Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық пән – математикалық теория.
the mathematical discipline
Mathematical theory
Математикада сингулярлық теория көптікке ұқсас, бірақ толыққанды көптік емес кеңістіктерді зерттейді. Жіп, оның қалыңдығын ескермесек, бір өлшемді көптік ретінде қарастырылуы мүмкін. Сингулярлықты жіпті шарлап, жерге тастап, жазалау арқылы жасауға болады. Кейбір жерлерде жазық жіп шамамен "Х" пішіндес қиылысқа түседі. Осы қиылысқан жерлер едендегі сингулярлықтың бір түрі – екі нүктелі сингулярлық: еденнің бір бөлігі жіптің бірнеше бөлігіне сәйкес келеді. Сонымен қатар, жіп қиылыспай, сызықталған "U" әрпі сияқты бір-біріне жанасуы да мүмкін. Бұл – сингулярлықтың тағы бір түрі. Екі нүктелі сингулярлықтан айырмашылығы, бұл тұрақты емес, себебі шағын итерілеу "U" әрпінің төменгі бөлігін "сызықтан" көтеріп алады. Владимир Арнольд сингулярлық теорияның басты мақсатын нысандардың параметрлерге тәуелділігін сипаттау деп анықтайды, әсіресе қасиеттердің параметрлердің аз ғана өзгеруінен кенеттен өзгеру жағдайларында. Мұндай жағдайлар перестройка, бифуркациялар немесе катастрофалар деп аталады. Өзгерістердің түрлерін жіктеу және осы өзгерістерге себеп болатын параметрлер жиынтығын сипаттау – маңызды математикалық міндеттердің бірі. Сингулярлықтар кең ауқымды математикалық нысандарда кездесе алады, мысалы, параметрлерге тәуелді матрицалардан бастап, толқын фронттарына дейін.
In mathematics, singularity theory studies spaces that are almost manifolds, but not quite. A string can serve as an example of a one dimensional manifold, if one neglects its thickness. A singularity can be made by balling it up, dropping it on the floor, and flattening it. In some places the flat string will cross itself in an approximate "X" shape. The points on the floor where it does this are one kind of singularity, the double point: one bit of the floor corresponds to more than one bit of string. Perhaps the string will also touch itself without crossing, like an underlined "U". This is another kind of singularity. Unlike the double point, it is not stable, in the sense that a small push will lift the bottom of the "U" away from the "underline". Vladimir Arnold defines the main goal of singularity theory as describing how objects depend on parameters, particularly in cases where the properties undergo sudden change under a small variation of the parameters. These situations are called perestroika , bifurcations or catastrophes. Classifying the types of changes and characterizing sets of parameters which give rise to these changes are some of the main mathematical goals. Singularities can occur in a wide range of mathematical objects, from matrices depending on parameters to wavefronts.
Қалай сингулярлық пайда болуы мүмкін
Сингулярлық теорияда сингулярлық нүктелер мен жиынтықтардың жалпы құбылысы зерттеледі, көптүрліліктер (сингулярлықсыз кеңістіктер) әртүрлі жолдармен ерекше, сингулярлық нүктелерге ие болу мүмкіндігі осы тұжырымдаманың бір бөлігі болып табылады. Проекция – осы жолдардың бірі, үш өлшемді нысандар екі өлшемге проекцияланғанда (мысалы, көзіміздің біреуінде) визуалды түрде өте анық көрінеді; классикалық мүсіндерге қарағанда, матаның бүктемелері ең айқын ерекшеліктердің бірі болып табылады. Осы типтегі сингулярлықтарға каустикалар жатады, олар жүзу бассейнінің түбіндегі жарық үлгілері сияқты кеңінен танымал. Сингулярлықтардың пайда болуының тағы бір жолы – көптүрлілік құрылымының дегенерациясы. Симметрияның болуы орбифолдтарды қарастыруға негіз болуы мүмкін, олар қаттау процесінде "бұрыштарға" ие болған көптүрліліктер, мысалы, үстел салфеткасын бүктегендегідей.
In singularity theory the general phenomenon of points and sets of singularities is studied, as part of the concept that manifolds (spaces without singularities) may acquire special, singular points by a number of routes. Projection is one way, very obvious in visual terms when three dimensional objects are projected into two dimensions (for example in one of our eyes); in looking at classical statuary the folds of drapery are amongst the most obvious features. Singularities of this kind include caustics, very familiar as the light patterns at the bottom of a swimming pool. Other ways in which singularities occur is by degeneration of manifold structure. The presence of symmetry can be good cause to consider orbifolds, which are manifolds that have acquired "corners" in a process of folding up, resembling the creasing of a table napkin.
Алгебралық геометриядағы сингулярлықтардың жалпы орны
Алгебралық геометриядағы мұндай сингулярлықтарды зерттеу принципі бойынша ең оңай, себебі олар полиномдық теңдеулермен анықталады, демек координаттар жүйесі арқылы беріледі. Сингулярлық нүктенің сыртқы мағынасы күмәнді емес деуге болады; мәселе мынада, ішкі тұрғыдан алғанда, қоршаған кеңістіктегі координаттар сол нүктедегі алгебралық қисықтың геометриясын тікелей бейнелемейді. Мұндай сингулярлықтарды қарқынды зерттеулер ақырында Хейсуке Хиронаканың сингулярлықтарды шешу туралы фундаментальдық теоремасына (сипаттамасы 0 болатын бирационалдық геометрияда) әкелді. Бұл, екі нүктедегі қиылысты "көзге көрінетін" тәсілмен пайдаланып, жіптің бір бөлігін өзінен "көтеру" процесінің қарапайымдылығы сәйкес емес емес екенін білдіреді: алгебралық геометрияның барлық сингулярлықтары бірнеше процестер арқылы өте жалпы құлдыраудың нәтижесінде қалпына келтірілуі мүмкін. Бұл нәтиже жиі аффиндік геометрияны проективтік геометрияға кеңейту үшін түсініксіз түрде қолданылады: аффиндік қисық проективтік кеңістіктегі жабылуын алғанда, шексіздіктегі гипержазықтықта сингулярлық нүктелер пайда болуы мүлдем қалыпты жағдай. Шешу теоремасы мұндай сингулярлықтарды (күрделі) тығыздаудың бір түрі ретінде қарастыруға болады, нәтижесінде тығыз көптік пайда болады (Зариски топологиясының орнына күшті топология үшін).
Such singularities in algebraic geometry are the easiest in principle to study, since they are defined by polynomial equations and therefore in terms of a coordinate system. One can say that the extrinsic meaning of a singular point isn't in question; it is just that in intrinsic terms the coordinates in the ambient space don't straightforwardly translate the geometry of the algebraic variety at the point. Intensive studies of such singularities led in the end to Heisuke Hironaka's fundamental theorem on resolution of singularities (in birational geometry in characteristic 0). This means that the simple process of "lifting" a piece of string off itself, by the "obvious" use of the cross over at a double point, is not essentially misleading: all the singularities of algebraic geometry can be recovered as some sort of very general collapse (through multiple processes). This result is often implicitly used to extend affine geometry to projective geometry: it is entirely typical for an affine variety to acquire singular points on the hyperplane at infinity, when its closure in projective space is taken. Resolution says that such singularities can be handled rather as a (complicated) sort of compactification, ending up with a compact manifold (for the strong topology, rather than the Zariski topology, that is).
Сәл теория және апаттар
Хиронаканың жұмысымен шамамен бір уақытта Рене Томның апаттар теориясы көп назар қабылдады. Бұл сингулярлық теорияның тағы бір саласы, ол Хесслер Уитнидің критикалық нүктелер туралы жасаған бұрынғы жұмысына негізделген. Дерексіз айтқанда, тегіс функцияның критикалық нүктесі – деңгей жиыны геометриялық мағынада сингулярлық нүктеге ие болады. Бұл теория тек полиномдармен ғана емес, жалпы дифференциалданатын функциялармен айналысады. Оны толықтыру үшін, тек тұрақты құбылыстар қарастырылады. Табиғатта, шағын өзгерістерден жойылған ешбір нәрсе байқалмайды деуге болады; көрінетін нәрсе – тұрақты. Уитни айнымалылардың төмен санында критикалық нүктелердің тұрақты құрылымы жергілікті жағдайда өте шектеулі екенін көрсетті. Том осыған және өзінің бұрынғы жұмысына сүйене отырып, табиғаттағы үзіліссіз өзгерістерді түсіндіруге арналған апаттар теориясын құрды.
At about the same time as Hironaka's work, the catastrophe theory of René Thom was receiving a great deal of attention. This is another branch of singularity theory, based on earlier work of Hassler Whitney on critical points. Roughly speaking, a critical point of a smooth function is where the level set develops a singular point in the geometric sense. This theory deals with differentiable functions in general, rather than just polynomials. To compensate, only the stable phenomena are considered. One can argue that in nature, anything destroyed by tiny changes is not going to be observed; the visible is the stable. Whitney had shown that in low numbers of variables the stable structure of critical points is very restricted, in local terms. Thom built on this, and his own earlier work, to create a catastrophe theory supposed to account for discontinuous change in nature.
Арнольдтың пікірі
Том көрнекті математик болғанмен, Кристофер Земан таратып жүрген элементарлық катастрофа теориясының кейіннен кең таралғандығы, әсіресе Владимир Арнольдтың тарапынан қарсылық тудырды. Ол, алгебралық геометриядан алынған мәліметтерді, сондай-ақ Уитни, Том және басқа авторлардың еңбектерінен түйгендерін қоса, осы салаға "сингулярлық теориясы" терминін қолданған болуы мүмкін. Ол, территорияның шағын бөлігіне артық назар аударылғанына наразылығын білдіретін тілмен жазды. Тегіс сингулярлықтарға қатысты негізгі жұмыс, сингулярлық нүктелер мен жаңа туындаған нәрселер бойынша эквиваленттілік қатынастарын құру ретінде қалыптастырылған. Техникалық тұрғыдан алғанда, бұл ұшқыштар кеңістігіндегі Ли топтарының әрекеттерін қамтиды; абстрактілі емес тұрғыда, Тейлор қатарлары айнымалыны өзгертуге дейін зерттеледі, жеткілікті туындылары бар сингулярлықтарды анықтап, бекітеді. Арнольдтың пікірінше, оның қолданылуын классикалық механиканың геометриялық формасы ретінде симплектикалық геометрияда көруге болады.
While Thom was an eminent mathematician, the subsequent fashionable nature of elementary catastrophe theory as propagated by Christopher Zeeman caused a reaction, in particular on the part of Vladimir Arnold. He may have been largely responsible for applying the term singularity theory to the area including the input from algebraic geometry, as well as that flowing from the work of Whitney, Thom and other authors. He wrote in terms making clear his distaste for the too publicised emphasis on a small part of the territory. The foundational work on smooth singularities is formulated as the construction of equivalence relations on singular points, and germs. Technically this involves group actions of Lie groups on spaces of jets; in less abstract terms Taylor series are examined up to change of variable, pinning down singularities with enough derivatives. Applications, according to Arnold, are to be seen in symplectic geometry, as the geometric form of classical mechanics.
Дуальділік
Математикада сингулярлықтардың проблема тудыруының маңызды себебі – көпқырлы құрылымның жойылуымен бірге Пуанкаре дуалдылығын қолдануға да рұқсат жоқ. Маңызды қадам – қиылыс кохомологиясын енгізу болды, ол бастапқыда қабаттарды пайдалану арқылы дуалдықты қайта жаңғырту әрекеттерінен пайда болды. Бастапқы идеядан көптеген байланыстар мен қолданыстар туындады, мысалы, гомологиялық алгебрадағы «бұрыс» шоғыр тұжырымы.
An important reason why singularities cause problems in mathematics is that, with a failure of manifold structure, the invocation of Poincaré duality is also disallowed. A major advance was the introduction of intersection cohomology, which arose initially from attempts to restore duality by use of strata. Numerous connections and applications stemmed from the original idea, for example the concept of perverse sheaf in homological algebra.
Басқа мүмкін мағыналар
Жоғарыда аталған теория математикалық сингулярлық тұжырымдамасына тікелей қатысты емес, яғни функцияның белгіленбеген мәніне. Осыған қатысты мысалдар: оқшауланған сингулярлық, маңызды сингулярлық, алынып тасталатын сингулярлық. Алайда, күрделі домендегі дифференциалдық теңдеулердің сингулярлықтар маңындағы монодромиялық теориясы геометриялық теориямен байланысты. Шамамен айтқанда, монодромия жабу картасының қалай дегенерацияланатынын зерттейді, ал сингулярлық теория көпқырлылықтың қалай дегенерацияланатынын зерттейді; және осы екі сала өзара байланысты.
The theory mentioned above does not directly relate to the concept of mathematical singularity as a value at which a function is not defined. For that, see for example isolated singularity, essential singularity, removable singularity. The monodromy theory of differential equations, in the complex domain, around singularities, does however come into relation with the geometric theory. Roughly speaking, monodromy studies the way a covering map can degenerate, while singularity theory studies the way a manifold can degenerate; and these fields are linked.