Введение
Числовая система, расширяющая рациональные числа
In number theory, given a prime number p, the p adic numbers form an extension of the rational numbers which is distinct from the real numbers, though with some similar properties; p adic numbers can be written in a form similar to (possibly infinite) decimals, but with digits based on a prime number p rather than ten, and extending to the left rather than to the right. For example, comparing the expansion of the rational number in base 3 vs. the 3 adic expansion,
Formally, given a prime number p, a p adic number can be defined as a series
where k is an integer (possibly negative), and each is an integer such that A p adic integer is a p adic number such that
In general the series that represents a p adic number is not convergent in the usual sense, but it is convergent for the p adic absolute value where k is the least integer i such that (if all are zero, one has the zero p adic number, which has 0 as its p adic absolute value). Every rational number can be uniquely expressed as the sum of a series as above, with respect to the p adic absolute value. This allows considering rational numbers as special p adic numbers, and alternatively defining the p adic numbers as the completion of the rational numbers for the p adic absolute value, exactly as the real numbers are the completion of the rational numbers for the usual absolute value. p adic numbers were first described by Kurt Hensel in 1897, though, with hindsight, some of Ernst Kummer's earlier work can be interpreted as implicitly using p adic numbers.
В теории чисел, для простого числа p, p-адические числа образуют расширение рациональных чисел, отличающееся от действительных, хотя и обладающее некоторыми схожими свойствами; p-адические числа можно представить в форме, аналогичной (возможно, бесконечной) десятичной записи, но с цифрами, основанными на простом числе p, а не на десяти, и расширяющимися влево, а не вправо. Например, сравнивая представление рационального числа в системе счисления по основанию 3 и p-адическое представление числа , формально, для простого числа p, p-адическое число можно определить как ряд:
In number theory, given a prime number p, the p adic numbers form an extension of the rational numbers which is distinct from the real numbers, though with some similar properties; p adic numbers can be written in a form similar to (possibly infinite) decimals, but with digits based on a prime number p rather than ten, and extending to the left rather than to the right. For example, comparing the expansion of the rational number in base 3 vs. the 3 adic expansion,
Formally, given a prime number p, a p adic number can be defined as a series
where k is an integer (possibly negative), and each is an integer such that A p adic integer is a p adic number such that
In general the series that represents a p adic number is not convergent in the usual sense, but it is convergent for the p adic absolute value where k is the least integer i such that (if all are zero, one has the zero p adic number, which has 0 as its p adic absolute value). Every rational number can be uniquely expressed as the sum of a series as above, with respect to the p adic absolute value. This allows considering rational numbers as special p adic numbers, and alternatively defining the p adic numbers as the completion of the rational numbers for the p adic absolute value, exactly as the real numbers are the completion of the rational numbers for the usual absolute value. p adic numbers were first described by Kurt Hensel in 1897, though, with hindsight, some of Ernst Kummer's earlier work can be interpreted as implicitly using p adic numbers.
где k – целое число (возможно, отрицательное), и каждое – целое число такое, что P-адическое целое число – это p-адическое число, для которого
In number theory, given a prime number p, the p adic numbers form an extension of the rational numbers which is distinct from the real numbers, though with some similar properties; p adic numbers can be written in a form similar to (possibly infinite) decimals, but with digits based on a prime number p rather than ten, and extending to the left rather than to the right. For example, comparing the expansion of the rational number in base 3 vs. the 3 adic expansion,
Formally, given a prime number p, a p adic number can be defined as a series
where k is an integer (possibly negative), and each is an integer such that A p adic integer is a p adic number such that
In general the series that represents a p adic number is not convergent in the usual sense, but it is convergent for the p adic absolute value where k is the least integer i such that (if all are zero, one has the zero p adic number, which has 0 as its p adic absolute value). Every rational number can be uniquely expressed as the sum of a series as above, with respect to the p adic absolute value. This allows considering rational numbers as special p adic numbers, and alternatively defining the p adic numbers as the completion of the rational numbers for the p adic absolute value, exactly as the real numbers are the completion of the rational numbers for the usual absolute value. p adic numbers were first described by Kurt Hensel in 1897, though, with hindsight, some of Ernst Kummer's earlier work can be interpreted as implicitly using p adic numbers.
В общем случае ряд, представляющий p-адическое число, не является сходящимся в обычном смысле, но он сходится относительно p-адической абсолютной величины , где k – наименьшее целое число i такое, что (если все равны нулю, то получается нулевое p-адическое число, абсолютная величина которого равна 0). Каждое рациональное число может быть единственным образом выражено в виде суммы ряда, как указано выше, относительно p-адической абсолютной величины. Это позволяет рассматривать рациональные числа как частный случай p-адических чисел и, альтернативно, определять p-адические числа как завершение рациональных чисел относительно p-адической абсолютной величины, точно так же, как действительные числа являются завершением рациональных чисел относительно обычной абсолютной величины. P-адические числа были впервые описаны Куртом Хензелем в 1897 году, однако, с ретроспективной точки зрения, некоторые ранние работы Эрнста Куммера можно интерпретировать как неявное использование p-адических чисел.
In number theory, given a prime number p, the p adic numbers form an extension of the rational numbers which is distinct from the real numbers, though with some similar properties; p adic numbers can be written in a form similar to (possibly infinite) decimals, but with digits based on a prime number p rather than ten, and extending to the left rather than to the right. For example, comparing the expansion of the rational number in base 3 vs. the 3 adic expansion,
Formally, given a prime number p, a p adic number can be defined as a series
where k is an integer (possibly negative), and each is an integer such that A p adic integer is a p adic number such that
In general the series that represents a p adic number is not convergent in the usual sense, but it is convergent for the p adic absolute value where k is the least integer i such that (if all are zero, one has the zero p adic number, which has 0 as its p adic absolute value). Every rational number can be uniquely expressed as the sum of a series as above, with respect to the p adic absolute value. This allows considering rational numbers as special p adic numbers, and alternatively defining the p adic numbers as the completion of the rational numbers for the p adic absolute value, exactly as the real numbers are the completion of the rational numbers for the usual absolute value. p adic numbers were first described by Kurt Hensel in 1897, though, with hindsight, some of Ernst Kummer's earlier work can be interpreted as implicitly using p adic numbers.
Мотивация
Грубо говоря, модульная арифметика по модулю положительного целого числа n заключается в "приближении" каждого целого числа к остатку от деления на n, называемому его вычетом по модулю n. Основное свойство модульной арифметики состоит в том, что вычет по модулю n результата последовательности операций над целыми числами совпадает с результатом той же последовательности операций над вычетами по модулю n. Если известно, что абсолютная величина результата меньше n/2, это позволяет вычислить результат, не используя целые числа, превышающие n.
Для больших результатов старый, до сих пор широко используемый метод заключается в использовании нескольких малых взаимно простых модулей и применении китайской теоремы об остатках для восстановления результата по модулю произведения этих модулей. Другой метод, разработанный Куртом Хензелем, заключается в использовании простого модуля p и применении леммы Хензеля для итеративного восстановления результата по модулю p. Если процесс продолжать бесконечно, то в конечном итоге получится результат, являющийся p-адическим числом.
Нормализация p-адического ряда
Начиная с ряда, первая вышеуказанная лемма позволяет получить эквивалентный ряд, для которого p-адическая оценка равна нулю. Для этого рассматривают первый ненулевой член. Если его p-адическая оценка равна нулю, достаточно заменить v на i, то есть начать суммирование с v. В противном случае, p-адическая оценка этого члена равна k, а оценка следующего члена равна нулю; таким образом, можно получить эквивалентный ряд, заменив член с индексом k на 0 и член с индексом k+1 на его исходное значение. Повторяя этот процесс, в конечном итоге, возможно после бесконечного числа шагов, получим эквивалентный ряд, который либо является нулевым рядом, либо является рядом, для которого оценка первого ненулевого члена равна нулю. Затем, если ряд не нормализован, рассмотрим первый ненулевой член, который не является целым числом в интервале [0, p). Вторая вышеуказанная лемма позволяет представить его в виде – получается n эквивалентных рядов, заменяя на и добавляя к . Повторяя этот процесс, возможно бесконечно много раз, в конечном итоге получим желаемый нормализованный p-адический ряд.
Определение
Существует несколько эквивалентных определений p-адических чисел. Приведенное здесь определение относительно элементарно, поскольку не использует никаких других математических понятий, кроме тех, которые были введены в предыдущих разделах. Другие эквивалентные определения используют завершение дискретного кольца оценок (см.), завершение метрического пространства (см.), или обратные пределы (см.). P-адическое число может быть определено как нормализованный p-адический ряд. Поскольку существуют другие эквивалентные определения, которые обычно используются, часто говорят, что нормализованный p-адический ряд представляет p-адическое число, а не то, что это само p-адическое число. Можно также сказать, что любой p-адический ряд представляет p-адическое число, поскольку каждый p-адический ряд эквивалентен единственному нормализованному p-адическому ряду. Это полезно для определения операций (сложения, вычитания, умножения, деления) над p-адическими числами: результат такой операции получается путем нормализации результата соответствующей операции над рядами. Это корректно определяет операции над p-адическими числами, поскольку операции над рядами совместимы с эквивалентностью p-адических рядов. С помощью этих операций, p-адические числа образуют поле, называемое полем p-адических чисел и обозначаемое или . Существует единственный гомоморфизм поля из рациональных чисел в p-адические числа, который отображает рациональное число в его p-адическое разложение. Образ этого гомоморфизма обычно отождествляется с полем рациональных чисел. Это позволяет рассматривать p-адические числа как расширение поля рациональных чисел, а рациональные числа как подполе p-адических чисел. Оценка ненулевого p-адического числа x, обычно обозначаемая , является показателем степени p в первом ненулевом члене любого p-адического ряда, представляющего x. По соглашению, , то есть, оценка нуля равна . Эта оценка является дискретной оценкой. Ограничение этой оценки на рациональные числа является p-адической оценкой, то есть, показатель v в разложении рационального числа в виде , где n и d взаимно просты с p.
Обозначение
Существует несколько различных соглашений для записи p-адических разложений. До сих пор в этой статье использовалось обозначение для p-адических разложений, в котором степени p возрастают справа налево. При таком обозначении справа налево, 3-адическое разложение, например, записывается как
When performing arithmetic in this notation, digits are carried to the left. It is also possible to write p adic expansions so that the powers of p increase from left to right, and digits are carried to the right. With this left to right notation the 3 adic expansion of is
p adic expansions may be written with other sets of digits instead of {0, 1, , p − 1}. For example, the 3 adic expansion of can be written using balanced ternary digits {1, 0, 1}, with 1 representing negative one, as
In fact any set of p integers which are in distinct residue classes modulo p may be used as p adic digits. In number theory, Teichmüller representatives are sometimes used as digits. is a variant of the p adic representation of rational numbers that was proposed in 1979 by Eric Hehner and Nigel Horspool for implementing on computers the (exact) arithmetic with these numbers.
При выполнении арифметических операций в этом обозначении цифры переносятся влево. Также возможно записывать p-адические разложения так, чтобы степени p возрастали слева направо, а цифры переносились вправо. При таком обозначении слева направо, 3-адическое разложение из
When performing arithmetic in this notation, digits are carried to the left. It is also possible to write p adic expansions so that the powers of p increase from left to right, and digits are carried to the right. With this left to right notation the 3 adic expansion of is
p adic expansions may be written with other sets of digits instead of {0, 1, , p − 1}. For example, the 3 adic expansion of can be written using balanced ternary digits {1, 0, 1}, with 1 representing negative one, as
In fact any set of p integers which are in distinct residue classes modulo p may be used as p adic digits. In number theory, Teichmüller representatives are sometimes used as digits. is a variant of the p adic representation of rational numbers that was proposed in 1979 by Eric Hehner and Nigel Horspool for implementing on computers the (exact) arithmetic with these numbers.
p-адические разложения могут быть записаны с использованием других наборов цифр вместо {0, 1, ..., p–1}. Например, 3-адическое разложение может быть записано с использованием сбалансированных троичных цифр {1, 0, 1}, где 1 представляет минус один, поскольку фактически любой набор из p целых чисел, принадлежащих различным классам вычетов по модулю p, может быть использован в качестве p-адических цифр. В теории чисел представители Тейхмюллера иногда используются в качестве цифр. является вариантом p-адического представления рациональных чисел, предложенного в 1979 году Эриком Хенером и Найджелом Хорспулом для реализации на компьютерах точной арифметики с этими числами.
When performing arithmetic in this notation, digits are carried to the left. It is also possible to write p adic expansions so that the powers of p increase from left to right, and digits are carried to the right. With this left to right notation the 3 adic expansion of is
p adic expansions may be written with other sets of digits instead of {0, 1, , p − 1}. For example, the 3 adic expansion of can be written using balanced ternary digits {1, 0, 1}, with 1 representing negative one, as
In fact any set of p integers which are in distinct residue classes modulo p may be used as p adic digits. In number theory, Teichmüller representatives are sometimes used as digits. is a variant of the p adic representation of rational numbers that was proposed in 1979 by Eric Hehner and Nigel Horspool for implementing on computers the (exact) arithmetic with these numbers.
Кардинальность
Оба и неисчислимы и имеют кардинальность континуума. Для первого это следует из p-адичного представления, которое определяет биекцию между и множеством степеней . Для второго это следует из его представления как счетного бесконечного объединения копий .
Алгебраическое закрытие
содержит и является полем характеристики 0. Поскольку 0 можно представить в виде суммы квадратов, его нельзя преобразовать в упорядоченное поле. Поле вещественных чисел имеет только одно собственное алгебраическое расширение: комплексные числа. Иными словами, это квадратичное расширение уже алгебраически замкнуто. В отличие от этого, алгебраическое замыкание, обозначаемое , имеет бесконечную степень, то есть содержит бесконечно много неэквивалентных алгебраических расширений. Также, в отличие от случая с вещественными числами, хотя существует единственное расширение p-адичной оценки на , последнее не является (метрически) полным. Его (метрическое) завершение называется или . Здесь достигается предел, поскольку является алгебраически замкнутым. Однако, в отличие от , это поле не локально компактно. Поэтому мы можем рассматривать как наделенное экзотической метрикой. Доказательство существования такого изоморфизма полей опирается на аксиому выбора и не предоставляет явного примера такого изоморфизма (то есть, оно не является конструктивным). Если является любым конечным расширением Галуа поля , то группа Галуа является разрешимой. Следовательно, группа Галуа является проразрешимой.
Умножающая группа
содержит n-е циклотомическое поле (n > 2) тогда и только тогда, когда. Например, n-е циклотомическое поле является подполем , если и только если , или 12. В частности, в нет p-кручения, если p > 2. Также, −1 является единственным нетривиальным элементом кручения в . Для натурального числа k индекс мультипликативной группы k-х степеней ненулевых элементов в конечном. Число e (математическая константа), определяемое как сумма обратных значений факториалов, не принадлежит ни одному p-адическому полю; но для необходимо взять, по крайней мере, четвертую степень. (Таким образом, число, обладающее схожими свойствами с e — а именно p-й корень из e^(p) — принадлежит для всех p.)
Given a natural number k, the index of the multiplicative group of the k th powers of the non zero elements of in is finite. The number [[e (mathematical constant), defined as the sum of reciprocals of factorials, is not a member of any p adic field; but for For one must take at least the fourth power. (Thus a number with similar properties as e — namely a p th root of e^(p) — is a member of for all p.)
Локальный принцип
Принцип локализации Гельмута Хассе считается справедливым для уравнения, если оно имеет решение в рациональных числах тогда и только тогда, когда оно имеет решение в действительных числах и в p-адических числах для каждого простого числа p. Этот принцип, например, справедлив для уравнений, заданных квадратичными формами, но не выполняется для многочленов более высокой степени с несколькими переменными.
Обобщения и связанные с ними понятия
Реальные и p-адические числа являются завершениями рациональных чисел; аналогичным образом можно завершить и другие поля, например, общие алгебраические числовые поля. Это будет описано сейчас. Пусть D – область Дедекинда, а E – её поле дробей. Выберем ненулевой простой идеал P из D. Если x – ненулевой элемент E, то xD является дробным идеалом и может быть единственным образом разложен в произведение положительных и отрицательных степеней ненулевых простых идеалов D. Обозначим ordP(x) показатель P в этом разложении, и для любого выбора числа c > 1 определим
Завершение относительно этого абсолютного значения |⋅|P дает поле EP, являющееся обобщением поля p-адических чисел для данной ситуации. Выбор c не меняет завершение (разные варианты дают одну и ту же концепцию последовательности Коши, а значит, и одно и то же завершение). Когда поле вычетов D/P конечно, удобно выбирать c равным размеру D/P. Например, когда E – числовое поле, теорема Островского утверждает, что каждое нетривиальное неархимедово абсолютное значение на E возникает как некоторое |⋅|P. Остальные нетривиальные абсолютные значения на E возникают из различных вложений E в действительные или комплексные числа. (Фактически, неархимедовы абсолютные значения можно рассматривать как просто различные вложения E в поля Cp, тем самым унифицируя описание всех нетривиальных абсолютных значений числового поля.) Часто необходимо одновременно отслеживать все вышеупомянутые завершения, когда E – числовое поле (или, в более общем случае, глобальное поле), которые рассматриваются как кодирующие "локальную" информацию. Это достигается с помощью колец аделей и групп иделей. p-адические целые числа можно расширить до p-адических соленоидов. Существует отображение из в окружную группу, волокна которого являются p-адическими целыми числами, по аналогии с тем, как существует отображение из в окружность, волокна которого являются .
the non trivial absolute values of a number field on a common footing.) Often, one needs to simultaneously keep track of all the above mentioned completions when E is a number field (or more generally a global field), which are seen as encoding "local" information. This is accomplished by adele rings and idele groups. p adic integers can be extended to p adic solenoids There is a map from to the circle group whose fibers are the p adic integers , in analogy to how there is a map from to the circle whose fibers are .