Введение
В математике, полином с целыми значениями (также известный как числовой полином) — это полином, принимающий целые значения при любом целом значении переменной n. Любой полином с целыми коэффициентами является полиномом с целыми значениями, но обратное неверно. Например, полином
принимает целые значения при любом целом t. Это происходит потому, что одно из чисел t и t+1 всегда четное. (Значения, которые принимает этот полином, — это треугольные числа.) Полиномы с целыми значениями являются самостоятельным объектом изучения в алгебре и часто встречаются в алгебраической топологии.
Классификация
Класс целочисленных многочленов был полностью описан. Внутри многочленочного кольца многочленов с рациональными коэффициентами, подкольцо целочисленных многочленов является свободной абелевой группой. В качестве базиса он имеет многочлены для , то есть биномиальные коэффициенты. Иными словами, каждый целочисленный многочлен может быть представлен как целочисленная линейная комбинация биномиальных коэффициентов единственным образом. Доказательство основано на методе дискретных рядов Тейлора: биномиальные коэффициенты являются целочисленными многочленами, и наоборот, дискретное дифференцирование целочисленного ряда дает целочисленный ряд, поэтому дискретный ряд Тейлора целочисленного ряда, порожденного многочленом, имеет целочисленные коэффициенты (и является конечным рядом).
for , i. e., the binomial coefficients. In other words, every integer valued polynomial can be written as an integer linear combination of binomial coefficients in exactly one way. The proof is by the method of discrete Taylor series: binomial coefficients are integer valued polynomials, and conversely, the discrete difference of an integer series is an integer series, so the discrete Taylor series of an integer series generated by a polynomial has integer coefficients (and is a finite series).
Другие кольца
Численные полиномы могут быть определены над другими кольцами и полями, в этом случае вышеупомянутые полиномы, принимающие целые значения, называются классическими численными полиномами.
Приложения
К-теория BU(n) состоит из численных (симметричных) полиномов. Многочлен Гильберта для кольца многочленов от k + 1 переменных является численным полиномом.