Введение
Теория в абстрактной алгебре
В абстрактной алгебре и теории чисел теория Куммера предоставляет описание определенных типов расширений поля, включающих присоединение n-х корней элементов базового поля. Теория была первоначально разработана Эрнстом Эдуардом Куммером около 1840-х годов в его пионерской работе над последней теоремой Ферма. Основные утверждения не зависят от природы поля – за исключением его характеристики, которая не должна делить целое число n – и, следовательно, относятся к абстрактной алгебре. Теория циклических расширений поля K, когда характеристика K делит n, называется теорией Артина — Шрейера. Теория Куммера является базовой, например, в теории классов полей и в целом в понимании абелевых расширений; она утверждает, что при наличии достаточного количества корней из единицы циклические расширения можно понимать с точки зрения извлечения корней. Основная сложность в теории классовых полей заключается в обхождении без дополнительных корней из единицы ("снижении" к меньшим полям), что является гораздо более серьезной задачей.
In abstract algebra and number theory, Kummer theory provides a description of certain types of field extensions involving the adjunction of nth roots of elements of the base field. The theory was originally developed by Ernst Eduard Kummer around the 1840s in his pioneering work on Fermat's Last Theorem. The main statements do not depend on the nature of the field – apart from its characteristic, which should not divide the integer n – and therefore belong to abstract algebra. The theory of cyclic extensions of the field K when the characteristic of K does divide n is called Artin–Schreier theory. Kummer theory is basic, for example, in class field theory and in general in understanding abelian extensions; it says that in the presence of enough roots of unity, cyclic extensions can be understood in terms of extracting roots. The main burden in class field theory is to dispense with extra roots of unity ('descending' back to smaller fields); which is something much more serious.
Обобщения
Предположим, что G — проконечная группа, действующая на модуль A с сюръективным гомоморфизмом π из модуля G-A в себя. Предположим также, что G действует тривиально на ядро C π и что первая группа когомологий H¹(G, A) тривиальна. Тогда точная последовательность групповых когомологий показывает, что существует изоморфизм между AG/π(AG) и Hom(G, C). Теория Куммера является частным случаем этого, когда A — мультипликативная группа сепарабельного замыкания поля k, G — группа Галуа, π — отображение взятия n-й степени, а C — группа n-х корней из единицы. Теория Артина — Шрайера — это частный случай, когда A — аддитивная группа сепарабельного замыкания поля k положительной характеристики p, G — группа Галуа, π — отображение Фробениуса минус тождественное отображение, а C — конечное поле порядка p. Выбирая A в качестве кольца усеченных векторов Витта, получаем обобщение Витта теории Артина — Шрайера на расширения, показатель степени которых делит pⁿ.