Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Изучение полиномиальных уравнений
Study of polynomial equations
В алгебре теория уравнений изучает алгебраические уравнения (также называемые "полиномиальными уравнениями"), которые определяются полиномами. Основной вопрос теории уравнений заключался в том, чтобы определить, когда алгебраическое уравнение имеет алгебраическое решение. Эта проблема была полностью решена в 1830 году Эваристом Галуа с помощью того, что сейчас известно как теория Галуа. До Галуа не было чёткого разграничения между "теорией уравнений" и "алгеброй". С тех пор алгебра значительно расширилась, включив в себя множество новых областей, и теория алгебраических уравнений стала получать меньше внимания. Таким образом, термин "теория уравнений" в основном используется в контексте истории математики, чтобы избежать путаницы между старыми и новыми значениями термина "алгебра".
In algebra, the theory of equations is the study of algebraic equations (also called "polynomial equations"), which are equations defined by a polynomial. The main problem of the theory of equations was to know when an algebraic equation has an algebraic solution. This problem was completely solved in 1830 by Évariste Galois, by introducing what is now called Galois theory. Before Galois, there was no clear distinction between the "theory of equations" and "algebra". Since then algebra has been dramatically enlarged to include many new subareas, and the theory of algebraic equations receives much less attention. Thus, the term "theory of equations" is mainly used in the context of the history of mathematics, to avoid confusion between old and new meanings of "algebra".
История
До конца XIX века "теория уравнений" была почти синонимом "алгебры". Долгое время основной задачей было нахождение решений одного нелинейного полиномиального уравнения с одним неизвестным. Тот факт, что комплексное решение всегда существует, является фундаментальной теоремой алгебры, которая была доказана лишь в начале XIX века и не имеет чисто алгебраического доказательства. Тем не менее, алгебраистов прежде всего интересовало решение в радикалах, то есть выражение решений формулой, построенной с помощью четырех арифметических операций и корней n-й степени. Это было сделано для степеней до четвертой включительно в XVI веке. Сципион дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья обнаружили решения кубических уравнений. Героламо Кардано опубликовал их в своей книге 1545 года "Ars Magna" вместе с решением уравнений четвертой степени, найденным его учеником Лодовико Феррари. В 1572 году Рафаэль Бомбелли опубликовал свой труд "L'Algebra", в котором показал, как работать с мнимыми величинами, которые могли возникать в формуле Кардано для решения кубических уравнений. Вопрос об уравнениях более высоких степеней оставался открытым до XIX века, когда Паоло Руффини в 1799 году представил неполное доказательство того, что некоторые уравнения пятой степени не могут быть решены в радикалах, а затем Нильс Хенрик Абель в 1824 году завершил доказательство (теперь известное как теорема Абеля — Руффини). Эварист Галуа впоследствии разработал теорию (в настоящее время называемую теорией Галуа) для определения того, какие уравнения разрешимы в радикалах.
Until the end of the 19th century, "theory of equations" was almost synonymous with "algebra". For a long time, the main problem was to find the solutions of a single non linear polynomial equation in a single unknown. The fact that a complex solution always exists is the fundamental theorem of algebra, which was proved only at the beginning of the 19th century and does not have a purely algebraic proof. Nevertheless, the main concern of the algebraists was to solve in terms of radicals, that is to express the solutions by a formula which is built with the four operations of arithmetics and with nth roots. This was done up to degree four during the 16th century. Scipione del Ferro and Niccolò Fontana Tartaglia discovered solutions for cubic equations. Gerolamo Cardano published them in his 1545 book Ars Magna, together with a solution for the quartic equations, discovered by his student Lodovico Ferrari. In 1572 Rafael Bombelli published his L'Algebra in which he showed how to deal with the imaginary quantities that could appear in Cardano's formula for solving cubic equations. The case of higher degrees remained open until the 19th century, when Paolo Ruffini gave an incomplete proof in 1799 that some fifth degree equations cannot be solved in radicals followed by Niels Henrik Abel's complete proof in 1824 (now known as the Abel–Ruffini theorem). Évariste Galois later introduced a theory (presently called Galois theory) to decide which equations are solvable by radicals.