Введение

В теории алгебраических групп, борелевская подгруппа алгебраической группы G — это максимальная замкнутая, связная и разрешимая алгебраическая подгруппа Зариски. Например, в общей линейной группе GLn (n x n обратимых матриц) подгруппа обратимых верхнетреугольных матриц является борелевской подгруппой. Для групп, определенных над алгебраически замкнутыми полями, существует единственный класс сопряженности борелевских подгрупп. Борелевские подгруппы — один из двух ключевых элементов в понимании структуры простых (в более общем случае, редуктивных) алгебраических групп, в теории групп Жака Тита с парой (B, N). Здесь группа B — борелевская подгруппа, а N — нормализатор максимального тора, содержащегося в B. Это понятие было введено Арманом Борелем, который сыграл ведущую роль в развитии теории алгебраических групп.

Параболические подгруппы

Подгруппы, лежащие между борелевской подгруппой B и внешней группой G, называются параболическими подгруппами. Параболические подгруппы P также характеризуются, среди алгебраических подгрупп, условием, что G/P является полным алгебраическим многообразием. При работе с алгебраически замкнутыми полями борелевские подгруппы оказываются минимальными параболическими подгруппами в этом смысле. Таким образом, B является борелевской подгруппой, когда однородное пространство G/B является полным алгебраическим многообразием, максимально большим по размеру. Для простой алгебраической группы G множество классов сопряженности параболических подгрупп находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех подмножеств узлов соответствующей диаграммы Динкина; борелевская подгруппа соответствует пустому множеству, а сама G – множеству всех узлов. (В общем случае, каждый узел диаграммы Динкина определяет простой отрицательный корень и, следовательно, одномерную «коревую группу» G. Подмножество узлов, таким образом, определяет параболическую подгруппу, порожденную B и соответствующими отрицательными коревыми группами. Более того, любая параболическая подгруппа сопряжена с некоторой параболической подгруппой такого типа.) Соответствующие подгруппы группы Вейля G также называются параболическими подгруппами, см. Параболическая подгруппа группы отражений.

Пример

Пусть A — подгруппа Бореля в — множество верхнетреугольных матриц, а максимальные собственные параболические подгруппы, содержащие , — также максимальный тор в , изоморфный алгебраическому тору .

Алгебра лжи

Для специального случая алгебры Ли с субальгеброй Картана, при заданном упорядочении , субальгебра Бореля является прямой суммой и весовых пространств с положительными весами. Субальгебра Ли, содержащая субальгебру Бореля, называется параболической алгеброй Ли.