Кіріспе
Математикада, бүтін санға бағаланған көпмүше (сандық көпмүше деп те аталады) – әрбір n бүтін саны үшін бүтін сан мәнін беретін көпмүше. Бүтін коэффициенттері бар кез келген көпмүше бүтін санға бағаланады, бірақ керісіне дұрыс емес. Мысалы,
kөпмүшесі t бүтін сан болғанда бүтін сан мәнін қабылдайды. Өйткені t және t+1-дің бірі жұп сан болуы керек. (Бұл көпмүшенің қабылдайтын мәндері үшбұрышты сандар.) Бүтін санға бағаланған көпмүшелер алгебрада жеке зерттелу объектілері болып табылады және алгебралық топологияда жиі кездеседі.
Жіктеу
Бүтін сандық полиномиалдар класы толық сипатталды. Рационал сандармен коэффициенттері бар полиномиалдар сақинасының ішінде, бүтін сандық полиномиалдардың субрингі еркін абельдік топ болып табылады. Оның базасы ретінде , яғни биномдық коэффициенттер үшін полиномдар қарастырылады. Басқаша айтқанда, кез келген бүтін сандық полиномиалды биномдық коэффициенттердің бүтін сандық сызықтық комбинациясы түрінде тек бір ғана тәсілмен жазуға болады. Дәлел дискретті Тейлор қатарының әдісімен жүзеге асырылады: биномдық коэффициенттер бүтін сандық полиномиалдар болып табылады, ал керісінше, бүтін сандық қатардың дискретті айырмасы бүтін сандық қатар болып табылады, сондықтан полиноммен туындаған бүтін сандық қатардың дискретті Тейлор қатары бүтін сандық коэффициенттерге ие (және шекті қатар болып табылады).
for , i. e., the binomial coefficients. In other words, every integer valued polynomial can be written as an integer linear combination of binomial coefficients in exactly one way. The proof is by the method of discrete Taylor series: binomial coefficients are integer valued polynomials, and conversely, the discrete difference of an integer series is an integer series, so the discrete Taylor series of an integer series generated by a polynomial has integer coefficients (and is a finite series).
Басқа сақиналар
Сандық полиномиялар басқа сақиналар мен өрістерде де анықталуы мүмкін, мұндай жағдайда жоғарыда айтылған бүтін сандық полиномиялар классикалық сандық полиномиялар деп аталады.
Қолданбалар
BU(n) теориясы сандық (симметриялық) полиномдарды құрайды. k+1 айнымалысы бар полиномдық сақинаның Гильберт полиномы – сандық полином.