Кіріспе
Барлық полиномиалдардың түбірі бар алгебралық құрылым. Математикада, F өрісі алгебралық жабық деп аталады, егер F[x] (F коэффициенттерімен бір айнымалы полиномиалдар сақинасы) құрамындағы әрбір тұрақты емес полиномиалдың F-та түбірі болса.
In mathematics, a field F is algebraically closed if every non constant polynomial in F[x] (the univariate polynomial ring with coefficients in F) has a root in F.
Мысалдар
Мысалы, нақты сандар өрісі алгебралық жағынан жабық емес, себебі полиномдық теңдеудің нақты сандарда шешімі жоқ, тіпті оның барлық коэффициенттері (1 және 0) нақты болса да. Осы аргумент нақты өрістің ешбір ішкі өрісі алгебралық жағынан жабық емес екенін көрсетеді; атап айтқанда, рационал сандар өрісі алгебралық жағынан жабық емес. Керісінше, алгебраның негізгі теоремасы күрделі сандар өрісі алгебралық жағынан жабық екенін мәлімдейді. Алгебралық жағынан жабық өрістің тағы бір мысалы — алгебралық сандар өрісі (кешенді). Ешбір шекті өріс F алгебралық жағынан жабық емес, себебі егер a1, a2, ..., an сандары F өрісінің элементтері болса, онда (x − a1)(x − a2)⋯(x − an) + 1 полиномы F өрісінде нөлге тең болатын элементі жоқ. Дегенмен, белгілі бір p сипаттамасы бар барлық шекті өрістердің бірігі алгебралық жағынан жабық өріс болып табылады, бұл, шындығында, p элементі бар өрістің алгебралық жабылуы.
has no zero in F. However, the union of all finite fields of a fixed characteristic p is an algebraically closed field, which is, in fact, the algebraic closure of the field with p elements.
Бірлік дәрежесіндегілер ғана қайталанбайтын көптік сандар
F өрісі алгебралық жабық болады, егер және тек қана F[x] полиномиялық сақинасындағы қайталанбайтын көптіктердің барлығы бірінші дәрежелі болса. "Бірінші дәрежелі көптіктер қайталанбайды" деген тұжырым кез келген өріс үшін тривиальды түрде орындалады. Егер F алгебралық жабық болса және p(x) F[x] полиномиясы қайталанбайтын болса, онда оның a түбірі болады, демек p(x) көптігі x – a-ға еселенеді. p(x) қайталанбайтындықтан, бұл p(x) = k(x – a) екенін білдіреді, мұнда k ∈ F \ {0}. Ал егер F алгебралық жабық болмаса, онда F[x]-те түбірі жоқ тұрақты емес p(x) полиномиясы бар. p(x)-тың бір қайталанбайтын көбейткіші q(x) болсын. p(x)-тың F-те түбірі болмағандықтан, q(x)-тың да F-те түбірі жоқ. Сондықтан, q(x)-тың дәрежесі бірден жоғары, себебі кез келген бірінші дәрежелі полиномия F-те бір түбірге ие.
Әрбір көпмүше - бірінші дәрежелі көпмүшелердің көбейтіндісі
F өрісі алгебралық жабық, егер және тек қана егер n ≥ 1 дәрежелі кез келген p(x) көпжүйесі, F өрісінің коэффициенттерімен, сызықтық көбейткіштерге жіктелсе. Басқаша айтқанда, F өрісінде k, x1, x2, ..., xn элементтері бар, осылайша p(x) = k(x − x1)(x − x2)⋯(x − xn). Егер F мұндай қасиетке ие болса, онда F[x] көпжүйесіндегі кез келген тұрақты емес көпжүйенің F өрісінде түбірі болады; яғни, F алгебралық жабық. Керісінше, егер F алгебралық жабық болса, онда F үшін аталған қасиеттің орындалуы алдыңғы қасиеттен және кез келген K өрісі үшін K[x] көпжүйесіндегі кез келген көпжүйенің ирредукцияланатын көпжүйелердің көбейтіндісі түрінде жазыла алатындығынан туындайды.
Басты дәрежелі көптіктердің түбірлері бар
Егер F өрісіндегі жай дәрежелі кез келген көптік F-де түбірге ие болса, онда тұрақты емес кез келген көптік F-де түбірге ие болады. Осыдан, өріс алгебралық жабық болады, егер және тек қана F өрісіндегі жай дәрежелі кез келген көптік F-де түбірге ие болса.
Бұл өрістің алгебралық кеңейтуі жоқ
F өрісі алгебралық жабық, егер және тек қана егер оның жай алгебралық кеңейтуі болмаса. Егер F-де жай алгебралық кеңейту болмаса, онда p(x) F[x]-тегі қандай да бір ирредуктивті көпмүше болсын. Содан кейін p(x) тудырған идеал бойынша F[x] модулінің бөлігі F-тің алгебралық кеңейтімі болып табылады, оның дәрежесі p(x) дәрежесіне тең. Бұл жай кеңейту емес болғандықтан, оның дәрежесі 1-ге тең, демек p(x) дәрежесі 1-ге тең. Екінші жағынан, егер F-де K жай алгебралық кеңейтуі болса, онда K \ F элементінің минималды көпмүшесі ирредуктивті болады және оның дәрежесі 1-ден жоғары болады.
Өріс шекті кеңейтуі жоқ
F өрісі алгебралық жабық, егер және тек қана егер оның тиісті шекті кеңейтуі болмаса, себебі егер бұрынғы дәлелдемеде "алгебралық кеңейту" термині "шекті кеңейту" терминімен алмастырылса, онда дәлелдеме бұрынғысынша дұрыс болады. (Шекті кеңейтулер міндетті түрде алгебралық болып табылады.)
Fn-дің әрбір эндоморфизміне өзіндік вектор жатады
F өрісі алгебралық жабық, егер және тек қана егер, әрбір n табиғи саны үшін, Fn-ден өзіне дейінгі әр сызықтық бейнелеуде өзіндік вектор болса. Fn эндоморфизмінің өзіндік векторы бар егер және тек қана егер оның сипаттамалық көпмүшесінің түбірі болса. Сондықтан, F алгебралық жабық болғанда, Fn-нің әрбір эндоморфизмінің өзіндік векторы болады. Екінші жағынан, егер Fn-нің әрбір эндоморфизмінің өзіндік векторы болса, p(x) F[x] өрісінің елементі болсын. Оны жетекші коэффициентіне бөлгенде, q(x) тағы бір көпмүше аламыз, ол p(x) түбірлері болғанда ғана түбірлерге ие болады. Бірақ егер q(x) = xn + an–1xn–1 + … + a0 болса, онда q(x) – n×n серіктес матрицаның сипаттамалық көпмүшесі.
Рационалдық өрнектердің ыдырауы
F өрісі алгебралық жағынан жабық, егер және тек егер F коэффициенттері бар бір x айнымалыдағы кез келген рационалдық функцияны a/(x–b)ⁿ түріндегі рационалдық функциялары бар полиномиялық функциялардың қосындысы ретінде жазуға болады, мұнда n – табиғи сан, ал a және b – F элементтері.
If F is algebraically closed then, since the irreducible polynomials in F[x] are all of degree 1, the property stated above holds by the theorem on partial fraction decomposition. On the other hand, suppose that the property stated above holds for the field F. Let p(x) be an irreducible element in F[x]. Then the rational function 1/p can be written as the sum of a polynomial function q with rational functions of the form a/(x – b)n. Therefore, the rational expression
can be written as a quotient of two polynomials in which the denominator is a product of first degree polynomials. Since p(x) is irreducible, it must divide this product and, therefore, it must also be a first degree polynomial.
Егер F алгебралық жағынан жабық болса, онда F[x]-тегі иррационалдық полиномдардың бәрі 1-дәрежелі болғандықтан, жоғарыда айтылған қасиет бөлшектерді жіктеу теоремасы бойынша орындалады. Екінші жағынан, жоғарыда айтылған қасиет F өрісі үшін орындалады деп есептейік. p(x) болсын F[x]-тегі иррационалдық элемент. Онда рационалдық функция 1/p-ні q полиномиялық функциясымен және a/(x–b)ⁿ түріндегі рационалдық функциялардың қосындысы ретінде жазуға болады. Сондықтан рационалдық өрнекті екі полиномның бөлігі ретінде жазуға болады, мұнда бөлім 1-дәрежелі полиномдардың көбейтіндісі болып табылады. p(x) иррационалдық болғандықтан, ол осы көбейтіндіге бөлінеді, демек ол да 1-дәрежелі полином болуы керек.
If F is algebraically closed then, since the irreducible polynomials in F[x] are all of degree 1, the property stated above holds by the theorem on partial fraction decomposition. On the other hand, suppose that the property stated above holds for the field F. Let p(x) be an irreducible element in F[x]. Then the rational function 1/p can be written as the sum of a polynomial function q with rational functions of the form a/(x – b)n. Therefore, the rational expression
can be written as a quotient of two polynomials in which the denominator is a product of first degree polynomials. Since p(x) is irreducible, it must divide this product and, therefore, it must also be a first degree polynomial.
Салыстырмалы түрде жай көптіктер мен түбірлер
Кез келген F өрісі үшін, егер екі көпмүше p(x), q(x) ∈ F[x] өзара жай болса, онда олардың ортақ түбірі болмайды. Егер a ∈ F ортақ түбір болса, онда p(x) және q(x) екеуі де x - a-ға бөлінеді, демек олар өзара жай болмайды. Кері тұжырым да дұрыс болатын өрістер (яғни, екі көпмүшенің ортақ түбірі болмаса, олар өзара жай болатын өрістер) – дәл алгебралық жабық өрістер. Егер F өрісі алгебралық жабық болса, p(x) және q(x) өзара жай емес екі көпмүше болсын, ал r(x) олардың ең үлкен ортақ бөлгіші болсын. Содан кейін, r(x) тұрақты емес болғандықтан, оның бір түбірі a болады, ол p(x) және q(x) көпмүшелерінің ортақ түбірі болады. Егер F алгебралық жабық болмаса, p(x) – кемінде 1 дәрежелі түбірі жоқ көпмүше болсын. Онда p(x) және p(x) өзара жай емес, бірақ олардың ортақ түбірі жоқ (өйткені екеуінің де түбірі жоқ).
Басқа қасиеттері
Егер F алгебралық жабық өріс болса және n – табиғи сан болса, онда F-та біртүктің барлық n-ші түбірлері бар, себебі олар (анықтама бойынша) xⁿ – 1 полиномының n (қажетті түрде ерекшеленбеген) нөлдері болып табылады. Біртүктің түбірлері арқылы туындаған кеңейтімде орналасқан өріс кеңейтімі циклотомдық кеңейтім деп аталады, ал біртүктің барлық түбірлері арқылы туындаған өріс кеңейтімі кейде циклотомдық жабылу деп аталады. Осылайша, алгебралық жабық өрістер циклотомдық жабық болады. Керісінше, бұл дұрыс емес. Тіпті xⁿ – a түріндегі әрбір полиномды сызықтық факторларға жіктеуге болады деген болжам да, өріс алгебралық жабық екенін қамтамасыз ету үшін жеткіліксіз. Егер бірінші реттік логика тілінде тұжырымдалған теорема алгебралық жабық өріс үшін дұрыс болса, онда ол бірдей сипаттамаға ие кез келген алгебралық жабық өріс үшін де дұрыс болады. Сонымен қатар, егер мұндай теорема 0 сипаттамалы алгебралық жабық өріс үшін жарамды болса, онда ол 0 сипаттамалы барлық басқа алгебралық жабық өрістер үшін ғана жарамды емес, сонымен қатар, белгілі бір табиғи сан N бар, онда теорема p сипаттамалы кез келген алгебралық жабық өріс үшін жарамды болады, егер p > N болса. Кез келген өріс F алгебралық жабық болатын кеңейтімге ие. Мұндай кеңейтім алгебралық жабық кеңейтім деп аталады. Барлық мұндай кеңейтімдердің ішінде F-тің алгебралық кеңейтімі болатын тек біреу ғана бар (изоморфизмге дейін, бірақ бірегей изоморфизм емес); ол F-тің алгебралық жабылуы деп аталады. Алгебралық жабық өрістер теориясы квантты жоюға ие.
Every field F has some extension which is algebraically closed. Such an extension is called an algebraically closed extension. Among all such extensions there is one and only one (up to isomorphism, but not unique isomorphism) which is an algebraic extension of F; it is called the algebraic closure of F.
The theory of algebraically closed fields has quantifier elimination.