыстары бар, олар "Скалярларды кеңейту: қолданыстары" бөлімінде талқыланған.