Полиномдық теңдеулерді зерттеу: алгебрадағы теңдеулер теориясы, Галуа теориясы, шешімдері мен тарихы. Математика студенттеріне арналған маңызды материал.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Көптамалық теңдеулерді зерттеу
Study of polynomial equations
Алгебрада теңдеулер теориясы – алгебралық теңдеулерді (олар "көптамалық теңдеулер" деп те аталады) зерттеу, олар көптамамен анықталатын теңдеулер. Теңдеулер теориясының негізгі мәселесі алгебралық теңдеудің алгебралық шешімі бар-жоғын анықтау болды. Бұл мәселе 1830 жылы Эварист Галуа қазіргі Галуа теориясы деп аталатын теорияны енгізу арқылы толық шешілді. Галуаға дейін "теңдеулер теориясы" мен "алгебра" арасында нақты айырмашылық болған жоқ. Содан бері алгебра көптеген жаңа салаларды қамти отырып, күрт кеңейді, ал алгебралық теңдеулер теориясына бұрынғыдай көп көңіл бөлінбейді. Сондықтан, "теңдеулер теориясы" термині көбінесе математика тарихы контекстінде қолданылады, "алгебра" сөзінің ескі және жаңа мағыналарын шатастырмау үшін.
In algebra, the theory of equations is the study of algebraic equations (also called "polynomial equations"), which are equations defined by a polynomial. The main problem of the theory of equations was to know when an algebraic equation has an algebraic solution. This problem was completely solved in 1830 by Évariste Galois, by introducing what is now called Galois theory. Before Galois, there was no clear distinction between the "theory of equations" and "algebra". Since then algebra has been dramatically enlarged to include many new subareas, and the theory of algebraic equations receives much less attention. Thus, the term "theory of equations" is mainly used in the context of the history of mathematics, to avoid confusion between old and new meanings of "algebra".
Тарих
19 ғасырдың соңына дейін "теңдеулер теориясы" "алгебра" сөзімен шамалас болды. Ұзақ уақыт бойы басты мәселе – бір белгісіздегі бір сызықтық емес көпмүше теңдеудің шешімдерін табу еді. Кешенді түбірінің әрқашан болатындығы – алгебраның негізгі теоремасы, ол тек 19 ғасырдың басында дәлелденді және таза алгебралық дәлелі жоқ. Дегенмен, алгебраиктердің басты мақсаты радикалдар арқылы шешу болды, яғни шешімдерді арифметиканың төрт амалымен және n-ші түбірлермен құрылған формула түрінде беру. Бұл 16 ғасырда төртінші дәрежеге дейін істелді. Сципионе дель Ферро және Николо Фонтана Тарталья кубтық теңдеулерге шешімдер тапты. Героламо Кардано оларды 1545 жылы шығарған "Ars Magna" кітабында, өзінің шәкірті Лодовико Феррари тапқан төртінші дәрежелі теңдеулерге шешіммен бірге жариялады. 1572 жылы Рафаэль Бомбелли "L'Algebra" атты еңбегін жариялады, онда ол кубтық теңдеулерді шешуге арналған Кардано формуласында пайда болатын жорамал шамалармен қалай жұмыс істеу керектігін көрсетті. Жоғары дәрежелі теңдеулер мәселесі 19 ғасырға дейін шешілмей келді, 1799 жылы Паоло Руффини кейбір бесінші дәрежелі теңдеулерді радикалдар арқылы шешуге болмайтындығын толыққанды дәлелдемеді, ал 1824 жылы Нильс Хенрик Абель толық дәлел келтірді (қазір Абель-Руффини теоремасы деп белгілі). Эварист Галуа кейіннен қандай теңдеулерді радикалдар арқылы шешуге болатынын анықтауға арналған теорияны (қазір Галуа теориясы деп аталады) енгізді.
Until the end of the 19th century, "theory of equations" was almost synonymous with "algebra". For a long time, the main problem was to find the solutions of a single non linear polynomial equation in a single unknown. The fact that a complex solution always exists is the fundamental theorem of algebra, which was proved only at the beginning of the 19th century and does not have a purely algebraic proof. Nevertheless, the main concern of the algebraists was to solve in terms of radicals, that is to express the solutions by a formula which is built with the four operations of arithmetics and with nth roots. This was done up to degree four during the 16th century. Scipione del Ferro and Niccolò Fontana Tartaglia discovered solutions for cubic equations. Gerolamo Cardano published them in his 1545 book Ars Magna, together with a solution for the quartic equations, discovered by his student Lodovico Ferrari. In 1572 Rafael Bombelli published his L'Algebra in which he showed how to deal with the imaginary quantities that could appear in Cardano's formula for solving cubic equations. The case of higher degrees remained open until the 19th century, when Paolo Ruffini gave an incomplete proof in 1799 that some fifth degree equations cannot be solved in radicals followed by Niels Henrik Abel's complete proof in 1824 (now known as the Abel–Ruffini theorem). Évariste Galois later introduced a theory (presently called Galois theory) to decide which equations are solvable by radicals.