Кіріспе
Алгебралық құрылымда қосу, көбейту және бөлу Алгебралық құрылым
an algebraic structure
Математикада өріс – қосу, алу, көбейту және бөлу амалдары анықталған және рационал және нақты сандардағы сәйкес амалдар сияқты қасиеттерге ие жиын. Осылайша, өріс – алгебрада, сандар теориясында және математиканың көптеген басқа салаларында кеңінен қолданылатын негізгі алгебралық құрылым. Ең белгілі өрістер – рационал сандар өрісі, нақты сандар өрісі және кешенді сандар өрісі. Рационал функциялар, алгебралық функциялар, алгебралық сандар және p-адикалық өрістер сияқты көптеген басқа өрістер математикада, әсіресе сандар теориясы мен алгебралық геометрияда жиі қолданылады және зерттеледі. Көптеген криптографиялық протоколдар шекті өрістерге, яғни шекті сандағы элементтері бар өрістерге сүйенеді. Өрістер теориясы бұрышты үш бөлікке бөлу және шеңберді квадраттауды циркуль мен сызғыш көмегімен орындау мүмкін емес екенін дәлелдейді. Өріс кеңейтімдерінің симметриясын зерттейтін Галуа теориясы, Абель-Руффини теоремасының көркем дәлелін ұсынады, ол бойынша жалпы бесінші дәрежелі теңдеулерді радикалдар арқылы шешуге болмайды. Өрістер математиканың бірнеше саласында негізгі ұғым ретінде қызмет етеді. Бұл, қосымша құрылымдарға негізделген математикалық талдаудың түрлі салаларын қамтиды. Талдаудағы негізгі теоремалар нақты сандар өрісінің құрылымдық қасиеттеріне тікелей байланысты. Алгебралық мақсаттар үшін ең маңыздысы, кез келген өріс векторлық кеңістіктің скалярлары ретінде қолданылуы мүмкін, бұл сызықтық алгебраның стандартты жалпы контексі болып табылады. Рационал сандар өрісінің "туындары" сандар теориясында жан-жақты зерттеледі. Функциялық өрістер геометриялық нысандардың қасиеттерін сипаттауға көмектеседі.
Классикалық анықтама
Формальды түрде, өріс – F жиыны, F-де екі екілік операциямен бірге, қосу және көбейту деп аталады. F жиынындағы екілік операция – F × F → F бейнелеуі, яғни F элементтерінің әрбір реттелген жұбына F-тің бірегей анықталған элементін сәйкес келтіретін сәйкестік. a және b-ні қосу нәтижесі a және b-нің қосындысы деп аталады және a + b деп белгіленеді. Сол сияқты, a және b-ні көбейту нәтижесі a және b-нің көбейтіндісі деп аталады және ab немесе a ⋅ b деп белгіленеді. Бұл операциялар келесі қасиеттерді қанағаттандыруы керек, олар өріс аксиомалары деп аталады (осы аксиомаларда a, b және c – өріс F-тің кез келген элементтері):
Associativity of addition and multiplication: 1=a + (b + c) = (a + b) + c, and 1=a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c.
Commutativity of addition and multiplication: 1=a + b = b + a, and 1=a ⋅ b = b ⋅ a. Additive and multiplicative identity: there exist two distinct elements 0 and 1 in F such that 1=a + 0 = a and 1=a ⋅ 1 = a. Additive inverses: for every a in F, there exists an element in F, denoted −a, called the additive inverse of a, such that 1=a + (−a) = 0. Multiplicative inverses: for every a ≠ 0 in F, there exists an element in F, denoted by a^(−1) or 1/a, called the multiplicative inverse of a, such that 1=a ⋅ a^(−1) = 1. Distributivity of multiplication over addition: 1=a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c). An equivalent, and more succinct, definition is: a field has two commutative operations, called addition and multiplication; it is a group under addition with 0 as the additive identity; the nonzero elements are a group under multiplication with 1 as the multiplicative identity; and multiplication distributes over addition. Even more succinctly: a field is a commutative ring where 0 ≠ 1 and all nonzero elements are invertible under multiplication.
Қосу мен көбейтудің ассоциативтілігі: a + (b + c) = (a + b) + c және a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c.
Қосу мен көбейтудің коммутативтілігі: a + b = b + a және a ⋅ b = b ⋅ a.
Қосымша және көбейту сәйкестігі: F-де екі түрлі элемент 0 және 1 бар, мұнда a + 0 = a және a ⋅ 1 = a.
Қосымша кері шамалар: F-дегі әрбір a үшін -a деп белгіленетін F-дегі элемент бар, ол a-ның қосымша кері шамасы деп аталады, мұнда a + (−a) = 0.
Көбейту кері шамалары: F-дегі әрбір a ≠ 0 үшін a^(−1) немесе 1/a деп белгіленетін F-дегі элемент бар, ол a-ның көбейту кері шамасы деп аталады, мұнда a ⋅ a^(−1) = 1.
Көбейтудің қосуға қатысты үлестірілуі: a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c).
Associativity of addition and multiplication: 1=a + (b + c) = (a + b) + c, and 1=a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c.
Commutativity of addition and multiplication: 1=a + b = b + a, and 1=a ⋅ b = b ⋅ a. Additive and multiplicative identity: there exist two distinct elements 0 and 1 in F such that 1=a + 0 = a and 1=a ⋅ 1 = a. Additive inverses: for every a in F, there exists an element in F, denoted −a, called the additive inverse of a, such that 1=a + (−a) = 0. Multiplicative inverses: for every a ≠ 0 in F, there exists an element in F, denoted by a^(−1) or 1/a, called the multiplicative inverse of a, such that 1=a ⋅ a^(−1) = 1. Distributivity of multiplication over addition: 1=a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c). An equivalent, and more succinct, definition is: a field has two commutative operations, called addition and multiplication; it is a group under addition with 0 as the additive identity; the nonzero elements are a group under multiplication with 1 as the multiplicative identity; and multiplication distributes over addition. Even more succinctly: a field is a commutative ring where 0 ≠ 1 and all nonzero elements are invertible under multiplication.
Балама, және ықшам анықтама: өріс – қосу және көбейту деп аталатын екі коммутативтік операцияға ие; ол 0-ге қосымша сәйкестігі бар қосу бойынша топ; нөлдік емес элементтер 1-ге көбейту сәйкестігі бар көбейту бойынша топ; және көбейту қосуға қатысты үлестіріледі. Одан да ықшамдап айтқанда: өріс – 0 ≠ 1 және барлық нөлдік емес элементтер көбейту бойынша инверттенетін коммутативтік сақина.
Associativity of addition and multiplication: 1=a + (b + c) = (a + b) + c, and 1=a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c.
Commutativity of addition and multiplication: 1=a + b = b + a, and 1=a ⋅ b = b ⋅ a. Additive and multiplicative identity: there exist two distinct elements 0 and 1 in F such that 1=a + 0 = a and 1=a ⋅ 1 = a. Additive inverses: for every a in F, there exists an element in F, denoted −a, called the additive inverse of a, such that 1=a + (−a) = 0. Multiplicative inverses: for every a ≠ 0 in F, there exists an element in F, denoted by a^(−1) or 1/a, called the multiplicative inverse of a, such that 1=a ⋅ a^(−1) = 1. Distributivity of multiplication over addition: 1=a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c). An equivalent, and more succinct, definition is: a field has two commutative operations, called addition and multiplication; it is a group under addition with 0 as the additive identity; the nonzero elements are a group under multiplication with 1 as the multiplicative identity; and multiplication distributes over addition. Even more succinctly: a field is a commutative ring where 0 ≠ 1 and all nonzero elements are invertible under multiplication.
Баламалы анықтама
Өрістерді әр түрлі, бірақ эквивалентті жолдармен анықтауға болады. Өрісті төрт бинарлық операция (қосу, алу, көбейту және бөлу) және олардың қажетті қасиеттері арқылы анықтауға болады. Нөлге бөлу, анықтама бойынша, қабылданбайды. Экзистенциалдық кванторларды болдырмау үшін өрістерді екі бинарлық операциямен (қосу және көбейту), екі унарлық операциямен (қосымша және көбейтуге кері шарттарды беру үшін) және екі нөлдік операциямен (тұрақтылар 0 және 1) анықтауға болады. Бұл операциялар жоғарыда аталған шарттарға бағынады. Экзистенциалдық кванторлардан аулақ болу конструктивті математика және есептеулер үшін маңызды. Сондай-ақ, өрісті екі бинарлық операциямен, бір унарлық операциямен (көбейтуге кері шарт) және екі (бір-бірінен әртүрлі болуы міндетті емес) тұрақты 1 және -1 арқылы анықтауға болады, себебі 1=0 = 1 + (−1) және 1=−a = (−1)a.
Құрастырылатын сандар
Ежелгі дәуірде бірнеше геометриялық мәселелер компас пен түзу сызықпен белгілі бір сандарды салу мүмкіндігіне (немесе мүмкін еместігіне) қатысты болды. Мысалы, гректерге белгілі бір бұрышты осылайша үш бөлікке бөлудің жалпы жағдайда мүмкін емес екені белгісіз болды. Бұл мәселелерді құрастырылатын сандар теориясын қолдану арқылы шешуге болады. Нақты құрастырылатын сандар – бұл, анықтама бойынша, 0 және 1 нүктелерінен тек компас пен түзу сызықты пайдалана отырып, шекті санда салынатын сызық сегменттерінің ұзындығы. Бұл сандар, нақты сандардың өріс операцияларымен жабдықталған және құрастырылатын сандармен шектелген, өріс құрайды, ол рационал сандардың "Q" өрісін қамтиды. Суретте "Q" өрісіне кірмейтін құрастырылатын сандардың квадрат түбірлерін салу көрсетілген. Суреттегі белгілеулерді пайдаланып, AB, BD сегменттерін және AD-нің үстінен (ортасы C нүктесінде болатын) жарты шеңберді салыңыз, ол B нүктесінен өтетін перпендикулярмен F нүктесінде қиылысады, ал BD сегментінің ұзындығы бірге тең болғанда, B нүктесінен дәл қашықтықта болады. Барлық нақты сандар құрастырыла бермейді. π саны құрастырылатын сан емес екенін көрсетуге болады, бұл көлемі 2-ге тең кубтың қабырғасының ұзындығын компас пен түзу сызықпен салудың мүмкін емес екенін білдіреді – бұл ежелгі гректер қойған тағы бір мәселе.
Бастапқы түсініктер
Осы бөлімде F кез келген өрісті, ал a және b – F өрісінің кез келген элементтерін білдіреді.
Даланың қосқыш және көбейтуші топтары
F өрісінің аксиомалары оның қосу бойынша абельдік топ екенін көрсетеді. Бұл топ өрістің аддитивті тобы деп аталады және кейде оны жай ғана F деп белгілеген кезде (F, +) деп белгіленеді, себебі F шатасуға мүмкіндік береді. Сол сияқты, F-тің нөлдік емес элементтері көбейту бойынша абельдік топты құрайды, ол көбейтуші топ деп аталады және оны немесе жай , немесе F^(×) деп белгілейді. Осылайша, өріс – қосу және көбейту деп белгіленген екі операциямен жабдықталған F жиыны ретінде анықталады, мұнда F қосу бойынша абельдік топ, – көбейту бойынша абельдік топ (мұнда 0 – қосудың нейтраль элементі), ал көбейту қосу бойынша үлестіріледі. Сондықтан, топтардың жалпы қасиеттерін қолдану арқылы өрістер туралы кейбір қарапайым тұжырымдар алуға болады. Мысалы, аддитивті және мультипликативті кері шамалар –a және a^(-1) a арқылы бірегей түрде анықталады. 1 ≠ 0 шарты бір ғана элементтен тұратын тривиалды сақинаны жою үшін конвенция бойынша қойылады; бұл өрістерді анықтайтын аксиомаларды таңдаудағы басшылыққа алынады. Өрістің көбейту тобының кез келген шекті кіші тобы циклдік болып табылады (қ. ).
Ішкі өрістер мен негізгі өрістер
F өрісінің E қосалқы өрісі – F өрісінің ішкі жиыны, өріс операцияларына қатысты өріс болып табылады. Басқаша айтқанда, E – F өрісінің 1-ді қамтитын, қосу, көбейту, қосымша кері және нөлден өзге элементтің көбейтінді керісі бойынша жабық ішкі жиыны. Яғни, 1 ∈ E, кез келген a, b ∈ E үшін a + b және a ⋅ b екеуі де E-де, ал кез келген a ≠ 0 үшін E-де, -a және 1/a екеуі де E-де болады. Өріс гомоморфизмдері – екі өріс арасындағы φ: E → F бейнелеулер, мұнда 1=φ(e1 + e2) = φ(e1) + φ(e2), 1=φ(e1e2) = φ(e1) ⋅ φ(e2), және 1=φ(1E) = 1F, егде e1 және e2 – E-нің кез келген элементтері. Барлық өріс гомоморфизмдері инъективті. Егер φ сонымен қатар сюръективті болса, онда ол изоморфизм деп аталады (немесе E және F өрістері изоморфты деп аталады). Егер өрісте тиісті (яғни, кіші) қосалқы өрістер болмаса, ол жай өріс деп аталады. Кез келген F өрісі жай өрісті қамтиды. Егер F-тің сипаттамасы p (жай сан) болса, онда жай өріс төменде келтірілген 'F'p шекті өрісіне изоморфты болады. Әйтпесе, жай өріс 'Q'-ға изоморфты.
Field homomorphisms are maps φ: E → F between two fields such that 1=φ(e1 + e2) = φ(e1) + φ(e2), 1=φ(e1e2) = φ(e1) φ(e2), and 1=φ(1E) = 1F, where e1 and e2 are arbitrary elements of E. All field homomorphisms are injective. If φ is also surjective, it is called an isomorphism (or the fields E and F are called isomorphic). A field is called a prime field if it has no proper (i. e., strictly smaller) subfields. Any field F contains a prime field. If the characteristic of F is p (a prime number), the prime field is isomorphic to the finite field 'F'p introduced below. Otherwise the prime field is isomorphic to 'Q'.
Саябақтарды сақиналардан құрастыру
Коммутативті сақина – қосу және көбейту операцияларымен жабдықталған, a^(−1) көбейтуге кері элементтерінің болуын қоспағанда, өрістің барлық аксиомаларын қанағаттандыратын жиын. Мысалы, "Z" бүтін сандары коммутативті сақина құрайды, бірақ өріс емес: егер n бүтін санының керісі 1=n = ±1 болмаса, онда ол өзі бүтін сан емес. Алгебралық құрылымдардың иерархиясында өрістерді әрбір нөлдік емес элементі бірлік болатын (яғни, әрбір элементі кері айналатын) R коммутативті сақиналары ретінде сипаттауға болады. Сондай-ақ, өрістер – дәл екі ерекше идеалға (0) және R ие болатын коммутативті сақиналар. Өрістер сонымен қатар (0) жалғыз жай идеал болатын коммутативті сақиналар болып табылады. Берілген R коммутативті сақинасы үшін, R-ге қатысты өріс құрудың екі жолы бар, яғни R-ді барлық нөлдік емес элементтері кері айналатындай өзгертудің екі жолы: бөлшектер өрісін құру және қалдық өрістерін құру. "Z" бөлшектерінің өрісі "Q" – рационал сандар, ал "Z" қалдық өрістері – "F"p шекті өрістері болып табылады.
Қиындықтар өрісі
R интегралды домен болған жағдайда, оның Q(R) бөлшектер өрісі R-дің екі элементінің бөлшектері арқылы, бүтін сандардан Q құрылғандай құрылады. Нақтырақ айтқанда, Q(R) элементтері a/b түріндегі бөлшектер болып табылады, мұнда a және b R-ге жатады, ал b ≠ 0. Екі бөлшек a/b және c/d тең болады, егер және ғана егер ad = bc болса. Бөлшектермен жасалатын амалдар рационал сандардағыдай орындалады. Мысалы, сақина интегралды домен болса, бөлшектер жиыны өріс құрайтынын көрсету оңай. F(x) өрісі, F өрісі (немесе интегралды домен) арқылы рационалды бөлшектердің өрісі, F[x] полиномдық сақинаның бөлшектер өрісі болып табылады. F((x)) өрісі, F өрісі арқылы Лоран қатарларының өрісі, F[[x]] формальды қуат қатарлары сақинасының бөлшектер өрісі болып табылады (мұнда k ≥ 0). Кез келген Лоран қатары қуат қатарын x-тің дәрежесіне бөлгенде алынатын бөлшек болып табылатындықтан, бұл жағдайда бөлшектердің көрсетілуі осылай маңызды емес.
It is straightforward to show that, if the ring is an integral domain, the set of the fractions form a field. The field F(x) of the rational fractions over a field (or an integral domain) F is the field of fractions of the polynomial ring F[x]. The field F((x)) of Laurent series
over a field F is the field of fractions of the ring F[[x]] of formal power series (in which k ≥ 0). Since any Laurent series is a fraction of a power series divided by a power of x (as opposed to an arbitrary power series), the representation of fractions is less important in this situation, though.
Үлкен алаңның ішінде алаңдарды салу
Өрістерді берілген үлкен контейнер өрісінің ішінде құруға болады. Егер E өрісі және E-ді қосалқы өріс ретінде қамтитын F өрісі берілген болса, F-тің кез келген x элементі үшін E және x элементтерін қамтитын F-тің ең кіші қосалқы өрісі болады, ол F-тің x элементімен құрылған қосалқы өрісі деп аталады және E(x) деп белгіленеді. E-ден E(x) өрісіне өту, x элементін E өрісіне қосу арқылы жүзеге асырылады. Көбінесе, егер S – F өрісінің кез келген ішкі жиыны болса, онда E және S элементтерін қамтитын F өрісінің минималды қосалқы өрісі бар, ол E(S) деп белгіленеді. Екі E және F қосалқы өрістерінің композитумы – F өрісінің E және F екеуін де қамтитын ең кіші өрісі. Композитумды белгілі бір қасиетті қанағаттандыратын F өрісінің ең үлкен өрісін құру үшін пайдалануға болады, мысалы, төменде ұсынылған терминологияда E өрісіне алгебралық болатын F өрісінің ең үлкен өрісі.
Трансценденттік негіздер
Жоғарыда аталған рационалды бөлшектер өрісі E(X), мұндағы X – белгісіз, E өрісінің алгебралық кеңейтілуі емес, себебі E коэффициенттері бар полиномиалдық теңдеудің түбірі X бола алмайды. Алгебралық емес элементтер, мысалы X, трансценденттік деп аталады. Шартты түрде айтқанда, белгісіз X және оның дәрежелері E өрісінің элементтерімен өзара әрекеттеспейді. Дәл осындай құрылымды бір белгісіз элементтің орнына белгісіз элементтер жиынымен де жүзеге асыруға болады. Еске сала кетейік, жоғарыда талқыланған E(x) / E өрісінің кеңейтілуі маңызды мысал болып табылады: егер x алгебралық болмаса (яғни, x – E коэффициенттері бар полиномның түбірі емес), онда E(x) өрісі E(X) өрісіне изоморфты. Бұл изоморфизмді рационалды бөлшектерде x-ті X-ке алмастыру арқылы алуға болады. F өрісінің S ішкі жиыны трансценденттік негіз болып табылады, егер ол E өрісіне қатысты алгебралық тәуелсіз болса (яғни, E бойынша ешқандай полиномиалдық қатынасты орындамаса) және егер F өрісі E(S) өрісінің алгебралық кеңейтілуі болса. Кез келген өріс кеңейтілуі F / E үшін трансценденттік негіз болады. Осылайша, өріс кеңейтілулерін E(S) / E (таза трансценденттік кеңейтілулер) және алгебралық кеңейтілулер деп бөлуге болады.
Қосымша құрылымды өрістер
Өрістер математикада және одан тыс салаларда кең таралғандықтан, осы ұғымның бірнеше түрленуі нақты математикалық салалардың қажеттіліктеріне сәйкес келтірілген.
Дифференциалдық өрістер
Дифференциалдық өрістер – туындымен жабдықталған өрістер, яғни өрістегі элементтердің туындыларын есептеуге мүмкіндік береді. Мысалы, R(X) өрісі, полиномдардың стандартты туындысымен бірге дифференциалдық өріс құрайды. Бұл өрістер дифференциалдық Галуа теориясының орталық ұғымы болып табылады, ол – сызықты дифференциалдық теңдеулермен айналысатын Галуа теориясының бір түрі.
Өрістердің өзгермейтіндері
F өрісінің негізгі инварианттары – оның сипаттамасы және негізгі өрісі үстінен F-тің трансценденттік дәрежесі. Екіншісі – негізгі өріс үстінен алгебралық тәуелсіз элементтердің F-дегі ең көп саны ретінде анықталады. Екі алгебралық жабық өріс E және F осы екі мәлімет сәйкес келсе ғана изоморфты болады. Бұл, бірдей кардиналдылығы және бірдей сипаттамасы бар кез келген екі санауға болмайтын алгебралық жабық өріс изоморфты екенін білдіреді. Мысалы, және 'C' изоморфты (бірақ топологиялық өрістер ретінде изоморфты емес).
Абсолюттік Галуа тобы
Алгебралық жабық емес (немесе ажыратылмай жабық) өрістер үшін абсолютті Галуа тобы Gal(F) маңызды рөл атқарады: жоғарыда сипатталған шекті Галуа кеңейтулер жағдайын кеңейте отырып, бұл топ F-тің барлық шекті ажыратылатын кеңейтулерін басқарады. Элементарлық тәсілдермен Gal(Fq) тобының Пруфер тобы болатынын көрсетуге болады, ол Z-ның про-конектік толықтануы болып табылады. Бұл тұжырым Gal(Fq) тобының жалғыз алгебралық кеңейтулері n > 0 үшін Gal(Fq^n) өрістері екенін және осы шекті кеңейтулердің Галуа топтары 1 = Gal(Fq^n / Fq) = Z/nZ түрінде берілетінін қамтиды. p-адикалық сандық өрістердің (Qp-нің шекті кеңейтулері) Галуа топтарын генераторлар мен қатынастар арқылы сипаттау да белгілі. Галуа топтарының және Вейль тобы сияқты байланысты топтардың өкілдіктері арифметиканың көптеген салаларында, мысалы Лэнглендс бағдарламасында маңызды роль атқарады. Мұндай өкілдіктердің когомологиялық зерттеуі Галуа когомологиясын пайдалану арқылы жүзеге асырылады. Мысалы, классикалық түрде орталық қарапайым F-алгебралар тобы ретінде анықталған Брауэр тобын Галуа когомология тобы ретінде қайта қарастыруға болады, атап айтқанда 1 = Br(F) = H^2(F, Gm).
1=Gal('F'q^(n) / 'F'q) = 'Z'/n'Z'. A description in terms of generators and relations is also known for the Galois groups of p adic number fields (finite extensions of 'Q'p). Representations of Galois groups and of related groups such as the Weil group are fundamental in many branches of arithmetic, such as the Langlands program. The cohomological study of such representations is done using Galois cohomology. For example, the Brauer group, which is classically defined as the group of central simple F algebras, can be reinterpreted as a Galois cohomology group, namely
1=Br(F) = H^(2)(F, 'G'm).
Геометрия: функциялар саласы
F өрісіне X топологиялық кеңістіктегі функцияларды қосу және көбейту мүмкін, мысалы, екі функцияның көбейтіндісі олардың анықталу облысындағы мәндерінің көбейтіндісімен анықталады: Бұл осы функцияларды F коммутативтік алгебрасына айналдырады. Функциялардың өрісі болу үшін, толыққанды домендер болып табылатын функциялар алгебраларын қарастыру керек. Бұл жағдайда екі функцияның қатынастары, яғни формасы болатын өрнектер, функциялар өрісі деп аталатын өрісті құрайды. Бұл екі негізгі жағдайда болады. Біріншісі, X – күрделі көптік болғанда. Бұл жағдайда голоморфтық функциялардың алгебрасы қарастырылады, яғни күрделі дифференциалданатын функциялар. Олардың қатынастары X-те мероморфтық функциялар өрісін құрайды. Алгебралық X сортының (полиномдық теңдеулердің ортақ нөлдері ретінде анықталған геометриялық нысан) функциялық өрісі, сорттағы тұрақты функциялардың қатынастарынан, яғни полиномдық функциялардың қатынастарынан тұрады. F өрісі бойынша n өлшемді кеңістіктің функциялық өрісі F(x₁, …, xₙ) болып табылады, яғни n белгісіздерге қатысты полиномдардың қатынастарынан тұратын өріс. X сортының функциялық өрісі, кез келген ашық және тығыз ішкі сорттың функциялық өрісімен бірдей. Басқаша айтқанда, функциялық өріс X-ті (сәл) кішірек ішкі сортқа алмастыруға сезімтал емес. Функциялық өріс изоморфизм және бирационалдық эквиваленттілік жағдайында өзгермейді. Сондықтан ол абстрактті алгебралық сорттарды зерттеуде және алгебралық сорттарды жіктеуде маңызды құрал болып табылады. Мысалы, F(X)-тің трансценденттік дәрежесіне тең өлшем, бирационалдық эквиваленттілік жағдайында өзгермейді. Иілгіштер үшін (яғни өлшем бір), функциялық өріс F(X) X-ке өте жақын: егер X тегіс және толық (компактты болудың аналогы) болса, X оның функциялық өрісінен изоморфизмге дейін қайта құруға болады. Жоғары өлшемде функциялық өріс X туралы аз, бірақ әлі де шешуші ақпаратты сақтайды. Функциялық өрістерді және олардың жоғары өлшемдегі геометриялық мағынасын зерттеу бирационалдық геометрия деп аталады. Минималды модель бағдарламасы, белгіленген функциялық өрісі бар ең қарапайым (белгілі бір нақты мағынада) алгебралық сорттарды анықтауға тырысады.
This makes these functions a F commutative algebra. For having a field of functions, one must consider algebras of functions that are integral domains. In this case the ratios of two functions, i. e., expressions of the form
form a field, called field of functions. This occurs in two main cases. When X is a complex manifold X. In this case, one considers the algebra of holomorphic functions, i. e., complex differentiable functions. Their ratios form the field of meromorphic functions on X. The function field of an algebraic variety X (a geometric object defined as the common zeros of polynomial equations) consists of ratios of regular functions, i. e., ratios of polynomial functions on the variety. The function field of the n dimensional space over a field F is F(x1, , xn), i. e., the field consisting of ratios of polynomials in n indeterminates. The function field of X is the same as the one of any open dense subvariety. In other words, the function field is insensitive to replacing X by a (slightly) smaller subvariety. The function field is invariant under isomorphism and birational equivalence of varieties. It is therefore an important tool for the study of abstract algebraic varieties and for the classification of algebraic varieties. For example, the dimension, which equals the transcendence degree of F(X), is invariant under birational equivalence. For curves (i. e., the dimension is one), the function field F(X) is very close to X: if X is smooth and proper (the analogue of being compact), X can be reconstructed, up to isomorphism, from its field of functions. In higher dimension the function field remembers less, but still decisive information about X. The study of function fields and their geometric meaning in higher dimensions is referred to as birational geometry. The minimal model program attempts to identify the simplest (in a certain precise sense) algebraic varieties with a prescribed function field.
Қарым-қатынас ұғымдары
Өрістерге қосымша құрылымнан өзге, олар түрлі басқа да байланысты ұғымдарды қабылдайды. Кез келген өрісте 0 ≠ 1 болғандықтан, кез келген өрісте кем дегенде екі элемент болады. Дегенмен, бір элементі бар өріс ұғымы да бар, ол p саны 1-ге жақындағандағы шекті өрістердің 'F'p шегі ретінде қарастырылады. Бөлу сақиналарынан басқа, квазиөрістер, дерлік өрістер және жартылай өрістер сияқты өрістермен байланысты әлсіз алгебралық құрылымдар да бар. Сонымен қатар, үлкен F әрпімен белгіленетін, өріс құрылымы бар тиісті кластар да кездеседі, олар кейде Fields деп аталады. Сюрреалистік сандар нақты сандарды қамтитын өріс құрайды, олар жиын емес, тиісті класс болғандықтан ғана өріс емес. Ойын теориясынан алынған нимберлер де осындай өріс құрайды.
Бөлу сақиналары
Даланың анықтамасынан бір немесе бірнеше аксиоманы жою басқа алгебралық құрылымдарға алып келеді. Жоғарыда айтылғандай, коммутативті сақиналар көбейтуге кері элементтердің болуын қоспағанда, барлық дала аксиомаларын қанағаттандырады. Керісінше, көбейтудің коммутативтілігін жою бөлу сақинасы немесе қисық дала түсінігіне әкеледі; кейде ассоциативтілік те әлсіретіледі. Тек шекті өлшемді 'R' векторлық кеңістіктері болатын бөлу сақиналары – 'R' өзі, 'C' (ол дала) және 'H' кватерниондары (онда көбейту коммутативті емес). Бұл нәтиже Фробен теоремасы деп аталады. Көбейтуі коммутативті де, ассоциативті де емес 'O' октониондары – нормаланған баламалы бөлу алгебрасы, бірақ бөлу сақинасы емес. Бұл факт 1958 жылы Мишель Керваир, Рауль Ботт және Джон Милнор алгебралық топология әдістерін қолданып дәлелдеді.