Алгебралық топтар теориясында Борель топшасы – максимал, жабық және шешілмелі алгебралық топша. GLn-дегі жоғарғы үшбұрыштық матрицалар – мысал. Құрылымын түсіну үшін маңызды.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Алгебралық топтар теориясында, G алгебралық тобының Борель кіші тобы — максималды Зариски жабық және байланысқан шешілетін алгебралық кіші топ. Мысалы, жалпы сызықтық топ GLn (n x n инверттік матрицалар) үшін, инверттік жоғарғы үшбұрышты матрицалардың кіші тобы — Борель кіші тобы. Алгебралық жабық өрістерде жүзеге асырылған топтар үшін Борель кіші топтарының жалғыз конъюгация класы бар. Борель кіші топтары — Жак Титстің (B, N) жұптары бар топтар теориясында қарапайым (жалпы алғанда, редуктивті) алгебралық топтардың құрылымын түсінудегі екі маңызды элементтің бірі. Мұндағы B тобы — Борель кіші тобы, ал N — B-де орналасқан максималды тордың нормализаторы. Бұл ұғымды Арманд Борель енгізді, ол алгебралық топтар теориясын дамытуда жетекші рөл атқарды.
In the theory of algebraic groups, a Borel subgroup of an algebraic group G is a maximal Zariski closed and connected solvable algebraic subgroup. For example, in the general linear group GLn (n x n invertible matrices), the subgroup of invertible upper triangular matrices is a Borel subgroup. For groups realized over algebraically closed fields, there is a single conjugacy class of Borel subgroups. Borel subgroups are one of the two key ingredients in understanding the structure of simple (more generally, reductive) algebraic groups, in Jacques Tits' theory of groups with a (B, N) pair. Here the group B is a Borel subgroup and N is the normalizer of a maximal torus contained in B. The notion was introduced by Armand Borel, who played a leading role in the development of the theory of algebraic groups.
Параболалық кіші топтар
Борелдің B және G тобы арасындағы кіші топтар параболалық кіші топтар деп аталады. Параболалық P кіші топтары алгебралық кіші топтардың арасында G/P толық алгебралық сорт болатын жағдаймен сипатталады. Алгебралық жабық өрістерде жұмыс істегенде, Борел кіші топтары осы мағынада ең кішкентай параболалық кіші топтар болып табылады. Демек, G/B біртекті кеңістігі "мүмкіндігінше үлкен" толық алгебралық сорт болғанда B – Борел кіші тобы болып есептеледі. Қарапайым алгебралық G тобы үшін параболалық кіші топтардың конъюгация кластары жиыны, сәйкес Динкин диаграммасының түйіндерінің барлық кіші жиындарымен сәйкес келеді; Борел кіші тобы бос жиынға, ал G тобының өзі – барлық түйіндер жиынына сәйкес келеді. (Жалпы алғанда, Динкин диаграммасының әрбір түйіні қарапайым теріс түбірді анықтайды, соның салдарынан G-дің бір өлшемді "түбірлік тобы" пайда болады. Түйіндердің кез келген жиыны параболалық кіші топты тудырады, ол B және сәйкес теріс түбірлік топтармен жасалады. Сонымен қатар, кез келген параболалық кіші топ мұндай параболалық кіші топқа конъюгациялық тең болады.) G-дің Вейль тобының сәйкес кіші топтары да параболалық кіші топтар деп аталады, қараңыз, шағылысу тобының параболалық кіші топтары.
Subgroups between a Borel subgroup B and the ambient group G are called parabolic subgroups. Parabolic subgroups P are also characterized, among algebraic subgroups, by the condition that G/P is a complete variety. Working over algebraically closed fields, the Borel subgroups turn out to be the minimal parabolic subgroups in this sense. Thus B is a Borel subgroup when the homogeneous space G/B is a complete variety which is "as large as possible". For a simple algebraic group G, the set of conjugacy classes of parabolic subgroups is in bijection with the set of all subsets of nodes of the corresponding Dynkin diagram; the Borel subgroup corresponds to the empty set and G itself corresponding to the set of all nodes. (In general, each node of the Dynkin diagram determines a simple negative root and thus a one dimensional 'root group' of G. A subset of the nodes thus yields a parabolic subgroup, generated by B and the corresponding negative root groups. Moreover, any parabolic subgroup is conjugate to such a parabolic subgroup.) The corresponding subgroups of the Weyl group of G are also called parabolic subgroups, see Parabolic subgroup of a reflection group.
Мысал
Борелдің A субтобы – жоғарғы үшбұрышты матрицалар жиынтығы, ал оның ішіндегі ең үлкен дұрыс параболалық субтоптары болып табылады. Сондай-ақ, -тағы максималды тор – бұл . Ол алгебралық торға изоморфты.
Let A Borel subgroup of is the set of upper triangular matricesand the maximal proper parabolic subgroups of containing areAlso, a maximal torus in isThis is isomorphic to the algebraic torus .
Лей алгебрасы
Ли алгебрасының Картан субалгебрасы бар ерекше жағдайында, оң салмақтарымен салмақты кеңістіктердің тікелей қосындысы Борел субалгебрасын құрайды. Борел субалгебрасын қамтитын Ли субалгебрасы параболалық Ли алгебрасы деп аталады.
For the special case of a Lie algebra with a Cartan subalgebra , given an ordering of , the Borel subalgebra is the direct sum of and the weight spaces of with positive weight. A Lie subalgebra of containing a Borel subalgebra is called a parabolic Lie algebra.