Введение

математическая дисциплина, математическая теория.

В математике теория сингулярности изучает пространства, которые почти являются многообразиями, но не совсем. Струна может служить примером одномерного многообразия, если не учитывать её толщину. Сингулярность можно создать, свернув струну в шар, бросив её на пол и расплющив. В некоторых местах расплющенная струна будет пересекать сама себя, образуя приблизительную форму "X". Точки на полу, где это происходит, представляют собой один вид сингулярности – двойную точку: одной области пола соответствует более чем одна область струны. Возможно также, что струна коснется самой себя, не пересекаясь, наподобие подчеркнутой буквы "U". Это другой вид сингулярности. В отличие от двойной точки, она нестабильна, в том смысле, что небольшое толчок приподнимет нижнюю часть "U" от "подчеркивания". Владимир Арнольд определяет основную цель теории сингулярности как описание зависимости объектов от параметров, особенно в тех случаях, когда свойства резко меняются при незначительном изменении параметров. Эти ситуации называются перестройкой, бифуркациями или катастрофами. Классификация типов изменений и характеристика множеств параметров, приводящих к этим изменениям, являются одними из основных математических задач. Сингулярности могут возникать в широком спектре математических объектов, от матриц, зависящих от параметров, до волновых фронтов.

Как могут возникать сингулярности

В теории сингулярности изучается общее явление точек и множеств сингулярностей, как часть концепции, согласно которой многообразия (пространства без сингулярностей) могут приобретать особые сингулярные точки различными путями. Проекция – один из таких путей, очень наглядный, когда трехмерные объекты проецируются в двумерное пространство (например, в одном из наших глаз); при рассматривании классической скульптуры складки драпировки являются одними из наиболее заметных элементов. К сингулярностям этого типа относятся каустики, хорошо известные как световые узоры на дне бассейна. Другой способ возникновения сингулярностей – дегенерация структуры многообразия. Наличие симметрии может служить основанием для рассмотрения орбифолдов – многообразий, которые приобрели "углы" в процессе складывания, напоминающем сгибание столовой салфетки.

Общее положение сингулярностей в алгебраической геометрии

Такие сингулярности в алгебраической геометрии в принципе легче всего изучать, поскольку они задаются полиномиальными уравнениями и, следовательно, выражаются через систему координат. Можно сказать, что внешний смысл сингулярной точки не вызывает сомнений; просто внутренне координаты в окружающем пространстве не передают напрямую геометрию алгебраического многообразия в этой точке. Интенсивное изучение таких сингулярностей в конечном итоге привело к фундаментальной теореме Хейсуке Хироноки о разрешении сингулярностей (в бирациональной геометрии в характеристике 0). Это означает, что простой процесс "поднятия" нити над собой, с "очевидным" использованием перемычки в точке удвоения, не является принципиально вводящим в заблуждение: все сингулярности алгебраической геометрии могут быть восстановлены как своего рода обобщенное схлопывание (в результате нескольких процессов). Этот результат часто неявно используется для расширения аффинной геометрии на проективную геометрию: совершенно типично, что аффинное многообразие приобретает сингулярные точки на гиперплоскости на бесконечности при взятии его замыкания в проективном пространстве. Разрешение сингулярностей показывает, что с такими сингулярностями можно обращаться скорее как с (сложным) видом компактификации, приводящей к компактному многообразию (относительно сильной топологии, а не топологии Зариски).

Гладкая теория и катастрофы

Примерно в то же время, что и работа Хиронаки, большое внимание привлекала теория катастроф Рене Тома. Это ещё одна ветвь теории сингулярностей, основанная на более ранних работах Хасслера Уитни о критических точках. Если говорить упрощённо, критическая точка гладкой функции – это точка, в которой уровень функции приобретает сингулярность в геометрическом смысле. Эта теория рассматривает дифференцируемые функции в общем случае, а не только полиномы. В качестве компенсации, изучаются лишь устойчивые явления. Можно утверждать, что в природе не наблюдается ничего, что разрушается при малейших изменениях; наблюдаемое – это устойчивое. Уитни показал, что при малом числе переменных устойчивая структура критических точек локально сильно ограничена. Том, опираясь на это и на свои собственные предыдущие работы, создал теорию катастроф, призванную объяснить скачкообразные изменения в природе.

Позиция Арнольда

Хотя Том был выдающимся математиком, последовательная популярность теории элементарных катастроф, продвигаемая Кристофером Зееманом, вызвала реакцию, особенно со стороны Владимира Арнольда. Вероятно, он во многом способствовал применению термина "теория особенностей" к области, включающей вклад алгебраической геометрии, а также разработки, вытекающие из работ Уитни, Тома и других авторов. Он писал, ясно выражая свое неприятие чрезмерно широкой огласки, уделяемой лишь небольшой части этой области. Фундаментальные работы по гладким особенностям формулируются как построение отношений эквивалентности на сингулярных точках и зачатках. Технически это включает действия групп Ли на пространствах струй; говоря менее абстрактно, ряды Тейлора рассматриваются с учетом замены переменных, что позволяет точно определить особенности, используя достаточное количество производных. По мнению Арнольда, приложения можно найти в симплектической геометрии, которая представляет собой геометрическую формулировку классической механики.

Двойственность

Важной причиной, по которой сингулярности создают проблемы в математике, является то, что при разрушении структуры многообразия становится невозможным применение двойственности Пуанкаре. Значительным прогрессом стало введение кохомологии пересечений, возникшей первоначально из попыток восстановить двойственность, используя слои. Из этой исходной идеи вытекает множество связей и применений, например, понятие перверсивного пучка в гомологической алгебре.

Другие возможные значения

Вышеупомянутая теория не имеет прямого отношения к понятию математической сингулярности как к точке, в которой функция не определена. По этому вопросу обратитесь, например, к изолированной сингулярности, существенной сингулярности и устранимой сингулярности. Однако теория монодромии дифференциальных уравнений в комплексной области, рассматриваемая в окрестности сингулярностей, связана с геометрической теорией. Если говорить упрощенно, монодромия изучает, как может вырождаться отображение накрытия, а теория сингулярности – как может вырождаться многообразие; и эти области связаны между собой.