Кіріспе
Математикада алгебралық кеңею – үлкен L өрісінің әрбір элементі кіші K өрісі үстінен алгебралық болатын L/K өрісі; яғни, L өрісінің әрбір элементі K өрісінің коэффициенттері бар нөлдік емес полиномның түбірі болып табылады. Алгебралық емес өріс трансценденттік деп аталады, және ол трансценденттік элементтерді қамтиды, яғни алгебралық емес элементтерді. Рационал сандар өрісінің алгебралық кеңейтулері алгебралық сандар өрістері деп аталады және алгебралық сандар теориясының негізгі зерттелу объектілері болып табылады. Көп қолданылатын алгебралық кеңейтудің тағы бір мысалы – нақты сандарды комплекс сандармен кеңейту.
In mathematics, an algebraic extension is a field extension L/K such that every element of the larger field L is algebraic over the smaller field K; that is, every element of L is a root of a non zero polynomial with coefficients in K. A field extension that is not algebraic, is said to be transcendental, and must contain transcendental elements, that is, elements that are not algebraic. The algebraic extensions of the field of the rational numbers are called algebraic number fields and are the main objects of study of algebraic number theory. Another example of a common algebraic extension is the extension of the real numbers by the complex numbers.
Кейбір қасиеттері
Барлық трансценденттік кеңейтулер шексіз дәрежелі болады. Бұл өз кезегінде барлық шекті кеңейтулер алгебралық екенін білдіреді. Дегенмен, керісінше дұрыс емес: алгебралық шексіз кеңейтулер де бар. Мысалы, барлық алгебралық сандардың өрісі рационалдық сандардың шексіз алгебралық кеңейтімі болып табылады. Егер E – K өрісінің кеңейтілген өрісі болса және a ∈ E болсын. K және a-ны қамтитын E-нің ең кіші ішкі өрісі әдетте K(a) деп белгіленеді. Егер a, K-ге алгебралық болса, онда K(a) элементтерін K-дегі коэффициенттері бар a-ға қатысты көпмүшелер түрінде өрнектеуге болады; яғни K(a) сонымен қатар K және a-ны қамтитын ең кіші сақина болады. Бұл жағдайда K(a), K-нің шекті кеңейтілген өрісі болады (бұл шекті өлшемді K векторлық кеңістігі), және оның барлық элементтері K-ге алгебралық болады. Егер a алгебралық болмаса, бұл қасиеттер орындалмайды. Мысалы, және олар екеуі де шексіз өлшемді векторлық кеңістіктер. Алгебралық жабық өріс F-тің дұрыс алгебралық кеңейтулері жоқ, яғни F < E болатын алгебралық кеңейтулер жоқ. Мысалы, комплекс сандар өрісі. Кез келген өрістің алгебралық жабылу деп аталатын алгебралық түрде жабық алгебралық кеңейтімі болады, бірақ оны дәлелдеу үшін таңдау аксиомасының кейбір түрі қажет. L/K кеңейтімі алгебралық болады, егер және тек қана L-дің кез келген K-алгебрасы өріс болса.
An algebraically closed field F has no proper algebraic extensions, that is, no algebraic extensions E with F < E. An example is the field of complex numbers. Every field has an algebraic extension which is algebraically closed (called its algebraic closure), but proving this in general requires some form of the axiom of choice. An extension L/K is algebraic if and only if every sub K algebra of L is a field.
Салыстырмалы алгебралық жабылулар
k және k-ны қамтитын K өрісі берілген болса, K-дағы k-ның салыстырмалы алгебралық жабылуы – K өрісінің k үстінен алгебралық болатын барлық элементтерінен тұратын қосалқы өрісі, яғни k-дегі коэффициенттері бар нөлдік емес көпмүшелердің түбірі болатын K-ның барлық элементтері.